शोर ऑपरेटर का एक विस्तार

Question

वर्तमान में मैं जिस समस्या पर काम कर रहा हूं, उसमें शोर ऑपरेटर का एक विस्तार स्वाभाविक रूप से उठता है, और मैं उत्सुक था कि क्या पहले काम किया गया है। पहले मुझे असली-मूल्यवान बूलियन कार्यों पर मूल शोर ऑपरेटर को संशोधित करने दें । एक समारोह को देखते हुए और , st , , हम को परिभाषित करते हैं को च : { 0 , 1 } n → आर ε पी 0 ≤ ε ≤ 1 ε = 1 - 2 पी टी ε → आर टी ε च ( एक्स ) = ई y ~ μ पी [ च ( एक्स + y ) $T_{\varepsilon}$$f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\varepsilon$$p$$0 \leq \varepsilon \leq 1$$\varepsilon = 1 - 2p$$T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$$T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ पर वितरण है, जो -bit वेक्टर के प्रत्येक बिट को स्वतंत्र रूप से प्रायिकता और साथ होना चाहिए । समान रूप से, हम इस प्रक्रिया को स्वतंत्र संभाव्यता साथ प्रत्येक बिट को फ़्लिप करने के रूप में सोच सकते हैं । अब इस शोर ऑपरेटर के कई गुणकारी गुण हैं, जिसमें गुणात्मक और अच्छा eigenvalues ​​और eigenvectors ( where समता के आधार पर है)।एन 1 पी 0 एक्स पी टी ε 1 टी ε 2 = टी ε 1 ε 2 टी ε ( χ एस ) = ε | एस | χ एस χ $y$$n$$1$$p$$0$$x$$p$$T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$$T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$$\chi_S$

अब मैं अपने विस्तार को परिभाषित करता हूं , जिसे मैं रूप में दर्शाता हूं । द्वारा दिया जाता है आर _ {(p_1, p_2)} f (x) = E_ {y \ सिम \ mu_ {पी, एक्स}} [f (x + y )] । लेकिन यहाँ हमारे वितरण \ mu_ {पी, x} ऐसी है कि हम फ्लिप है 1 के टुकड़े एक्स को 0 संभावना के साथ p_1 और 0 के टुकड़े एक्स के लिए 1 संभावना के साथ p_2 । ( \ mu_ {p, x} अब स्पष्ट रूप से x पर एक वितरण निर्भर करता है, जहाँ फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया जाता है, और यदि p_1 = 2:आर ( पी 1 , पी 2 ) आर ( पी 1 , पी 2 ) → आर आर ( पी 1 , पी 2 ) च ( एक्स ) = ई y ~ μ पी , एक्स [ च ( एक्स + y ) ] μ पी , एक्स 1 एक्स 0 पी 1 1 एक्स 1 $T_\varepsilon$$R_{(p_1,p_2)}$$R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$$R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$$\mu_{p,x}$$1$$x$$0$$p_1$$0$$x$$1$$p_2$$\mu_{p,x}$$x$$p_1 = p_2$तब $R_{(p_1,p_2)}$ 'नियमित' शोर ऑपरेटर को कम कर देता है।)

मैं सोच रहा था, क्या यह ऑपरेटर $R_{(p_1,p_2)}$ पहले से ही साहित्य में कहीं अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है? या क्या इसके मूल गुण स्पष्ट हैं? मैं बस बूलियन विश्लेषण के साथ शुरू कर रहा हूं, इसलिए मैं किसी सिद्धांत से अधिक परिचित किसी व्यक्ति से सीधा हो सकता हूं। विशेष रूप से मुझे दिलचस्पी है कि क्या आइजनवेक्टर और ईजेनवेल्यूज़ में कुछ अच्छा लक्षण है, या क्या कोई गुणक संपत्ति है।

Answer 1

मैं प्रश्न के दूसरे भाग का उत्तर दूंगा।

I. आइजेनवेल्स और ईजेनफंक्शन

आइए पहले एक आयामी मामले पर विचार करें । यह जांचना आसान है कि ऑपरेटर के दो eigenfunctions हैं: और क्रमशः eigenvalues और साथ ।आर पी 1 , पी 2 1 ξ ( एक्स ) = ( पी 1 + पी 2 ) एक्स - पी 1 = { - पी 1 ,  यदि  x = 0 , पी 2 ,  यदि  x = 1. 1 1 - पी 1 - पी $n=1$$R_{p_1,p_2}$$1$

