चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के लिए गोडेल की अपूर्णता संबंधी सिद्धांतों का संबंध

Question

यह एक भोला सवाल हो सकता है, लेकिन यहाँ जाता है। (संपादित करें - यह अपवित्र नहीं हो रहा है, लेकिन किसी ने भी प्रतिक्रिया की पेशकश नहीं की है; शायद यह प्रश्न मेरे विचार से अधिक कठिन, अस्पष्ट या अस्पष्ट है?)

गोडेल की पहली अपूर्णता प्रमेय को हॉल्टिंग समस्या की अनिर्वायता के उदाहरण के रूप में साबित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए सिपसर च। 6; स्कॉट आरोनसन द्वारा ब्लॉग पोस्ट )।

जो मैं समझता हूं (टिप्पणियों द्वारा पुष्टि), यह प्रमाण चर्च-ट्यूरिंग थीसिस पर निर्भर नहीं करता है। हम एक पूर्ण और सुसंगत औपचारिक प्रणाली में एक ट्यूरिंग मशीन को हल करने की समस्या को हल करके दिखा सकते हैं। (यदि दूसरी ओर हमने केवल यह दिखाया था कि कुछ प्रभावी प्रक्रिया रुकने की समस्या को तय कर सकती है, तो हमें विरोधाभास प्राप्त करने के लिए चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को भी मानना ​​होगा।)

इसलिए, हम कह सकते हैं कि यह परिणाम चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के लिए थोड़ा सहज समर्थन प्रदान करता है, क्योंकि यह दर्शाता है कि ट्यूरिंग मशीन की एक सीमा एक सार्वभौमिक सीमा का अर्थ है। (आरोनसन की ब्लॉग पोस्ट निश्चित रूप से इस दृष्टिकोण का समर्थन करती है।)

मेरा सवाल यह है कि क्या हम रिवर्स में जाकर कुछ अधिक ठोस हासिल कर सकते हैं: चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के लिए गोदेल के प्रमेयों के क्या औपचारिक निहितार्थ हैं? उदाहरण के लिए, यह सहज रूप से संभव लगता है कि पहले अपूर्णता प्रमेय का तात्पर्य है कि कोई प्रभावी प्रक्रिया निर्धारित नहीं कर सकती है यदि कोई मनमाना ट्यूरिंग मशीन रुकता है; तर्क जा सकता है कि इस तरह के एक प्रक्रिया के अस्तित्व को पूरी तरह से निर्माण करने की क्षमता का अर्थ है $\omega$ -consistent सिद्धांत। क्या ये सही है? क्या इन पंक्तियों के साथ कोई परिणाम हैं?

(मैं जिज्ञासा से बाहर पूछ रहा हूं - मैं खुद तर्क का अध्ययन नहीं करता हूं - इसलिए मैं माफी मांगता हूं अगर यह अच्छी तरह से जाना जाता है या अनुसंधान-स्तर है। उस मामले में, यह एक संदर्भ अनुरोध पर विचार करें! किसी भी टिप्पणी या प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद! !)

प्रश्न जो संबंधित लगता है, लेकिन यह नहीं है: चर्च की प्रमेय और गोडेल की अपूर्णता संबंधी सिद्धांत

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संपादित करें: मैं प्रश्न को और अधिक स्पष्ट करने की कोशिश करूँगा! पहला - मेरा अनुभवहीन अंतर्ज्ञान यह है कि गोडेल की अपूर्णता को कम से कम कुछ सीमाओं पर लागू करना चाहिए जो कि गणना योग्य नहीं है। ये सीमाएं बिना शर्त होंगी, यानी , उन्हें केवल ट्यूरिंग मशीनों के बजाय गणना के सभी मॉडलों पर लागू होना चाहिए ।

