प्राकृतिक रंग k- रंग में कमी के लिए

Question

स्पष्ट रूप से CLIQUE से k-Color में कमी है क्योंकि वे दोनों NP- पूर्ण हैं। वास्तव में, मैं CLIQUE से 3-SAT में कमी करके 3-SAT से k- रंग में कमी करके एक का निर्माण कर सकता हूं। मैं सोच रहा हूँ कि क्या इन समस्याओं के बीच एक उचित प्रत्यक्ष कमी है। कहते हैं, एक कमी जिसे मैं एक दोस्त को समझा सकता हूं जैसे कि सैट जैसी मध्यवर्ती भाषा का वर्णन करने की आवश्यकता के बिना।

उदाहरण के लिए कि मैं क्या देख रहा हूँ, यहाँ उलटी दिशा में एक सीधी कमी है: G के साथ $n$ और कुछ $k$ (रंगों की संख्या) को देखते हुए , एक ग्राफ G 'को $kn$ vertices (प्रति शीर्ष रंग प्रति एक ) के साथ बनाएं। । कोने $v'$ , $u'$ कोने करने के लिए इसी $v, u$ और रंग $c, d$ क्रमशः निकट हैं यदि और केवल यदि $v \neq u$ और ( $c \neq d$ या $vu \not \in G$ )। एक $n$ में -clique $G'$G में प्रति शीर्ष केवल एक शीर्ष है $G$, और संबंधित रंग G का एक उचित $k$ -coloring हैं । इसी तरह, किसी भी उचित कश्मीर की -coloring जी में एक इसी गुट है जी ' ।$G$$k$$G$$G'$

संपादित करें : कुछ संक्षिप्त प्रेरणा जोड़ने के लिए, कार्प की मूल 21 समस्याएं एनपी-पूर्ण में कटौती के एक पेड़ से साबित होती हैं जहां CLIQUE और Chromatic संख्या प्रमुख उपप्रकारों की जड़ें बनाती हैं। CLIQUE सबट्री और क्रोमैटिक नंबर सबट्री में समस्याओं के बीच कुछ प्राकृतिक कमी हैं, लेकिन उनमें से कई बस के रूप में खोजने के लिए मुश्किल के रूप में मैं एक के बारे में पूछ रहा हूँ। मैं यह जानने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या इस पेड़ की संरचना अन्य समस्याओं में कुछ अंतर्निहित संरचना को दर्शाती है या यदि यह पूरी तरह से एक परिणाम है जिसमें कटौती पहले पाई गई थी, क्योंकि दो समस्याओं के बीच कटौती के लिए खोज करने के लिए कम प्रेरणा है जब वे एक ही जटिलता वर्ग में जाना जाता है। निश्चित रूप से आदेश का कुछ प्रभाव था, और पेड़ के कुछ हिस्सों को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है, लेकिन क्या इसे मनमाने ढंग से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है?

संपादित करें 2 : मैं एक प्रत्यक्ष कमी के लिए खोज जारी रखता हूं, लेकिन यहां मैं निकटतम निकटतम का एक स्केच प्राप्त कर रहा हूं (यह एक वैध कमी होना चाहिए, लेकिन CIRCUIT SAT एक स्पष्ट मध्यस्थ के रूप में है; यह कुछ व्यक्तिपरक है कि क्या यह किसी से बेहतर है पहले पैराग्राफ में दिए गए दो कटौती के रूप में रचना)।

