चर्च की प्रमेय और गोडेल की अपूर्णता संबंधी सिद्धांत

Question

मैं हाल ही में विभिन्न तर्कशास्त्रियों और गणितज्ञों द्वारा किए गए ज़मीनी तोड़ने के काम के विचारों और इतिहास के बारे में पढ़ रहा हूं। जबकि व्यक्तिगत अवधारणाएं मेरे लिए बिल्कुल स्पष्ट हैं, मैं वहां अंतर-संबंधों और अमूर्त स्तर पर एक दृढ़ पकड़ पाने की कोशिश कर रहा हूं, जहां वे सभी जुड़े हुए हैं।

हम जानते हैं कि चर्च की प्रमेय (या यों कहें, अलोंज़ो चर्च और एलन ट्यूरिंग द्वारा हिल्बर्ट के एन्सेचेनिडंगस्पर्मल के स्वतंत्र प्रमाण ) ने साबित किया कि सामान्य तौर पर हम यह गणना नहीं कर सकते हैं कि एक औपचारिक प्रणाली में दिया गया गणितीय कथन सही है या गलत। जैसा कि मैंने समझा, चर्च-ट्यूरिंग थीसिस चर्च के लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीनों के बीच समानता (आइसोमोर्फिज्म) का एक बहुत स्पष्ट विवरण प्रदान करती है, इसलिए हमारे पास कम्प्यूटेबिलिटी के लिए प्रभावी रूप से एकीकृत मॉडल है। (ध्यान दें: जहां तक ​​मुझे पता है, ट्यूरिंग का प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि हॉल्टिंग समस्या अनिर्दिष्ट है। गलत होने पर मुझे सुधारें।)

अब, गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि इस प्रणाली के भीतर पर्याप्त अंकगणितीय शक्ति के साथ एक सुसंगत औपचारिक प्रणाली में सभी बयान साबित या अव्यवस्थित (तय) नहीं हो सकते हैं। कई मायनों में, यह मेरे लिए चर्च के प्रमेयों के समान बिल्कुल वही बात कहता प्रतीत होता है, जो लैम्ब्डा कैलकुलस और टर्निंग मशीनों पर विचार करते हैं, दोनों प्रभावी रूप से औपचारिक प्रणाली हैं!

हालांकि यह मेरी समग्र व्याख्या है, और मुझे उम्मीद थी कि कोई व्यक्ति विवरण पर कुछ प्रकाश डाल सकता है। क्या ये दो प्रमेय प्रभावी रूप से समतुल्य हैं? क्या कोई सूक्ष्मता देखी जा सकती है? यदि ये सिद्धांत अनिवार्य रूप से एक ही सार्वभौमिक सत्य को अलग-अलग तरीकों से देख रहे हैं, तो उन्हें ऐसे विभिन्न कोणों से संपर्क क्यों किया गया? (गोडेल के प्रमाण और चर्च के बीच कम या ज्यादा 6 साल थे)। अंत में, क्या हम यह कह सकते हैं कि औपचारिक प्रणाली (प्रूफ़ कैलकुलस) में प्रोवेबिलिटी की अवधारणा पुनरावर्तन सिद्धांत (ट्यूरिंग मशीन / लैम्ब्डा कैलकुलस) में कम्प्यूटेबिलिटी की अवधारणा के समान है ?

Comments

आप चर्च-ट्यूरिंग थीसिस पर बिल्कुल सही नहीं हैं। लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीन दोनों औपचारिक रूप से निर्दिष्ट थे। चर्च-ट्यूरिंग थीसिस यह है कि कुछ भी जिसे हम उचित रूप से कॉल गणना कह सकते हैं, एक ट्यूरिंग मशीन (या लैम्ब्डा कैलकुलस, या समकक्ष कुछ भी) में किया जा सकता है। चूंकि कोई भी अपवाद के साथ नहीं आता है, इसलिए यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है, लेकिन यह साबित करना असंभव है।