तो मैं सोच रहा था कि क्या यह मामला है ( कुछ निहितार्थ होना चाहिए , सही?)। यह मानते हुए, मैं सबसे ज्यादा उत्सुक हूं कि यह चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को कैसे प्रभावित करता है - यह धारणा कि प्रभावी रूप से गणना की जाने वाली चीज की गणना ट्यूरिंग मशीन द्वारा की जा सकती है। उदाहरण के लिए, ऐसा लगता है कि यह तय करने के लिए एक प्रभावी प्रक्रिया का अस्तित्व कि क्या ट्यूरिंग मशीन हॉल्ट पहले अपूर्णता प्रमेय का विरोध करेगी। यह परिणाम प्रदर्शित करेगा कि गणना की कोई भी संभावित विधि ट्यूरिंग मशीनों की तुलना में "अधिक" अधिक शक्तिशाली हो सकती है; लेकिन क्या यह परिणाम सच है? मेरे पास टिप्पणियों में कुछ इसी तरह के प्रश्न हैं। मुझे इनमें से एक प्रश्न का उत्तर सुनने के लिए बहुत दिलचस्पी होगी, साहित्य में एक उत्तर के लिए एक संकेतक, इस बात का स्पष्टीकरण कि मेरा पूरा तर्क ऑफ-बेस, या कोई अन्य टिप्पणी क्यों है!

Comments

दोनों प्रमाण समान परिणाम देते हैं और समान मान्यताओं की आवश्यकता होती है। उनमें से किसी को भी चर्च-ट्यूरिंग थीसिस की जरूरत नहीं है। सीटीटी केवल तभी आवश्यक है जब आप "एल्गोरिथम कम्प्यूटेबिलिटी" की अस्पष्ट और सहज अवधारणा के बारे में दावा करना चाहते हैं।

— केव

ps: प्रश्न कंप्यूटर विज्ञान या गणित के लिए अधिक उपयुक्त लगता है ।

— केव

मुझे सवाल समझ में नहीं आया। क्या कोई समझा सकता है कि क्या पूछा जा रहा है?

— वृषभ बाउर

मैं इस बात से सहमत नहीं हूं कि यह प्रश्न सीएस या गणित के लिए अधिक उपयुक्त है। यह यहाँ विषय पर सही लगता है: मुख्य समस्या यह बताने की कोशिश कर रही है कि क्या पूछा जा रहा है, और यह चर्चा जारी है।

— सुरेश वेंकट

tl; dr: सिद्धांत औपचारिक रूप से सहज ज्ञान युक्त धारणाओं के बारे में कुछ भी नहीं कह सकते हैं । चर्च-ट्यूरिंग थीसिस "प्रभावी संगणना" की सहज धारणा के बारे में एक अनौपचारिक कथन है। इसलिए, Gödel की प्रमेयिका औपचारिक रूप से चर्च-ट्यूरिंग थीसिस के बारे में कुछ भी नहीं कह सकती है।

— जेफ

Answer 1

यहाँ एक दार्शनिक उत्तर है जो आपका मनोरंजन कर सकता है।

गोडेल की अपूर्णता प्रमेय पीनो अंकगणित की औपचारिक प्रणाली के बारे में है। जैसे कि वे गणना के मॉडल के बारे में कुछ नहीं कहते हैं, कम से कम कुछ व्याख्या के बिना नहीं।

पीनो अंकगणित आसानी से गैर-कम्प्यूटेशनल कार्यों के अस्तित्व को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, ट्यूरिंग मशीनों के बारे में बात करने के लिए एक शास्त्रीय सिद्धांत व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है, यह बहिष्कृत मध्य के विशेष उदाहरण को दर्शाता है जो कहता है कि प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन हमेशा के लिए चलती है या चलती है। फिर भी, Gödel के काम से संगणना की एक महत्वपूर्ण धारणा उत्पन्न हुई, अर्थात् ( एक आदिम) पुनरावर्ती कार्य । तो यह स्वयं प्रमेय नहीं है जो कम्प्यूटेबिलिटी से जुड़ते हैं, बल्कि प्रमाण की विधि जो उन्हें स्थापित करती है।

अपूर्णता तर्क का उपयोग करते हुए अपूर्णता प्रमेयों के सार को एक सार रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक प्रकार का मोडल लॉजिक है। यह अपूर्णता प्रमेयों को Peano अंकगणित और संगणना से परे प्रयोज्यता की एक विस्तृत श्रृंखला देता है। जैसे ही कुछ निश्चित-बिंदु सिद्धांत संतुष्ट होते हैं, अपूर्णता अंदर घुस जाती है। ये निश्चित-बिंदु सिद्धांत पारंपरिक कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत से संतुष्ट होते हैं, जो इसलिए अपूर्णता का शिकार हो जाता है, जिसका अर्थ है कि अविभाज्य सीई सेट का अस्तित्व है। क्योंकि Peano अंकगणितीय रूप अविभाज्य CE सेट के साबित और प्रतिशोधी वाक्य, पारंपरिक Gödel की अपूर्णता प्रमेयों को कम्प्यूटेबिलिटी में अपूर्णता घटना के लिए एक कोरोलरी के रूप में देखा जा सकता है। (मैं दार्शनिक रूप से अस्पष्ट हूं और यदि आप मुझे गणितज्ञ समझने की कोशिश करेंगे तो आपका सिर दुख जाएगा।)

