ऐसे कारण जिसके लिए कोई चित्र

Question

पर थोड़ा तर्क जबकि इस सवाल है, मैं सभी विभिन्न कारणों से एक ग्राफ की पहचान करने की कोशिश की है $G = (V_G,E_G)$ होने के लिए विफल हो सकता है $k$ संभाव्य। ये केवल 2 कारण हैं जो मैं अब तक पहचान पा रहा था:

1. $G$ में आकार का एक समूह है$k+1$। यह स्पष्ट कारण है।

2. एक subgraph मौजूद है $H = (V_H, E_H)$ के $G$ ऐसा है कि दोनों निम्न विवरण सत्य है:

   • $H$ ,$k-1$ रंगीन नहीं है।
   • $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ । दूसरे शब्दों में वहां मौजूद एक नोडमेंनहीं बल्कि में, ऐसी है किमें प्रत्येक नोड से जुड़ा है।जी $x$$G$$H$$x$$H$

हम ऊपर दिए गए 2 कारणों को नियम के रूप में देख सकते हैं। इन्हें पुन: लागू करने से, एक गैर ग्राफ बनाने के लिए केवल 2 तरीके हैं जिसमें एक शामिल नहीं है :k + $k$$k+1$

1. समान लंबाई के चक्र से शुरू करें (जो रंगीन है), फिर लिए नियम 2 लागू करें । ध्यान दें कि एक किनारे को लंबाई का चक्र नहीं माना जाता है (अन्यथा इस प्रक्रिया में क्लिक के निर्माण का प्रभाव होगा )।k - 1 2 k + $2$$k-1$$2$$k+1$
2. विषम लंबाई के चक्र से शुरू करें (जो रंगीन है), फिर k - 2 के लिए नियम 2 लागू करें । प्रारंभिक चक्र की लंबाई 3 से अधिक होनी चाहिए (अन्यथा इस प्रक्रिया में k + 1 क्लिक के निर्माण का प्रभाव होगा )।$3$$k-2$$3$$k+1$

सवाल

वहाँ किसी भी आगे हो, से अधिक आयु वालों 2 के अलावा अन्य, कि एक ग्राफ गैर बनाता है संभाव्य?$k$

$\ $
अपडेट 30/11/2012

अधिक सटीक रूप से, मुझे जो कुछ चाहिए वह फॉर्म का कुछ प्रमेय है:

एक ग्राफ में रंगीन संख्या χ ( G ) = k + 1 है और यदि केवल ...$G$$\chi(G) = k + 1$

Hajós पथरी , उसके जवाब में युवाल Filmus से कहा, का एक आदर्श उदाहरण है कि मैं क्या देख रहा हूँ, एक ग्राफ के रूप में रंगीन संख्या है χ ( जी ) = कश्मीर + 1 यदि और केवल यदि यह स्वयंसिद्ध से प्राप्त किया जा सकता है कश्मीर कश्मीर + 1 पथरी के इंजेक्शन के 2 नियमों को बार-बार लागू करने से। हाजोस संख्या h ( G ) तब G को प्राप्त करने के लिए आवश्यक कदमों की न्यूनतम संख्या है (यानी यह सबसे छोटा प्रमाण की लंबाई है)।$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

यह बहुत दिलचस्प है कि:

• क्या वहाँ एक ग्राफ मौजूद है का सवाल जिसका ज ( जी ) घातीय है में का आकार जी अभी भी खुला है।$G$$h(G)$$G$
• यदि ऐसे अस्तित्व नहीं है, तो N P = c o N P है ।$G$$NP = coNP$

Comments

मैं उस प्रश्न से अपनी टिप्पणी दोहराऊंगा, जब आप मामले से अवगत नहीं हैं (जो कि रंग के बारे में सभी को सोचना चाहिए) Erd )s: प्राकृतिक संख्या g और k को देखते हुए, कम से कम g और गुणात्मक के साथ ग्राफ के साथ एक ग्राफ है कम से कम के। एक ग्राफ का घेरा सबसे छोटे चक्र का आकार होता है, जिसका अर्थ है कि यदि आपके पास कम से कम 3 है, तो प्रत्येक अधिकतम क्लिच 2 आकार का है (हर किनारा अधिकतम क्लिक है)।

— पीएएल जीडी

en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger_conjecture_%28graph_theory%29 $\hspace{1.65 in}$

एक साधारण अवलोकन जो अक्सर सहायक होता है: प्रत्येक रंग वर्ग एक स्वतंत्र सेट है। यदि आप दिखा सकते हैं कि कोई बड़ा स्वतंत्र सेट नहीं है, तो आप जानते हैं कि आपको बहुत सारे रंगों की आवश्यकता होगी।

— जुका सुओमेला

यदि ग्राफ़ के गैर- योग्य होने का हमेशा एक सरल कारण होता है, तो ग्राफ़िकल रंग की समस्या एनपी-हार्ड नहीं होगी। जब तक P = NP, कुछ रेखांकन गैर- k -col सिर्फ इसलिए नहीं होते हैं । $k$$k$

— जेफ़

@ J @ ɛ E: एक कारण सरल हो सकता है, लेकिन गणना करने में कठिन। एक बहुत सरल कारण है कि कोई ग्राफ़ -Clique करता है या नहीं है , लेकिन यह अभी भी NP- हार्ड है। $k$

— ल्यूक मैथिसन

Answer 1

आपको हजो पथरी की जाँच करनी चाहिए । हेज़ो ने दिखाया कि हर रंगीन चित्र के साथ कम से कम का सबग्राफ होता है, जिसमें k रंग की आवश्यकता के लिए "कारण" होता है। प्रश्न में कारण आवश्यकता के लिए एक सबूत प्रणाली है$k$$k$ रंग। केवल स्वयंसिद्ध K k है , और अनुमान के दो नियम हैं। इस प्रूफ सिस्टम की दक्षता पर पिपासी और अर्चार्ट द्वारायह पेपरभी देखें।$k$$K_k$