— डेविड थॉर्नले

जब आप इन चीजों के बारे में बात करते हैं तो कृपया सावधान रहें। उदाहरण के लिए, आपने कहा "गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि इस प्रणाली के भीतर एक सुसंगत औपचारिक प्रणाली में सभी बयान साबित नहीं हो सकते हैं"। यह बकवास है। यदि कोई प्रणाली सुसंगत है तो कथन 1 = 0 सिद्ध नहीं होता है। आपके पास कहने के लिए यह है कि एक औपचारिक प्रणाली (ऐसी और ऐसी शर्तों को संतुष्ट करना ) सभी वाक्यों को तय नहीं करती है ।

— कन्या बाउर

@ डेविड थॉर्नले: सुधार के लिए धन्यवाद। इसलिए लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीनों के बीच समानता औपचारिक रूप से साबित हो जाती है (क्लेने की एक प्रमेय को दूसरे उत्तर से देखते हुए) लेकिन चर्च-ट्यूरिंग थीसिस अधिक समर्थन प्रमाण के साथ एक परिकल्पना की तरह है, लेकिन कोई वास्तविक प्रमाण नहीं है।

— Noldorin

@Andrej: यदि मैं "सिद्ध" को "सिद्ध या अव्यवस्थित" और "औपचारिक प्रणाली" को "औपचारिक प्रणाली को पर्याप्त अंकगणितीय क्षमता" के साथ बदलता हूं तो मुझे पूरा यकीन है कि यह सही है।

— Noldorin

@Andrej: सही है। हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि अपराध कुछ प्रकार का है। गलतियाँ सीखने (या अनुभवी शिक्षाविदों को भी) देने की कोशिश कर रहे लोगों के लिए अपरिहार्य हैं, और यह उनका काम नहीं है कि सब कुछ गलत साबित हो जाए!

— नोल्डोरिन

Answer 1

सबसे पहले, मेरा सुझाव है कि आप इन विषयों पर एक अच्छी पुस्तक के रूप में क्लेन के "मेटामैटमैटिक्स" को पढ़ें। ओडीफ्रेड्डी के "क्लासिकल रिकर्सन थ्योरी" के खंड I के पहले दो अध्याय भी इन अवधारणाओं के बीच के संबंध को समझने में मददगार हो सकते हैं।

हम जानते हैं कि चर्च की प्रमेय (या यों कहें, अलोंज़ो चर्च और एलन ट्यूरिंग द्वारा हिल्बर्ट के एन्सेचेनिडंगस्पर्मल के स्वतंत्र प्रमाण) ने साबित किया कि सामान्य तौर पर हम यह गणना नहीं कर सकते हैं कि एक औपचारिक प्रणाली में दिया गया गणितीय कथन सही है या गलत।

मुझे लगता है कि आप चर्च के प्रमेय का उल्लेख कर रहे हैं कि प्रथम क्रम तर्क के प्रमेयों का सेट निर्णायक नहीं है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि भाषा पहले क्रम है।

जैसा कि मैंने समझा, चर्च-ट्यूरिंग थीसिस चर्च के लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीनों के बीच समानता (आइसोमोर्फिज्म) का एक बहुत स्पष्ट विवरण प्रदान करती है, इसलिए हमारे पास कम्प्यूटेबिलिटी के लिए प्रभावी रूप से एकीकृत मॉडल है।

सं। यदि लैम्ब्डा-कम्प्यूटेबिलिटी और ट्यूरिंग-कम्प्यूटेबिलिटी क्लेने का प्रमेय है तो समतुल्यता। यह एक थीसिस नहीं है। इसे चर्च की थीसिस का समर्थन करने वाले साक्ष्य के रूप में माना जाता है।

नोट: जहां तक ​​मुझे पता है, ट्यूरिंग का प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि रुकने की समस्या अनिर्दिष्ट है। यदि मैं गलत हूं तो मुझे सही करों।

अब, गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि इस प्रणाली के भीतर एक सुसंगत औपचारिक प्रणाली में सभी बयान साबित नहीं हो सकते हैं। कई मायनों में, यह मेरे लिए चर्च की प्रमेयों के समान बिल्कुल वही बात कह रहा है, जो लैम्ब्डा कैलकुलस और टर्निंग मशीनों को देखते हुए प्रभावी रूप से औपचारिक प्रणाली है!