मुझे लगता है कि हम दो स्टैंड ले सकते हैं कि यह सब कैसे प्रभावकारिता की अनौपचारिक धारणा से संबंधित है ("सामान जो वास्तव में गणना की जा सकती है"):

1. हम सभी के लिए जानते हैं, हम सिर्फ एक बड़े परिमित ऑटोमोटन हैं, "ट्यूरिंग मशीन" नामक काल्पनिक सुपर-नायकों पर विचार करने में सक्षम हैं जो अनबाउंड संख्याओं (हांसी!) के साथ गणना करने में सक्षम हैं। अगर यह मामला है, गोडेल सिर्फ एक बहुत अच्छा कहानी कहने वाला था। कैसे उनकी कहानियों का प्रभावकारिता में अनुवाद होता है, तब वास्तविकता के लिए कल्पना के कुछ (आवश्यक रूप से गलत) अनुप्रयोग का मामला है।

2. क्योंकि कई प्रसंगों में अपूर्णता की घटनाएं स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं, और निश्चित रूप से कम्प्यूटेबिलिटी के सभी उचित धारणाओं में, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रभावकारिता के लिए भी ऐसा ही होना चाहिए। उदाहरण के लिए, मान लें कि हम ला जोएल हैमकिन के अनंत-काल की ट्यूरिंग मशीनों की गणना करने के लिए ट्यूरिंग मशीनों को ब्लैक होल में भेज सकते हैं । यह हमें अपार कम्प्यूटेशनल शक्ति प्रदान करता है जिसमें हाल्टिंग ओरेकल एक बालवाड़ी खिलौना है। लेकिन फिर भी, मॉडल उन बुनियादी स्थितियों को संतुष्ट करता है जो हमें डालने योग्य सेटों के अस्तित्व को दिखाने की अनुमति देते हैं। और इसलिए एक बार फिर, संगणना सभी शक्तिशाली नहीं है और अपूर्णता जीवन का एक तथ्य है।

Comments

एक छोटा सा परिशिष्ट है जिसका उत्तर है: प्रोबेबिलिटी लॉजिक बार-बार तर्क और सीएस पर दिखाता है। मोडल म्यू-कैलकुलस और टेम्पोरल लॉजिक के केंद्र में झूठ, मल्टीस्टेज कम्प्यूटेशन के लिए कैलकुली और रिकर्सिव टाइप्स के मेट्रिक शब्दार्थ। इस पुनरावृत्ति से पता चलता है कि गोएडेल का परिणाम वास्तव में आत्म-संदर्भ के बारे में है , और यह कि उनके प्रमाण का दिल निश्चित बिंदु प्रमेय है जो दर्शाता है कि संख्या सिंटैक्स पेड़ों को एन्कोड कर सकती है। (कम स्पष्ट रूप से, गोएडेल के निश्चित बिंदु प्रमेय का कहना है कि आप ASCII में सभी सूत्र लिख सकते हैं!)

— नील कृष्णस्वामी

दार्शनिक, मनोरंजक, और बहुत शिक्षाप्रद - धन्यवाद!

— usul

हम सभी के लिए जानते हैं, हम सिर्फ एक बड़े परिमित ऑटोमेटन हैं ... - "हम सभी जानते हैं"? क्या यह स्पष्ट नहीं है?

