उच्च सफलता संभावना के साथ ग्रोवर एल्गोरिथ्म की इष्टतमता पर

Question

यह सर्वविदित है कि फंक्शन की त्रुटि क्वांटम क्वेरी जटिलता से बंधी हुई है $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ है $\Theta(\sqrt{n})$। अब सवाल यह है कि अगर हम चाहते हैं कि हमारी क्वांटम एल्गोरिथ्म संभावना के साथ हर इनपुट के लिए सफल हो$1-\epsilon$ सामान्य से ज्यादा $2/3$। अब के संदर्भ में$\epsilon$ उपयुक्त ऊपरी और निचले सीमा क्या होगी?

यह तत्काल है कि $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ग्रोवर एल्गोरिथ्म को दोहराकर इस कार्य के लिए क्वेरीज़ पर्याप्त हैं। लेकिन मुझे जो याद आता है, वह बिल्कुल सामान्य नहीं है, यहां तक ​​कि सादे ग्रोवर एल्गोरिथ्म भी अगर सावधानी से चलाया जाए, यानी उचित संख्या में पुनरावृत्तियों के लिए, तो कुछ हासिल कर सकते हैं$\epsilon=O(1/n)$ विद जस्ट $O(\sqrt{n})$पुनरावृत्तियों। और इसलिए इसका उपयोग करने से सभी को सुधार मिल सकता है$\epsilon$'है। दूसरी ओर, मुझे उम्मीद नहीं है कि$\Omega(\sqrt{n})$ बहुत छोटे के लिए सही जवाब हो $\epsilon$'है।

लेकिन मुझे यह देखने में दिलचस्पी है कि किसी के मामले में क्या दिखाया जा सकता है $\epsilon$-विभिन्न श्रेणियों के लिए निर्भर ऊपरी और निचले सीमा $\epsilon$ खासकर जब $\epsilon$ बहुत छोटा सा कहना है $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ या $\epsilon=1/n^k$ बड़े के लिए $k$'है।

(कुछ संदर्भ देने के लिए, मुझे जो सामान्य घटना मिल रही है, वह क्वांटम क्वेरी जटिलता के संदर्भ में प्रवर्धन है।)

Comments

इस पत्र को आपके प्रश्नों के उत्तर देने चाहिए: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— जॉन वॉट्र्स

हम्म मैं अब थोड़ा उलझन में हूँ $\epsilon=\frac{1}{N}$। ऐसा लगता है कि यह कागज arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf बताता है कि$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$ पुनरावृत्तियों एक उच्च संभावना परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, यानी $\epsilon=\frac{1}{N}$। (प्रथम स्तंभ का पृष्ठ २ नीचे) दूसरी ओर आपके द्वारा उल्लिखित कागज, धारा ३ के पृष्ठ ४ के अंत में कहता है, कि$o(1)$ विफलता संभावना के लिए असंभव है $O(\sqrt{N})$प्रश्नों।

— मोहम्मद बवेरियन

@ मोहम्मदबेरियन: मुझे लगता है कि केवल उस मामले में जहां समाधान की संख्या ज्ञात है (या एक अनूठा समाधान है)।

— रोबिन कोठारी

Answer 1

पूर्णता के लिए, यहाँ एक जवाब है।

चलो $Q_\epsilon(f)$ निंदा करना $\epsilon$एक समारोह की गणना के -err क्वांटम क्वेरी जटिलता $f$ तथा $\mathsf{OR}_n$ ओर समारोह हो $n$ बिट्स, के रूप में परिभाषित किया गया $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$। (ध्यान दें कि यह उस समस्या से अलग है जहाँ आपसे वादा किया जाता है कि इनपुट में ठीक 1 है और उद्देश्य यह है कि 1. यह समस्या बिना किसी त्रुटि के हल की जा सके।$\Theta(\sqrt{n})$ प्रश्नों।)

फिर हम सभी के लिए है $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$,

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$।

यह लघु-त्रुटि और शून्य त्रुटि क्वांटम एल्गोरिदम के लिए सीमा से निम्नानुसार है ।

वास्तव में, हम कुछ और सामान्य जानते हैं। सभी सममित कार्यों के लिए$f$, जो ऐसे कार्य हैं जो केवल इनपुट के हेमिंग भार पर निर्भर करते हैं, हमारे पास वह सब है $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$,

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$।

यह क्वांटम एल्गोरिदम पर एक नोट में दिखाया गया था और सममित कार्यों के लिए एप्सिलॉन-एरर पॉलीओनियम्स की न्यूनतम डिग्री ।