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

यह एक ही बात नहीं बताता है। यह सिद्धांत के प्रमेयों के सेट के बारे में कुछ भी नहीं कहता है जो कि अनिर्दिष्ट है।

हालांकि यह मेरी समग्र व्याख्या है, और मुझे उम्मीद थी कि कोई व्यक्ति विवरण पर कुछ प्रकाश डाल सकता है। क्या ये दो प्रमेय प्रभावी रूप से समतुल्य हैं? क्या कोई सूक्ष्मता देखी जा सकती है? यदि ये सिद्धांत अनिवार्य रूप से एक ही सार्वभौमिक सत्य को अलग-अलग तरीकों से देख रहे हैं, तो उन्हें ऐसे विभिन्न कोणों से संपर्क क्यों किया गया? (गोडेल के प्रमाण और चर्च के बीच कम या ज्यादा 6 साल थे)।

वर्षों में गोडेल के प्रमेयों (और इसी तरह के प्रमेयों) का बहुत दुरुपयोग हुआ है। उनकी व्याख्या करने में बहुत सावधानी बरतनी चाहिए। जहाँ तक मैंने देखा है, गालियाँ आमतौर पर प्रमेय में कुछ स्थिति का उल्लेख करने या कुछ अन्य मान्यताओं द्वारा प्रमेयों के संयोजन को भूल जाने का परिणाम हैं। एक सावधान नज़र से पता चलता है कि थिसिस प्रमेय, हालांकि संबंधित हैं, समकक्ष नहीं हैं।

अंत में, क्या हम आवश्यक रूप से कह सकते हैं कि औपचारिक प्रणाली (प्रूफ़ कैलकुलस) में प्रोवेबिलिटी की अवधारणा पुनरावर्तन सिद्धांत (ट्यूरिंग मशीन / लैम्ब्डा कैलकुलस) में कम्प्यूटेबिलिटी की अवधारणा के समान है?

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि आप "समान" से क्या मतलब है। निश्चित रूप से कम्प्यूटेबिलिटी और प्रोवोबिलिटी के बीच कई संबंध हैं। यदि आप स्पष्ट करते हैं कि आप इनका क्या अर्थ रखते हैं, तो मैं अधिक उपयोगी टिप्पणी कर सकता हूं।

अद्यतन करें

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

औपचारिक प्रणाली में अस्थिरता और कम्प्यूटेबिलिटी के बीच संबंध पर। एक निम्नलिखित है: यदि प्रणाली प्रभावी है, तो इसमें व्युत्पन्न अभिव्यक्ति का सेट फिर से है, और सिस्टम एक व्याकरण का एक विशेष मामला है। व्याकरण कम्प्यूटेशनल की अवधारणा को परिभाषित करने का एक और तरीका है जो ट्यूरिंग मशीन कम्प्यूटेबिलिटी के बराबर है।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। मैं विकिपीडिया पृष्ठ पर बताए अनुसार चर्च के प्रमेय का उल्लेख करता हूं: "1936 और 1937 में अलोंजो चर्च और एलन ट्यूरिंग क्रमशः [1], ने स्वतंत्र पत्रों को प्रकाशित करते हुए दिखाया कि यह एल्गोरिदमिक रूप से तय करना असंभव है कि क्या अंकगणित में कथन सही या गलत हैं। यह परिणाम है। अब चर्च की प्रमेय या चर्च-ट्यूरिंग प्रमेय (चर्च-थीसिस के साथ भ्रमित नहीं होना) के रूप में जाना जाता है। " चर्च-ट्यूरिंग थीसिस पर सुधार के लिए चीयर्स, मैं उस पर ध्यान दूंगा। क्या आप मेरे सवाल पर डेविड थॉर्नले की टिप्पणी के अनुसार हैं?

— नोल्डोरिन

गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय के वर्णन के बारे में, मैं आपकी (अधिक सटीक) परिभाषा को पूरी तरह से स्वीकार करता हूं, हालांकि यह प्रश्न में मेरे सही संस्करण के बराबर नहीं है / मार्क हैमन के जवाब पर टिप्पणी? अंत में, क्या कोई ऐसा तरीका है जिसके बारे में हम विशिष्ट हो सकते हैं कि ये सिद्धांत समान होने के बावजूद एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?

