गैर-उत्तल द्विघात प्रोग्रामिंग के लिए सटीक एल्गोरिदम

Question

यह सवाल बॉक्स की बाधाओं (बॉक्स-क्यूपी) के साथ द्विघात प्रोग्रामिंग समस्याओं के बारे में है, अर्थात, फॉर्म की अनुकूलन समस्याएं

• मिनिमम अधीन ।एक्स ∈ [ 0 , 1 ] $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$$\mathbf{x} \in [0,1]^n$

यदि सकारात्मक अर्ध-निश्चित था, तो सब कुछ अच्छा और उत्तल और आसान होगा, और हम बहुपद समय में समस्या को हल कर सकते हैं।$A$

दूसरी ओर, यदि हमारे पास में एकीकरण की बाधा , तो हम समय में समस्या को आसानी से हल कर सकते थे क्रूर बल द्वारा। इस प्रश्न के प्रयोजनों के लिए, यह उचित रूप से तेज़ है। हे ( 2 n ⋅ पी ओ एल y ( एन ) $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$$O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

लेकिन गैर-उत्तल निरंतर मामले के बारे में क्या? सामान्य बॉक्स-क्यूपी के लिए सबसे तेजी से ज्ञात एल्गोरिथ्म क्या है?

उदाहरण के लिए, क्या हम इन्हें मध्यम गति वाले समय में हल कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, , या सबसे खराब ज्ञात एल्गोरिदम की स्थिति सबसे खराब है?$O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

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पृष्ठभूमि: मेरे पास कुछ काफी छोटे बॉक्स-क्यूपी हैं जिन्हें मैं वास्तव में हल करना चाहता हूं, और मुझे यह देखकर थोड़ा आश्चर्य हुआ कि कुछ व्यावसायिक सॉफ्टवेयर पैकेज खराब प्रदर्शन करते हैं, यहां तक ​​कि बहुत छोटे मूल्यों के लिए भी । मुझे आश्चर्य होने लगा कि क्या इस अवलोकन के लिए कोई TCS स्पष्टीकरण है।$n$

Comments

क्या आप PSD लिए भी हल कर सकते हैं ? समाधान तर्कहीन हो सकता है, नहीं? आप additive कम करने के लिए तैयार हैं, तो ε शायद एक एक पर्याप्त ठीक ग्रिड पर जानवर बल खोज करके एक घातीय समय एल्गोरिथ्म मिल सकती है। सिर्फ एक अस्पष्ट सुझाव। $A$$\epsilon$

— चंद्रा चकुरी

नकारात्मक पक्ष यह है कि प्रतिपादक के "आधार" की तरह कुछ होगा , लेकिन शायद चालाक ग्रिड इंजीनियरिंग "छोटे" के लिए मदद कर सकते हैं $1/\epsilon$$n$

— सुरेश वेंकट

@ChandraChekuri: Approximations बिल्कुल ठीक करता है, तो आप प्राप्त कर सकते, जैसे, कर रहे हैं । हालांकि, इस तरह के एक महीन ग्रिड पर ब्रूट-फोर्सिंग संभव नहीं है। $\epsilon = 10^{-9}$

— जुका सुकोमेला

वास्तविक बंद क्षेत्रों पर मात्रात्मक उन्मूलन के द्वारा, इन प्रणालियों को वास्तव में हल करना हमेशा संभव होता है।

यदि की अनुमति है, तो आप पहले-क्रम की इष्टतमता मानदंडों को लिखकर, क्यूब के प्रत्येक चेहरे पर फ़ंक्शन को अनुकूलित कर सकते हैं। $O(3^n)$

— योशियो ओकामोटो

Answer 1

एक इष्टतम समाधान कुछ चेहरे पर निहित है। तो, हम घन के सभी चेहरों के माध्यम से जा सकते हैं, और प्रत्येक चेहरे पर सभी स्थिर बिंदुओं को पा सकते हैं।

$I_0$$I_1$$i \in I_0$$x_i = 0$$i \in I_1$$x_i = 1$$\tilde{x}$$x$

$$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$$

$\tilde{A}$$\tilde{c}$$d$$0 < \tilde{x} < 1$

यह अंत करने के लिए, हम प्राप्त करने के लिए उद्देश्य फ़ंक्शन का विभेदन लेते हैं

$$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$$

रेखीय समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने से आपको स्थिर बिंदु, इष्टतम समाधान के लिए उम्मीदवार मिलते हैं। हम उन सभी के माध्यम से जाते हैं, स्थिति की जांच करते हैं, और न्यूनतम उद्देश्य मूल्य के साथ एक को चुनते हैं।

$O(3^n \text{poly}(n))$$n$$3^n$$n$

Comments

$f$

@ कोडी: ऐसा इसलिए है क्योंकि हर पॉलीटॉप उसके चेहरों का असम्बद्ध संघ है।

— योशियो ओकामोटो

$f$

@ कोडी: संपत्ति अभी भी रखती है, लेकिन हमें एक से अधिक डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। मुझे डर है कि यह बहुभिन्नरूपी मामलों के लिए मामूली नहीं है।

— योशियो ओकामोटो