यह देखते हुए $G, k$ , हम जानते हैं कि $\overline{G}$ हो सकता है $n-k+1$ रंग का साथ $k$ कोने सभी iff यह सच है रंग $G$ एक है $k$ -clique। हम के मूल कोने नाम $G$ $v_1, \ldots, v_n$ और उसके बाद के लिए जोड़ $\overline G$ अतिरिक्त सिरे: $C_{ij}$ के साथ $1 \le i \le n$ , $0 \le j \le k$। प्रमुख अपरिवर्तनीय यह होगा कि $C_{ij}$ को रंगीन सच किया जा सकता है यदि और केवल अगर कोने $\{v_1,\ldots, v_i\}$ बीच में हैं तो कम से कम $j$ कोने वाले रंग सही हैं। तो, प्रत्येक $C_{i0}$ सत्य हो सकता है। फिर, $C_{ij}$ के लिए $j > 0$ हो जाता है रंग $C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ जहाँ सभी गैर-सच्चे रंगों को गलत माना जाता है। एक भी नहीं है$k$ में -clique$G$ iff$C_{nk}$ सच रंगा जा सकता है, इसलिए यदि हम चाहते हैं कि रंग के लिए मजबूर, नई ग्राफ संभाव्य iff एक था है,$k$ मूल ग्राफ में -clique।

रिश्तों को लागू करने के लिए AND और OR गैजेट्स CIRCUIT SAT से 3-COLOR तक की कमी के समान हैं, लेकिन यहां हम अपने ग्राफ में $K_{n-k+1}$ को शामिल करते हैं, T, F, और ग्राउंड चुनें, और सभी को कनेक्ट करें दूसरों के लिए सब कुछ है, लेकिन $v_i$ ; यह आश्वस्त करता है कि $C_{ij}$ s और अन्य गैजेट केवल 3 रंग प्राप्त करते हैं।

वैसे भी, ¯ जी इस कमी का हिस्सा प्रत्यक्ष महसूस करता है, लेकिन और / या फाटक के उपयोग बहुत कम प्रत्यक्ष है। सवाल यह है कि क्या कोई और कमी आई है?$\overline G$

संपादन 3 : इस कमी को ढूंढना कठिन होगा, इस बारे में कुछ टिप्पणियां की गई हैं। CLIQUE और k-Color वास्तव में काफी अलग समस्याएं हैं। एक कमी के बिना भी, हालांकि, एक उत्तर जो यह बताता है कि कमी एक दिशा में कठिन है, लेकिन दूसरे में संभव बहुत मददगार होगा और समस्या में बहुत योगदान देगा।

Comments

आप जिस तरह की प्रत्यक्ष कमी की तलाश कर रहे हैं वह शायद मुश्किल हो सकती है क्योंकि Clique और colouring इस तरह से विपरीत हैं कि 1-clique को n-colouring के रूप में खोजना उतना ही आसान है। तो शायद कमी रूप में होने चाहिए: जी ' एक है एन - कश्मीर -coloring यदि और केवल यदि जी एक है कश्मीर -clique$G'$$n-k$$G$$k$

— मार्टिन Vatshelle

मैं मानता हूं कि यह मुश्किल है; यह मेरी रुचि का कारण है; मैं प्रश्न में प्रेरणा पर विस्तार से बताऊंगा। N - कश्मीर विचार -coloring है मुझे सबसे करीब हो गया। यदि वहाँ एक है कश्मीर में -clique जी तो ¯ जी गुट एक रंग में सभी कोने क्योंकि वे एक स्वतंत्र सेट कर रहे हैं हो सकता है। समस्या यह है कि बाकी की रंगीन संख्या अलग-अलग हो सकती है। एक करने के लिए दो कोने को लिंक कश्मीर एन - कश्मीर - 1 बलों उन्हें एक ही रंग है, लेकिन मुझे लगता है पता नहीं है जो बल के कोने का सेट है। एक गैजेट है कि बलों कुछ मैं से बाहर $n-k$$k$$G$$\overline{G}$$K_{n-k-1}$$i$$j$मोनोक्रोमैटिक होने के लिए वर्टिकल इसे करते हैं।