— नोल्डोरिन

ओह, और "समान" के मेरे अर्थ के बारे में। शायद आप निम्नलिखित कथन को संशोधित कर सकते हैं ताकि यह सही हो (आवश्यक शर्तों / कैविट्स को जोड़ते हुए): ट्यूरिंग मशीन में एक सुसंगत फ़ंक्शन द्वारा किसी सुसंगत औपचारिक प्रणाली में किसी भी वैध प्रमाण का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है?

— नोल्डोरिन

सिद्धांत फिर से होना चाहिए अन्यथा अपूर्णता प्रमेय पकड़ में नहीं आती है। (मानक मॉडल में सभी सच्चे वाक्य लें, यह अन्य सभी स्थितियों को संतुष्ट करता है।) मैं अपने उत्तर में एक अद्यतन जोड़ूंगा।

— केवह

"एक सुसंगत औपचारिक प्रणाली में कोई भी वैध सबूत एक ट्यूरिंग मशीन में एक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है?" मुझे समझ में नहीं आता कि आप "प्रतिनिधित्व" से क्या मतलब है। एक प्रमाण सिर्फ प्रतीकों का एक परिमित तार है।

— केव

Answer 2

क्या हम यह कह सकते हैं कि औपचारिक प्रणाली (प्रूफ़ कैलकुलस) में प्रोवेबिलिटी की अवधारणा पुनरावर्तन सिद्धांत (ट्यूरिंग मशीन / लैम्ब्डा कैलकुलस) में कम्प्यूटेबिलिटी की अवधारणा के समान है?

ये बहुत समान हैं, लेकिन समान नहीं हैं, क्योंकि प्रोटो कैलकुलस में कुछ कदम गैर-गणना योग्य संचालन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

$ZFC$$\wp(N)$

इसी तरह, गोडेल की पूर्णता प्रमेय हमें बताती है कि पहले क्रम तर्क में किसी भी मान्य सूत्र के पास एक प्रमाण है, लेकिन ट्रैखटेनब्रोट के प्रमेय हमें बताते हैं कि, परिमित मॉडल पर, पहले क्रम के सूत्रों की वैधता अपरिहार्य है।

इसलिए परिमित साक्ष्य जरूरी संचालनात्मक कार्यों के अनुरूप नहीं हैं।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। तो स्पष्ट करने के लिए, आपके उदाहरण के वे कदम वास्तव में कितने महत्वपूर्ण हैं - किस अर्थ में, मुझे कहना चाहिए? स्पष्ट करने के लिए, जब मैं कहता हूं कि सबूत संगणनीय हैं, तो मेरा मतलब है कि अनुमान के नियम अभिकलन हैं ... (क्या इसके बारे में सोचने का कोई और तरीका है?)

— नोल्डोरिन

भीलों का सेट पुनरावृत्ति करने योग्य है, लेकिन सभी भीलों को उत्पन्न करने का प्रयास स्पष्ट रूप से समाप्त नहीं होगा, इसलिए यह कड़ाई से गणना योग्य नहीं है। भीलों की शक्तियों का पुनरावर्ती रूप से उपयोग करने योग्य नहीं है, और इसके अधिकांश तत्व पुनरावर्ती रूप से उपयोग करने योग्य नहीं हैं, इसलिए यह "भी कम" संगणनीय है।

— मार्क हमन

इस बारे में आपका अन्य प्रश्न यह है कि मेरे विचार से यह कितना पेचीदा है और इसके दायरे में बड़ा है। यह कहने के लिए पर्याप्त है कि यदि आप गणना योग्य होने के लिए गणना योग्य अनुमान नियमों के साथ गैर-संगणनीय कदमों पर विचार करते हैं, तो हाल्टिंग प्रॉब्लम को बस रुकने का एक संकेत मान कर हॉल्टिंग का एक Axiom मानकर गणना की जाती है। मुझे धोखा देने जैसा लगता है। ;-)

— मार्क हैमन

@Marc: इस समय मैं जो पुस्तक पढ़ रहा हूँ, वह कहती है कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय इस योग्य है कि यदि आप ट्यूरिंग मशीन के लिए n इनपुट करते हैं, तो मशीन nth प्राकृतिक संख्या को आउटपुट कर सकती है। दरअसल, पावरसेट की गणना ट्यूरिंग मशीन द्वारा नहीं की जा सकती है।

