संक्षिप्त उत्तर : जीसीटी की योजना के पहले आधे हिस्से को समझने के लिए गणित का वास्तव में न्यूनतम ज्ञान, एक बार जब आपने समूह, अंगूठियां, और फ़ील्ड्स को थोड़ा सा देखा है, तो मूल रूप से मेरी थीसिस के अध्याय 3 में रखा गया है (बेशर्म स्व प्लग )। हालांकि, यह अध्याय अधूरा है, इसमें मुझे चीजों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का हिस्सा नहीं मिलता है। योजना के दूसरे भाग के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत महत्वपूर्ण है (यही वजह है कि मैं इसे शामिल करने के लिए उस अध्याय का विस्तार करने पर काम कर रहा हूं)।
यदि आप वास्तव में जीसीटी, सिमिट्री, रिप्रेजेंटेशन, और गुडमैन और वलाक और एलेग्रेबिक ग्रुप्स के इन्वेंटर्स और डब्ल्यू। फेरर्स सैंटोस द्वारा प्राप्त करना चाहते हैं, तो दोनों ही स्व-निहित हैं और बहुत सारी अच्छी जानकारी है जो जीसीटी के अनुरूप है। मुझे यकीन नहीं है कि अगर वे इस सामग्री से बहुत कुछ सीख चुके हैं, तो मैं उनसे सीखने के लिए सबसे अच्छा स्रोत हूं, जैसा कि मैंने उनके बारे में सीखा है, लेकिन वे उस चीज के अनुपात के मामले में अच्छे हैं जो वे जीसीटी के लिए प्रासंगिक हैं। फुल्टन और हैरिस प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए महान हैं और पुस्तक में बहुत सारे उदाहरण / अभ्यास जीसीटी के लिए प्रासंगिक हैं।
लंबे समय तक जवाब : यह वास्तव में निर्भर करता है कि आप जीसीटी के बारे में क्या / कितना सीखना चाहते हैं, जैसा कि विजय ने बताया। नीचे दिए गए विषय वही हैं जो मुझे लगता है कि पृष्ठभूमि की आवश्यकता है, क्योंकि यह प्रश्न था। मुझे यकीन नहीं है कि यह एक पूरी सूची है - मैं जीसीटी पर कुछ कागजात पढ़ने की कोशिश करने की सिफारिश करूंगा, और जब आप पृष्ठभूमि सामग्री के साथ खो जाते हैं। जैसा कि आप पृष्ठभूमि सामग्री सीख रहे हैं, हर बार अक्सर जीसीटी कागजात पर वापस आते हैं और देखते हैं कि क्या आप आगे का अनुसरण कर सकते हैं।
(आप जो सीखना चाहते हैं, उसके आधार पर, मैं वास्तव में ज़ीयू से असहमत हूँ कि आपको पहले कुछ स्नातक कम्यूटरी बीजगणित की कोशिश करनी चाहिए, हालांकि जीसीटी सीखने में कुछ बिंदु पर यह आवश्यक हो जाएगा।)
यदि आप समझना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, मुल्मुले का हालिया FOCS पेपर , तो आप समझना चाहेंगे:
- कठोरता बनाम यादृच्छिकता सिद्धांत ( इम्पेग्लियाज़ो देखें - कबनेट्स , और शायद बिल गैसार्च की कठोरता वी यादृच्छिकता पर कागजात की सूची )
- हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसटेज़ और नॉथर्स के नॉर्मलाइज़ेशन लेम्मा तक मूल बीजगणितीय ज्यामिति। ये बीजीय ज्यामिति पर किसी भी मूल पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं और शायद इस पर अधिकांश व्याख्यान नोट्स में।
- कुछ क्लासिकल इनवेरिएंट थ्योरी (आपको वास्तव में इस पेपर के लिए जियोमेट्रिक इनवेरिएंट थ्योरी, स्कीम्स और ममफोर्ड-फोगार्टी-किरवान बुक की जरूरत नहीं है)। Sturmfels की पुस्तक Algorithms in Invariant Theory का विचार आता है।
- कागज में कुछ परिणामों के लिए, लेकिन सामान्य रूप से कागज के लिए कोई साधन नहीं होने से, आप कुछ (और इन संदर्भों को भी कागज में पाया जा सकता है) चाहते हैं: फुल्टन और हैरिस के रूप में का प्रतिनिधित्व सिद्धांत , मैट्रिक्स पर परिणाम [ आर्टिन, प्रोसेसी, रज़्ज़लोव], ...SLn
यदि आप GCT दृष्टिकोण की सामान्य रूपरेखा को समझना चाहते हैं, लेकिन कुछ गणितीय विवरणों में , मैं सुझाव दूंगा:
स्थायी बनाम निर्धारक समस्या। # निर्धारक की स्थायी और GapL- पूर्णता की P- पूर्णता। अग्रवाल ने इस पर एक अच्छा सर्वेक्षण (केवल थोड़ा पुराना) किया है, और पूर्णता के प्रमाण बर्गीसर्स की पुस्तक कम्प्लीटेंस एंड रिडक्शन इन बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत में पाए जा सकते हैं ।
समूह और समूह क्रियाएं (बीजगणितीय समूह और बीजगणितीय समूह क्रियाएं सहायक हैं, लेकिन इस स्तर पर आवश्यक नहीं हैं)। आपको ऑर्बिट-स्टेबलाइजर प्रमेय को समझना चाहिए।
हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसट्ज के माध्यम से बीजगणितीय ज्यामिति को प्रभावित करें। मूल रूप से आपको केवल एफाइन बीजीय किस्में और उनके समन्वय के छल्ले के बीच पत्राचार को समझने की आवश्यकता है।
