प्राकृतिक सबूत और ज्यामितीय जटिलता में निर्माण

Question

हाल ही में, रयान विलम्स ने साबित किया कि जटिलता का एक पृथक्करण प्राप्त करने के लिए प्राकृतिक प्रूफ में निर्माण अपरिहार्य है: और । टी सी $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

नेचुरल प्रूफ में कंस्ट्रक्टिविटी एक शर्त है कि सर्किट कॉम्प्लेक्सिटी में सभी कॉम्बीनेटरियल प्रूफ संतुष्ट हो जाते हैं और हम यह तय कर सकते हैं कि क्या इन- (या एक और "हार्ड" कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस) में टार्गेट फंक्शन एक एल्गोरिदम द्वारा "हार्ड" प्रॉपर्टी है जो चलती है लक्ष्य फ़ंक्शन की सत्य तालिका की लंबाई में पॉली-टाइम।$\mathsf{NEXP}$

अन्य दो स्थितियाँ हैं: बेकार स्थिति जिसके लिए "कठिन" संपत्ति की आवश्यकता होती है, उसे किसी भी सर्किट द्वारा और में गणना नहीं की जा सकती है, जो कठिन संपत्ति को खोजने में आसान हो।$\mathsf{TC}^0$

मेरा सवाल यह है कि :

क्या यह परिणाम मुख्य अलग-अलग समस्याओं जैसे कि बनाम , बनाम , या बनाम हल करने के लिए जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी (GCT) उपलब्ध नहीं है। ?एन पी पी एन $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

संदर्भ:

• रयान विलियम्स, " प्राकृतिक सबूत बनाम डर्मासलाइज़ेशन "

Answer 1

नहीं, निर्माण की अपरिहार्यता निश्चित रूप से अभी भी जीसीटी को बनाम जैसी कम बाध्य समस्याओं पर हमले की एक व्यवहार्य योजना के रूप में खुला छोड़ देती है ।$NP$$P/poly$

सबसे पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि मुलमुले द्वारा तथाकथित "फ्लिप थिअरीम्स" के लिए रचनात्मक रूप से रयान का परिणाम स्वाद के समान है, जो कहते हैं, उदाहरण के लिए कि यदि स्थायी में पॉली-आकार अंकगणितीय सर्किट नहीं हैं, तो एक है (बहुपद में कई) मेट्रिसेस यादृच्छिक पॉली-टाइम रचनात्मक सेट जैसे कि प्रत्येक छोटा सर्किट इन मैट्रिसेस में से किसी एक पर स्थायी से भिन्न होता है। देखें स्पष्ट सबूत और फ्लिप, तकनीकी रिपोर्ट, कंप्यूटर विज्ञान विभाग, शिकागो, सितंबर 2010 के विश्वविद्यालय Mulmuley द्वारा।$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

दूसरा, जीसीटी में समरूपता-लक्षण वर्णन (पहले से ही सिमन द्वारा उल्लेखित) रेगन के सर्वेक्षण के बाद से अधिक स्पष्ट हो गया है। यदि समरूपता-लक्षण वर्णन जीसीटी के लिए उतना ही महत्वपूर्ण हो जाता है जितना लगता है कि यह होने जा रहा है, तो यह पहले से ही लार्जन स्थिति के आसपास हो जाता है। समरूपता-लक्षण वर्णन की परिभाषा के लिए, इस प्रश्न को बारीकी से संबंधित पिछले प्रश्न के साथ देखें ।

इस बात के प्रमाण के लिए कि समरूपता-लक्षण वर्णन लार्जन का उल्लंघन करता है, धारा 3.4.3 देखें "समरूपता-लक्षण वर्णन मेरे थिसारस में रज़बोरोव-रुडीच बाधा" से बचा जाता है (बेशर्म आत्म-प्लग, लेकिन मुझे कहीं और नहीं पता कि यह पूरी तरह से लिखा गया है) । मुझे संदेह है कि यह रचनात्मकता का भी उल्लंघन करता है, लेकिन इसे एक खुले प्रश्न के रूप में छोड़ दिया। (इससे पहले अध्याय 3 में GCT में फ्लिप प्रमेयों का अवलोकन भी है और वे समरूपता-लक्षण वर्णन से कैसे संबंधित हैं।)

(मुझे यह दिलचस्प लगता है कि समरूपता-लक्षण वर्णन - जिस संपत्ति पर हमें संदेह है उसका उपयोग जीसीटी में किया जाएगा जिसका उपयोग रेज़बोरोव - रूडीच के आसपास होता है, इसका उपयोग फ्लिप प्रमेयों को साबित करने के लिए किया जाता है, जो अनिवार्य रूप से कहते हैं कि रचनात्मकता आवश्यक है।)