— नोल्डोरिन

इसके अलावा, मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके आलिंगन को एक बाधा मानने के बारे में आपके तर्क का पालन करूंगा ... ट्यूरिंग मशीनों में "स्वयंसिद्ध" बोलने के लिए ऐसा नहीं है? मुझे लगता है कि मुझे अभी भी आश्वस्त होने की आवश्यकता है कि "एक औपचारिक प्रणाली में सभी वैध साक्ष्य कम्प्यूटेशनल साक्ष्य हैं" सच नहीं है। यह मुझे सहज रूप से सही के रूप में हमला करता है।

— नोल्डोरिन

Answer 3

यद्यपि यह काफी नहीं है कि आप किस बारे में पूछ रहे हैं, यह एक ही नस में है और उम्मीद है कि आप (और आपके प्रश्न के अन्य पाठक) इसे ब्याज के रूप में पाएंगे। आपको करी-हावर्ड पत्राचार पर निश्चित रूप से पढ़ना चाहिए , जो कहता है कि कार्यक्रमों की श्रेणी एक विशिष्ट अर्थ में, रचनात्मक प्रमाण की श्रेणी में समसामयिक है । (यह अन्य उत्तरों की तुलना में एक अलग स्तर पर साक्ष्यों और संगणना पर चर्चा कर रहा है।)

Comments

बिल्कुल ... मैं करी-हावर्ड पत्राचार से अवगत था, लेकिन इसे सवाल पर नहीं लाना चाहता था और चीजों को और जटिल कर रहा था। हालांकि यह इंगित करने के लिए धन्यवाद। मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह वह लिंक है जिसकी मैं तलाश कर रहा हूं, या यदि यह कुछ अधिक प्रतिबंधात्मक / संकीर्ण है, तो मैं देखना चाहता हूं। आपको क्या लगता है, क्या यहां कोई स्पष्टीकरण दिया जाना है?

— Noldorin

Answer 4

मैं संक्षेप में आपके प्रश्न का उत्तर देने की कोशिश करूँगा; मैं भी दो प्रमेयों को एक अलग तरीके से संबंधित करने की कोशिश कर रहा हूं।

गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि पर्याप्त अंकगणितीय शक्ति के साथ एक सुसंगत औपचारिक प्रणाली में, एक कथन P ऐसा है, जिसका कोई भी प्रमाण या इसका कोई नकार मौजूद नहीं है। इसका मतलब यह नहीं है कि सिद्धांत के प्रमेयों के सेट के लिए कोई निर्णय एल्गोरिथ्म नहीं है, जो यह भी कहेगा कि न तो पी और न ही पी प्रमेय हैं। चर्च-ट्यूरिंग का प्रमेय परिणाम कहता है कि इस तरह के एक एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है। यह भी केव द्वारा जवाब का मूल है, मुझे उम्मीद है कि यह स्पष्ट है।

अब मैं यह साबित करने की कोशिश करूंगा कि चर्च-ट्यूरिंग की प्रमेय का अर्थ है गोडेल की प्रमेय, कृपया मुझे समझाएं कि मैं कहां और कहां गलत हूं। प्रमेयों का सेट Thm आंशिक रूप से निर्णायक है, और मान लीजिए R एक प्रोग्राम है जो इसे पहचानता है (यानी, यदि इनपुट थम में है, तो "हां" के साथ रुक जाता है, अन्यथा चालू रहता है)। चलो एक नया एल्गोरिथ्म बनाने के लिए इसका उपयोग करते हैं: एक कथन क्यू को देखते हुए, यह देखने के लिए कि क्या यह साबित हो सकता है, आर को क्यू पर समानांतर में चलाएं और क्यू नहीं, उनके निष्पादन को इंटरलेयिंग करके, और जब उनमें से पहला भाग रुक जाए, और "नहीं" का उत्पादन हो तो "नहीं क्यू" साबित हुआ था, और "हां" अन्यथा; यह एक कम्प्यूटेशनल एल्गोरिथ्म देता है। विरोधाभास द्वारा यह मानकर कि सभी कथन सिद्ध या अस्वीकृत किए जा सकते हैं, यह एल्गोरिथ्म Entscheidungsproblem को हल करेगा, लेकिन यह बेतुका है! इसलिए, एक बयान होना चाहिए जो '