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ $1$$1-p_1 - p_2$

अब सामान्य मामले पर विचार करें। के लिए , चलो । ध्यान रखें कि का एक है । दरअसल, चूंकि सभी चर स्वतंत्र हैं, इसलिए हमारे पास ξ एस ( एक्स ) = Π मैं ∈ एस ξ ( एक्स मैं ) ξ एस आर पी 1 , पी 2 एक्स मैं आर पी 1 , पी 2 ( ξ ( एक्स ) $S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$$\xi_S$$R_{p_1,p_2}$$x_i$

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

हम चाहते हैं कि मिल एक के eigenfunction है eigenvalue साथ हर के लिए । चूंकि फ़ंक्शंस पूरे स्थान को , में कोई अन्य eigenfunctions नहीं है (जो कि रैखिक संयोजन नहीं हैं )।आर पी 1 , पी 2 ( 1 - पी 1 - पी 2 ) | एस | एस ⊂ { 1 , ... , n } ξ एस ( एक्स ) आर पी 1 , पी 2 ξ एस ( एक्स $\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$(1-p_1-p_2)^{|S|}$$S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$\xi_S(x)$

द्वितीय। गुणक गुण

सामान्य तौर पर, "गुणक संपत्ति" क्योंकि और पर निर्भर करते हैं । हालाँकि, हमारे पास जहाँ और । यह सत्यापित करने के लिए, पहले ध्यान दें कि और में एक ही सेट eigenfunctions । हमारे पास, बाद से आर पी 1 , पी 2 पी 1 पी 2 आर 2 पी 1 , पी 2 = आर पी ' 1 , पी ' 2 , पी ' 1 = 2 पी 1 - ( पी 1 + पी 2 ) पी 1 पी । 2 = 2 पी 2 - ( पी $R_{p_1,p_2}$$R_{p_1,p_2}$$p_1$$p_2$

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ $p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$आर पी 1 , पी 2 आर पी ' 1 , पी ' 2 { ξ एस } आर 2 पी 1 , पी 2 ( ξ एस ) = ( 1 - पी 1 - पी 2 ) 2 | एस | ξ एस = ( 1 - पी ' 1 - पी $p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$$R_{p_1,p_2}$$R_{p_1',p_2'}$$\{\xi_S\}$ 1 - पी ' 1 - पी ' $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

तृतीय। बोनमी-बेकन ऑपरेटर से संबंध

आइए हम रूप में से के कार्यों के बारे में सोचते हैं । Let । ऑपरेटर यह हर मल्टीलाइनर बहुपद को एक बहुरेखीय बहुपद मैप करता है । हमारे पास, जहां । ध्यान दें कि भागों I और II बोनामी-बेकर ऑपरेटर के इस सूत्र और गुणों का पालन करते हैं।$\{0,1\}^n$${\mathbb R}$$\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ $f$$A[f]$ $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

Comments

Yury, उत्तर के लिए धन्यवाद! मेरे साथ काम करने के लिए यह एक अच्छा शुरुआती बिंदु है; यदि हाइपर कॉन्ट्रैक्टिव असमानता के एनालॉग्स हैं तो मुझे अब काम करने में सक्षम होना चाहिए। अगर मुझे कोई और दिलचस्प विश्लेषण मिलेगा तो वापस यहाँ पोस्ट करूँगा।

— अमीर

यह तथ्य के बाद बहुत लंबा है, लेकिन मैं उत्सुक हूं कि आपने तीसरे भाग और बेकर बोनामी ऑपरेटर के संबंध कैसे निकाले?

— अमीर

$f=1$$f=x_i$$1$$x_i$$T_\varepsilon$$R_{p_1,p_2}$$\prod_{i\in S} x_i$$T$$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$$R$$R(f) = A^{-1} T A(f)$$\xi(x)$$x$

Answer 2

$R_{p_1, p_2}$$R_{p,0}$

$R_{p,0}$$f$$\ell_2$$f$$\mu$$p$

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— सुरेश वेंकट