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि हालांकि लंबे समय में जीसीटी का उद्देश्य बनाम और अन्य बूलियन समस्याओं को संबोधित करना है, फिलहाल जीसीटी में अधिकांश काम इन के बीजीय एनालॉग्स पर केंद्रित है, जैसे कि जटिल संख्याओं पर, और वहां के रूप में अभी तक कोई Razgeov के बीजीय एनालॉग है - रुडीच (जो मुझे पता है)।पी / पी ओ एल $NP$$P/poly$

Comments

जोश: मेरी अल्प समझ यह है कि मुल्मुले के परिणाम के रूप में "स्थायी के पास पॉलीसिज़ सर्किट नहीं है, जिसका अर्थ है स्थायी के लिए बहुपद-काल अवरोधों" को भी एक अतिरिक्त व्युत्पन्न परिकल्पना की आवश्यकता है, पीआईटी के लिए कहते हैं। (लेकिन यह एक दिलचस्प सवाल है: क्या ऐसी व्युत्पत्ति परिकल्पना भी आवश्यक है, अगर हम पहले से ही मान रहे हैं कि छोटे सर्किट हैं?) आपकी थीसिस के लिए सूचक के लिए धन्यवाद!

— रयान विलियम्स

@ रेयानविलियम्स: हाँ, यह सही है। मैं अब जवाब देने के लिए अद्यतन "अनियमित पाली समय।"

— जोशुआ ग्रोको

Answer 2

मुझे पहले एक संभावित गलतफहमी को ठीक करने दें: दुर्भाग्य से हम अभी तक यह नहीं जानते हैं कि । मेरी सबसे हाल की निचली सीमा ।$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

अब, आपके प्रश्न का उत्तर नहीं है। यह अभी भी बहुत संभव है कि जीसीटी पर आधारित तकनीक को से अलग कर सकती है ।$P$$NP$

इसके बारे में कुछ और टिप्पणियां: अतीत में (यहां तक ​​कि मूल जीसीटी पत्रों में भी) जीसीटी और प्राकृतिक सबूतों के बीच संबंध पर चर्चा की गई है। हालांकि ऐसा नहीं लगता है कि जीसीटी के दृष्टिकोण से "कंस्ट्रक्शन" या "लार्जेनेस" में से कौन सा उल्लंघन होगा, मुल्मुले और सोहोनी ने एक बिंदु पर तर्क दिया कि यदि जीसीटी को बाहर किया जा सकता है तो लार्जन का उल्लंघन करना चाहिए। प्रासंगिक संदर्भ के लिए, GCT के रेगन के अवलोकन के अनुभाग 6 को देखें । हालाँकि, मुझे यह जोड़ना चाहिए कि यह अवलोकन पहले से ही 10 साल पुराना है, और तब से काफी मात्रा में काम जीसीटी में चला गया है; मुझे यकीन नहीं है कि इस पर कोई संशोधित / नई राय है। (शायद जोश ग्रोचो में झंकार कर सकते हैं?)

Answer 3

संक्षिप्त उत्तर नहीं है ।

जियोमेट्रिक कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी दृष्टिकोण कुछ अत्यंत दुर्लभ संपत्ति को लक्षित करता है, जो मुल्मुले का तर्क है कि "बड़ी" रज़ोरोव और रूडीच द्वारा परिभाषित नहीं है। एक औपचारिक तर्क के लिए, यह भी देखें जोशुआ ग्रोचो की थीसिस , धारा 3.4.3 समरूपता-लक्षण वर्णन रज़ोरोव-रुडीच बाधा और उसके उत्तर से बचा जाता है ।

निम्नलिखित पैरा से आता पी बनाम एनपी और ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत पर केतन मुल्म्ूले (द्वारा JACM 2011 या पांडुलिपि ), धारा 4.3 एक उच्च स्तरीय योजना :

लक्ष्य इन कदमों को स्पष्ट रूप से पूरा करना है, स्थायी और निर्धारक की समरूपता द्वारा लक्षण वर्णन का शोषण करना। हम बताएंगे कि बाद में क्या स्पष्ट मतलब है; सीएफ परिकल्पना 4.6। यह दृष्टिकोण इस अर्थ में अत्यंत कठोर है कि यह केवल अत्यंत दुर्लभ कठिन कार्यों के लिए काम करता है जो उनके समरूपता की विशेषता है। यह चरम कठोरता प्राकृतिक प्रूफ बाधा [रज़ोरोव और रूडीच 1997] को बायपास करने के लिए जितना आवश्यक है, उससे कहीं अधिक है।

चूंकि एक स्वाभाविक प्रमाण (जहां उपयोगिता निहित है) के लिए निर्माण और लारजेनेस दोनों की शर्तों की आवश्यकता होती है, यह साबित करते हुए कि इस तरह के दृष्टिकोणों को खारिज करने के लिए निर्माणशीलता अपरिहार्य है (हालांकि एक बड़ा कदम आगे)।