फुल्टन और हैरिस के रूप में का मूल प्रतिनिधित्व सिद्धांत । मूल परिभाषाओं के अलावा, आपको इन अभ्यावेदन की पूर्ण पुनर्निर्धारणता जानने की आवश्यकता है, और यह तथ्य कि के को विभाजन द्वारा वर्गीकृत किया गया है, लेकिन आपको बाद के प्रमाण / निर्माणों को जानने की आवश्यकता नहीं है। जी एल एनGLnGLn
यदि आप गहराई से समझना चाहते हैं कि क्या चल रहा है (और मुझे यकीन नहीं है कि मैं अभी तक वहां होने का दावा कर सकता हूं, लेकिन मुझे लगता है कि मुझे पता है कि मुझे वहां पहुंचने के लिए क्या जानने की जरूरत है), आपको शायद यह भी समझना चाहिए:
रिडक्टिव बीजीय समूहों की संरचना और ऑर्बिट उनके अभ्यावेदन में बंद हो जाते हैं। मुझे इसके लिए डब्ल्यू फेरर्स सैंटोस की पुस्तक पसंद है , लेकिन बोरेल द्वारा रेखीय बीजगणितीय समूह , वायल द्वारा द क्लासिकल ग्रुप और अन्य क्लासिक्स भी।
Luna-Vust मशीनरी (Luna-Slice प्रमेय, Luna-Vust जटिलता)
टैनकियन ड्यूएलिटी (डेलिग्ने - मिल्ने द्वारा कागज देखें ; यह श्रेणी सिद्धांत और कुछ बीजगणितीय समूहों में कुछ पृष्ठभूमि के बिना कठिन पढ़ना होगा)। यह अनिवार्य रूप से कहता है कि "(समर्थक-) समरूप बीजीय समूहों को उनके अभ्यावेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है।" मुझे नहीं लगता कि आपको पूरे पेपर की ज़रूरत है, इसलिए एक समूह को अपने प्रतिनिधित्व की श्रेणी से कैसे पुनर्प्राप्त किया जाए (कोर 3.4)।
अधिक प्रतिनिधित्व सिद्धांत , विशेष रूप से बीजीय समूहों के समन्वय के छल्ले और उनकी कक्षा बंद होने पर लागू होता है। मुझे वास्तव में इसके लिए गुडमैन और व्लाक की पुस्तक पसंद है , खासकर क्योंकि यह मूल रूप से आत्म-निहित है, और इसमें बहुत कुछ है जो आपको जीसीटी को समझने की आवश्यकता है। (साथ ही, फुल्टन और हैरिस के कई एक्सपोज़री / साइड सेक्शन और एक्सरसाइज जीसीटी के लिए मार्क पर सही हैं, विशेष रूप से लिटिलवुड-रिचर्डसन और क्रोनकर गुणांक के बारे में।)
यदि आप वास्तव में प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर काम करना चाहते हैं , तो आप शायद अधिक बीजीय कॉम्बिनेटरिक्स / कॉम्बिनेटरियल प्रतिनिधित्व सिद्धांत को समझना चाहते हैं। मैं वास्तव में इसके लिए सभी सही संदर्भों को नहीं जानता, लेकिन लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम को समझना निश्चित रूप से जरूरी है, और फुल्टन की पुस्तक यंग टैबलक्स इसके लिए अच्छी है।
चीजों के इस पक्ष में सबसे हालिया कागजात जो मुझे पता है कि ब्लासीक , कुमार , और बोमन, डी विचर और ओरेलाना हैं ।
आप किस दिशा में जाना चाहते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, आप क्वांटम समूहों में देखना चाहते हैं, हालांकि यह आवश्यक नहीं है (ध्यान दें: ये समूहों का एक विशेष मामला नहीं है, बल्कि एक निश्चित दिशा में एक सामान्यीकरण है)।
चीजों के अधिक ज्यामितीय पक्ष पर , आप स्पर्शरेखा और परासरण स्थानों, वक्रता, दोहरी किस्मों के लिए अंतर ज्यामिति जैसी चीजों पर गौर करना चाहेंगे, और जैसे, जो मिग्नॉन के कारण परमिट बनाम डिटेल पर सर्वोत्तम ज्ञात निम्न अंतर्निहित अंतर्निहित हैं - रेसेरे और उसके बाद लैंड्सबर्ग - मैनिवेल - रेसेयर । ( मिग्नॉन - रेसेयर को इनमें से किसी भी चीज़ के बिना समझा जा सकता है, लेकिन आप उनके कागज को कुछ किस्मों की वक्रता का अध्ययन करने के रूप में शिथिल देख सकते हैं; कम ढीले दृश्य के लिए, लैंड्सबर्ग - मैनिवेल - रेसेयर में दोहरी किस्मों का उपयोग देखें । ) ( कै, चेन और ली को भी देखें , जो मिग्नॉन - रेसेयर को सभी विषम विशेषताओं तक फैलाता है।) लैंड्सबर्ग और कडीश भी देखें ।
यदि आप मैट्रिक्स गुणा करने के लिए GCT दृष्टिकोण में रुचि रखते हैं , तो यह सभी टेंसर रैंक, बॉर्डर रैंक, और सेकेंडरी किस्मों के बारे में है। मैं बर्गिसर - इकेनमेयर , लैंड्सबर्ग और ओतावियानी , लैंड्सबर्ग , लैंड्सबर्ग के सर्वेक्षण और पुस्तक के कागजात को देखने का सुझाव देता हूं । बेशक, मैट्रिक्स गुणा (ऊपरी और निचले दोनों सीमा) पर शास्त्रीय सामान को जानना अच्छा होगा, लेकिन यह कीड़े की एक पूरी अलग-अलग कैन है।