Comments

बहुत बढ़िया, यह वही है जिसकी मुझे तलाश थी।

— जियोर्जियो कैमरानी

सूचक के लिए धन्यवाद। पहले हजोस निर्माण के बारे में नहीं जानते थे।

— चंद्रा चाकुरी

Answer 2

एक आंशिक उत्तर, जिसमें मुझे एक अच्छा "कारण" नहीं पता है जिसे सामान्यीकृत किया जा सकता है, लेकिन निम्नलिखित ग्राफ ( यहां से बेशर्म निकले ):

3-रंगीन नहीं है, लेकिन जाहिर है 4-colorable (planar जा रहा है), और इसमें कोई K नहीं है , और न ही सभी चक्र कोने से जुड़े अतिरिक्त वर्टेक्स के साथ कोई भी चक्र (जब तक मैं कुछ याद नहीं कर रहा हूं, लेकिन केवल कोने एक शीर्ष से जुड़ा है और इसके पड़ोसी 3-चक्र में हैं)। इसे और आगे ले जाते हुए, आप गुणात्मक संख्या 5 का ग्राफ प्राप्त करने के लिए नियम 2 का एक संस्करण लागू कर सकते हैं।$K_{4}$

मुझे संदेह होगा कि किसी भी दिए गए जीनस के लिए, एक निश्चित न्यूनतम रंगीन संख्या का ग्राफ ( हीवुड अनुमान देखें ) जो नियमों 1 या 2 का पालन नहीं करता है। बेशक मेरे पास अंतर्ज्ञान के अलावा कोई सबूत नहीं है।

Comments

पीटरसन ग्राफ उसी चीज का एक छोटा उदाहरण है। उपरोक्त और पीटरसन ग्राफ दोनों में नाबालिग हैं , हालांकि, हेडविगर के बारे में उपरोक्त टिप्पणी पर वापस जाते हैं। $K_4$

— विलियम मैक्रै

Hadwiger अनुमान हालांकि एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है, इसलिए एक ग्राफ में रंगीन संख्या iff है जिसमें एक K k मामूली और कुछ और है । जैसा कि जेफ़ई बताते हैं, यह संभावना है कि कुछ और है क्योंकि (इस अर्थ में कि यह एक सरल उत्तर नहीं है)। $k$$K_{k}$

— ल्यूक मैथिसन

@ ल्यूकमैथिसन: बेहद दिलचस्प। क्या आपके पास एक ग्राफ का उदाहरण है जिसमें मामूली है और जो k - 1 रंगीन है? $K_k$$k-1$

— जियोर्जियो कैमरानी

एक लो और सभी किनारों पर उप-विभाजन। परिणामी ग्राफ द्विदलीय है और इस प्रकार दो रंग सक्षम हैं, लेकिन स्पष्ट रूप से एक नाबालिग के रूप में पूरा ग्राफ है। $K_{k}$

— ल्यूक मैथिसन

Answer 3

लोवाज़ ने के-कलरबिलिटी के लिए टोपोलॉजिकल रुकावटें पाईं और अपने सिद्धांत का इस्तेमाल नेज़र के अनुमान को हल करने के लिए किया। उनका प्रमेय निम्नलिखित है। बता दें कि G एक कनेक्टेड ग्राफ है, और N (G) एक सिंपल कॉम्प्लेक्स है, जिसके चेहरे V के सबसेट हैं, जिनके पास एक आम पड़ोसी है। तब यदि N (K) k- जुड़ा हुआ है (अर्थात्, इसके सभी कम किए गए समरूप समूह आयाम k-1 तक 0 हैं) तो G को रंग देने के लिए आवश्यक रंगों की संख्या कम से कम k + 3 है।

Answer 4

एक बड़ा स्वतंत्र सेट नहीं होना उतना ही महत्वपूर्ण हो सकता है जितना कि एक बड़ा समूह होना।

एक ग्राफ के लिए गैर-रंग-योग्य होने के लिए एक महत्वपूर्ण बाधा यह है कि एक स्वतंत्र सेट का अधिकतम आकार n / k से छोटा है, जहां n कोने की संख्या है। यह एक बहुत महत्वपूर्ण बाधा है। उदाहरण के लिए इसका तात्पर्य है कि G (n, 1/2) में एक यादृच्छिक ग्राफ में कम से कम n / log n में रंगीन संख्या है।

एक अधिक परिष्कृत बाधा यह है कि वर्टिकल के लिए nonnegative वेट के प्रत्येक असाइनमेंट के लिए कोई स्वतंत्र सेट नहीं है जो कुल वजन के 1/5 (या अधिक) पर कब्जा करता है। ध्यान दें कि इसमें "कोई भी अवरोध नहीं" शामिल है। एलपी-द्वैत आपको बताता है कि यह रुकावट जी के "फ्रैक्शनल क्रोमैटिक नंबर" के बराबर है जो कि k की तुलना में बड़ा है।

एक अलग प्रकृति की k-colorability के लिए रुकावटें भी हैं जो कभी-कभी भिन्नात्मक गुणात्मक संख्या अवरोध से परे जाती हैं। मैं उनके लिए एक अलग asnwer समर्पित करूँगा।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! अधिक परिष्कृत

— अवरोधन

Answer 5

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$

Comments

धन्यवाद! यह निश्चित रूप से 100% पर्याप्त है। यह सवाल के सुधार पर पूरी तरह से फिट बैठता है।

— जियोर्जियो कैमरानी