— 19

हम एक मध्यम आकार के परिमित ऑटोमेटन हो सकते हैं।

— प्रेमिका बाउर

@ J @ ɛ E वे ही बिंदु हैं जिन पर भौतिकी की हमारी वर्तमान समझ टूट जाती है, जरूरी नहीं कि जहां प्रकृति खुद करती हो। मैं अपने आप में 'विवेकहीन' हूं (मैं कुछ प्रकार के लूप क्वांटम गुरुत्व की ओर झुकता हूं), लेकिन एक रूप या किसी अन्य के वास्तविक अनुरूप गणना को सत्तारूढ़ करना कानूनी रूप से कठिन लगता है।

— स्टीवन स्टैडनिक

Answer 2

मैं नील की टिप्पणी पर जोर देना चाहूंगा , हॉल्टिंग और गोडेल की अपूर्णता सिद्धांत दोनों के लिए मुख्य उपकरण हैं:

1. संख्या / तार और उन पर संबंधों / कार्यों द्वारा सबूत, संगणना, आदि जैसे वाक्य-विन्यास को कूटबद्ध करना;
2. गोडेल का निश्चित बिंदु प्रमेय।

सिंटैक्टिक ऑब्जेक्ट्स और अवधारणाओं का एन्कोडिंग आज स्पष्ट हो सकता है कि हम डिजिटल कंप्यूटर के लिए उपयोग किए जाते हैं, लेकिन यह सार्वभौमिक कंप्यूटर और सॉफ़्टवेयर के लिए आवश्यक एक सरल विचार है। एक सार्वभौमिक सिम्युलेटर के अस्तित्व को साबित करने के लिए आवश्यक सभी चीजें उसके कागज में हैं।

गोडेल यह भी दर्शाता है कि हम इन अंक अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं और आम तौर पर सरल अंकगणितीय सूत्रों द्वारा टीएम कम्प्यूटेशनल संबंधों / कार्यों।

संक्षेप में गोडेल का अधूरापन प्रमाण इस प्रकार है:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

टीएम के लिए समस्या को हल करने की अनिर्वायता समान सामग्री का उपयोग करती है:

1. $Halt(x)$$x$
2. टीएम को खोजने के लिए क्लेन का निश्चित बिंदु$N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

टीएम के लिए रुकने की अपरिहार्यता अपूर्णता प्रदान करती है क्योंकि हम प्रतिनिधित्व कर सकते हैं$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

प्रमाण बहुत समान हैं और समान सामग्रियों का उपयोग करते हैं (हालांकि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए, जो TM से अधिक परिचित है, लेकिन तर्क के साथ बहुत ज्यादा नहीं है क्योंकि समस्या को हल करने की अवांछनीयता अधिक सरल लग सकती है: निश्चित बिंदु प्रमेय के विशेष उदाहरण का उपयोग अनिर्दिष्टता के उद्देश्यों की तुलना में अधिक सरल होगा। गोडेल के प्रमेय में प्रयुक्त निश्चित बिंदु का विशेष उदाहरण हालांकि वे अनिवार्य रूप से एक ही हैं, लेकिन आवश्यक विचार बस संख्या / तारों और उनके बारे में सूत्र / फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए और एक निश्चित बिंदु प्रमेय को लागू करते हुए वाक्य रचना वस्तुओं और अवधारणाओं को एन्कोडिंग हैं।

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

पीएस:
ध्यान दें कि 1931 में गोडेल के प्रमेयों को प्रकाशित किया गया था, जबकि ट्यूरिंग की अयोग्यता 1936 में प्रकाशित हुई थी। गोडेल के पेपर के प्रकाशन के समय टीएम को परिभाषित नहीं किया गया था और गोडेल एक अन्य समकक्ष मॉडल का उपयोग कर रहे थे। IIRC, गोडेल हिल्बर्ट के कार्यक्रम के मूल लक्ष्य को निपटाने के रूप में अपने परिणाम से पूरी तरह से संतुष्ट नहीं थे क्योंकि उन्हें यकीन नहीं था कि कम्प्यूटेशन के मॉडल का उन्होंने वास्तव में इस्तेमाल किया एल्गोरिदमिक कम्प्यूटेबिलिटी की सहज धारणा पर कब्जा कर लिया था, वह केवल टीआरएस कैप्चरिंग के बारे में ट्यूरिंग के दार्शनिक तर्क से संतुष्ट थे। एल्गोरिदमिक संगणना की सहज धारणा। मुझे लगता है कि आप गोडेल के एकत्र कार्यों में इस बारे में अधिक पढ़ सकते हैं।

Comments

बहुत बढ़िया, धन्यवाद, यह भी बहुत रोशन है!

— usul