— विलियम मैक्रै

मैं यहां मार्टिन से सहमत हूं कि यह भी संभव नहीं है (3SAT के माध्यम से जाने के बिना)। क्लिच और कलरिंग बहुत कम आम है। इसलिए मैं चाहता हूं कि एर्दो के प्रमेय को याद किया जाए, एनजीएल्स जी और के को दिया गया है, कम से कम जी और रंगीन संख्या कम से कम कश्मीर के बारे में एक ग्राफ है (यदि आप इसके बारे में परिचित नहीं हैं तो थोड़ी देर के लिए सोचें)। अंत में, आपकी कमी के बारे में भी पता होना चाहिए कि जबकि Clique (और इंडिपेंडेंट सेट) W [ 1 ] में है, जिसे समाधान सेट द्वारा पैरामीटर किया गया है, ग्राफ़ के क्रोमेटिक नंबर के लिए कोई समकक्ष पैरामीटर नहीं है। $W[1]$

— पाएल जीडी

मुझे @ मार्टिनवेत्शेल की टिप्पणी समझ में नहीं आती। जहाँ तक मुझे पता है, सभी 1-क्लिक, 1-कलरिंग, n-क्लिक और n- कलरिंग एक ही स्तर पर तुच्छ हैं। (ऐसा नहीं लगता कि आप हमेशा YES द्वारा 1-क्लिक का जवाब दे सकते हैं: इनपुट ग्राफ खाली हो सकता है!)

— Yixin Cao

मुझे लगता है कि मार्टिन बिंदु यह शो है χ ( जी ) = 4 और χ ( जी ) = 3 , लेकिन एक को खोजने के लिए कठिन कश्मीर 4 एक से कश्मीर 3 । इसलिए दोनों अवधारणाओं में थोड़ा सा द्वंद्व है। Erdős के प्रमेय के बारे में @ PålGD की बात एक महान है (और मुझे लगता है कि प्रमेय को पसंद करते हैं), जैसे कि बड़े आकार वाले ग्राफ में बड़ी स्वतंत्रता संख्या होती है, और इसलिए उनके व्युत्क्रमों में बड़े समूह होंगे। कुल मिलाकर ऐसा महसूस होता है कि हालांकि यहाँ एक जाल है, जो कि समान और समान ग्राफ़ में क्लिक्स और कलरिंग से संबंधित है, लेकिन रिवर्स दिशा के साथ-साथ कमी जी की तुलना में बहुत अलग ग्राफ का निर्माण कर सकती है ।$\chi(G)=4$$\chi(G)=3$$K_4$$K_3$$G$

— विलियम मैक्रै

Answer 1

एक ग्राफ को देखते हुए जी और एक नंबर कश्मीर , ऐसा है कि आप को पता है कि क्या चाहते हैं जी एक शामिल कश्मीर -clique, चलो n होना में कोने की संख्या जी । हम एक और ग्राफ का निर्माण एच , ऐसी है कि एच है n यदि और केवल यदि -colorable जी एक है कश्मीर -clique, के रूप में इस प्रकार है:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) For each vertex $v$ in $G$, make an $n$-clique of vertices $(v,i)$ in $H$, where $i$ ranges from $1$ to $n$.

(2) Add one additional vertex $x$ to $H$.

(3) For each triple $\{x,y,z\}$ of vertices in $H$, where $y=(v,i)$ and $z=(u,j)$, test whether one of the following conditions holds: either $u\ne v$ and $i=j$, or $u$ and $v$ are nonadjacent vertices in $G$ with $\max(i,j)\le k$. If either of these two things is true, add another $n$-clique to $H$. Within this clique, select three vertices $x'$, $y'$, and $z'$. Connect $x$ to every vertex in the clique except for $y'$ and $z'$; connect $y$ to every vertex in the clique except for $x'$ and $z'$; and connect $z$ to every vertex in the clique except for $x'$ and $y'$.

The gadgets added in step (3) prevent the triple of vertices $x$, $y$, and $z$ from all being given the same color as each other in a valid coloring of $H$. The clique in $G$ can be recovered from a coloring of $H$ as the set of vertices $(v,i)$ that are in the same color class as $x$ and that have $i\le k$.

Comments

This is wonderful.

— William Macrae

For some reason my edit was rejected, but the last sentence should describe vertices of G rather than H (since it is intended to describe a clique in G). Something like "The clique in $G$ can be recovered from a coloring of H as $\{v : \exists i \le k \chi((v,i)) = \chi(x) \}.$" Also, I forgot to say thanks for the answer, it's been very helpful!

— William Macrae

Sure, you could put in another clause to that sentence about stripping off the $i$ from each pair, but I thought that step was easy enough to omit, and my general feeling is that (when it can be kept short enough) prose tends to be more readable than a formula.

— David Eppstein

I agree that prose are more preferable. Maybe just adding a phrase like "the first coordinate of each (v,i)..." is idea. The reason for my concern about the technicality is that when first reading reductions it can be hard to keep straight the exact definitions of the elements in the first language and the second, and which is which. The minute something appears to break a definition, it can throw me for a loop. If I had trouble understanding previous sentences and got to the last one, I would determine that G and H have vertices of the form (v,i).

— William Macrae

I should also say that I think you've done a much better job talking through this reduction than almost any other that I've read. There's a problem in the literature that many reductions are stated formally with no motivation or intuition, and you've avoided that very nicely.

— William Macrae

Answer 2

?? coloring and clique finding have been known to be tightly coupled for decades via graph theory (possibly even in the 60s?) even not through SAT as an intermediary (which became typical after the Cook proof in 1971). believe there are algorithms based on the following basic property:

If G contains a clique of size k, then at least k colors are needed to color that clique; in other words, the chromatic number is at least the clique number: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

not sure of exact refs but [1,2] are good places to start, an exact algorithm or ref is at least likely cited in these books.

[1] Cliques, coloring, & satisfiability, 2nd DIMACS challenge

[2] Dimacs vol 26: Cliques, coloring and satisfiability

Comments

Using the property $\chi(G) \geq \omega(G)$, you can invoke an algorithm for $k-COLORABILITY$ on $G$: if the algorithm returns $YES$, then $G$ does not contain any clique of size at least $k+1$. However the opposite implication does not hold: if the algorithm returns $NO$, then $G$ may or may not have a clique of size at least $k+1$ (as a counterexample, consider a pyramid whose polygonal base has an odd number of vertices: it is not $3$-colorable, however it has not any clique of size at least $4$).

— Giorgio Camerani

yes, agreed; as I interpret it the original post was not insistent on the direction of the reduction but more emphasized avoiding SAT as the intermediary, asking for a "fairly brief explanation". also conspicuously nobody mentioned the above factoid so far.... the question & comments also seem to inaccurately indicate in various ways the two problems are not tightly coupled....

— vzn

Apologies if the direction was ambiguous. I am interested in a correct reduction (YES $\iff$ YES), and I am interested in a reduction from Clique to k-Color. I have the other direction and it is explained in my post. There are certainly many things that relate cliques in graphs to colorings in graphs and vice versa, and indeed I have seen many of them (and I assume many others here have seen many of them), but I'm really interested exclusively in a direct reduction or a convincing explanation of why it might not exist.

— William Macrae

@vzn: My comment was not meant to criticize your answer. Truth be told, initially I made a reasoning similar to yours, but then I realized that, if the opposite implication would have hold, then $3-COLORING$ on general graphs, which is known to be NP-complete, would have been solvable trivially by just checking whether the input graph had a clique of $4$ nodes: any $G$ would have been $3$-colorable if and only if it does not contain any clique of size $4$ (that's plain false, of course, as the pyramid counterexample shows). By the way: I'm not the one who downvoted.

— Giorgio Camerani

@WilliamMacrae: It was perfectly clear that you wanted a $\Longleftrightarrow$ reduction, otherwise it wouldn't have been a reduction! Also, it was perfectly clear that you wanted a reduction from $CLIQUE$ to $COLORING$ and not the other way.

— Giorgio Camerani