आगमनात्मक प्रकार की परिभाषा में "संरक्षित" नकारात्मक घटनाएं, हमेशा खराब होती हैं?

Question

मुझे पता है कि कुछ नकारात्मक घटनाएं निश्चित रूप से खराब हो सकती हैं:

data False

data Bad a = C (Bad a -> a)

selfApp :: Bad a -> a
selfApp (x@(C x')) = x' x

yc :: (a -> a) -> a
yc f = selfApp $ C (\x -> f (selfApp x))

false :: False
false = yc id

हालांकि, मुझे यकीन नहीं है कि:

• नकारात्मक घटनाओं के साथ सभी आगमनात्मक प्रकार गलत हो सकते हैं;

• यदि हां, तो ऐसा करने का एक ज्ञात यांत्रिक तरीका है;

उदाहरण के लिए, मैं इस प्रकार को गलत बनाने की कोशिश कर रहा हूं:

type Not a = a -> False

data Bad2 a = C2 (Bad2 (Not a) -> a)

इस विषय पर साहित्य के किसी भी सूचक की सराहना की जाएगी।

Comments

क्या यह Coq है? हास्केल? छद्म प्रकार सिद्धांत? "गलत हो" से आपका क्या मतलब है?

— डेव क्लार्क

@DaveClarke क्षमा करें, कोड हास्केल है, लेकिन चिंता कोक या एजडा जैसी भाषाओं के बारे में अधिक है जहां नकारात्मक घटनाओं की मनाही है। "गलत हो जाता है" से मेरा मतलब है कि एक शब्द जो कि डायवर्ज को लिखने में सक्षम है, इस प्रकार फासले को प्राप्त करने में सक्षम होने के नाते जैसा कि मैंने हास्केल में अपने उदाहरण में किया था।

— Ptival

Answer 1

नकारात्मक घटनाओं पर प्रतिबंध के कारण को नॉस्टर-टार्स्की प्रमेय के साथ सादृश्य द्वारा समझा जा सकता है। यह प्रमेय कहता है कि

यदि एक पूरा जाली और है च : एल → एल पर एक नीरस कार्य है एल , तो निश्चित अंक के सेट च भी एक पूरा जाली है। विशेष रूप से, कम से कम निश्चित बिंदु μ f और सबसे बड़ी निश्चित बिंदु ν f है ।$L$$f : L \to L$$L$$f$$\mu{f}$$\nu f$

पारंपरिक मॉडल सिद्धांत रूप में, lattices प्रस्ताव के रूप में देखी जा सकती है, और आदेश संबंध पी ≤ क्ष अनुलाग के रूप में समझा जा सकता है (यानी, कि क्ष की सच्चाई से अपरिहार्य है पी की सच्चाई)।$L$$p \leq q$$q$$p$

जब हम मॉडल थ्योरी से प्रूफ थ्योरी की ओर बढ़ते हैं, तो लैटिटास श्रेणियों के लिए सामान्य हो जाते हैं। प्रकारों को एक श्रेणी की वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है , और एक नक्शा ई : पी → क्यू एक प्रमाण का प्रतिनिधित्व करता है कि क्यू को क्यू से प्राप्त किया जा सकता है ।$\mathbb{C}$$e : P \to Q$$Q$$Q$

जब हम पुनरावर्ती समीकरणों द्वारा परिभाषित प्रकारों की व्याख्या करने का प्रयास करते हैं, ee, , करने के लिए स्पष्ट बात यह है कि क्लेस्टर-टार्स्की प्रमेय के सामान्यीकरण के लिए देखना है। इसलिए एक जाली पर एक मोनोटोन फ़ंक्शन के बजाय, हम जानते हैं कि एकफ़ंक्टर एफ : सी → सी चाहते हैं , जो वस्तुओं को वस्तुओं को भेजता है, लेकिन एकरूपता की स्थिति को सामान्य करता है ताकि हर नक्शा ई : पी → क्यू को एक नक्शा एफ ( ई : एफ ) मिलता है । ( पी ) → एफ ( क्यू ) (सुसंगत परिस्थितियों के साथ कि एफ पहचान को पहचान भेजता है और रचनाओं को संरक्षित करता है ताकि$\mathbb{N} = \mu \alpha.\;1 + \alpha$ $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$e : P \to Q$$F(e) : F(P) \to F(Q)$$F$ )।$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$

तो अगर आप एक आगमनात्मक डेटाटाइप , आपको टाइप ऑपरेटर एफ के लिए शर्तों पर एक फंक्शनल एक्शन की आपूर्ति करने की आवश्यकता हैताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि आप जिस निश्चित बिंदु पर मौजूद हैं। अगाडा और कोक में सख्त सकारात्मकता की स्थिति एकवाक्यात्मकस्थिति है जो इसशब्दार्थबाधा काअर्थ है। धीरे-धीरे बोलना, यह कहता है कि यदि आप रकम और उत्पादों से एक प्रकार के ऑपरेटर का निर्माण करते हैं, तो आप हमेशा मज़ेदार कार्रवाई कर सकते हैं, और इस तरह से गठित किसी भी प्रकार का एक निश्चित बिंदु होना चाहिए।$\mu \alpha.\;F(\alpha)$$F$

भरोसेमंद रूप से टाइप की गई भाषाओं में, आपके पास अनुक्रमित और पैरामीटर प्रकार भी होते हैं, इसलिए आपका वास्तविक कार्य अधिक जटिल होता है। बॉब एटकी (जिन्होंने यहां और यहां इस बारे में ब्लॉग किया है ) मुझे बताते हैं कि कहानी देखने के लिए एक अच्छी जगह है:

• स्ट्रक्चरल इंडक्शन एंड कोइंडक्शन इन अ फाइब्रेशनल सेटिंग , क्लाउडियो हर्मिडा और बार्ट जैकब्स 1997।
• प्रारंभिक बीजगणित , नील घानी, पेट्रीसिया जोहान और क्लेमेंट फुमेक्स 2010 के लिए फिब्रेशनल इंडक्शन नियम ।

बतौर लेडीज नोट्स, मूल रूप से एक नकारात्मक घटना ठीक है या नहीं यह इस बात पर निर्भर करता है कि आपका सिद्धांत किस प्रकार का है। मूल रूप से, जब आपके पास एक पुनरावर्ती परिभाषा होती है, तो आप एक निश्चित बिंदु की तलाश में होते हैं, और गणित में बहुत सारे निश्चित-बिंदु सिद्धांत होते हैं।

एक जो मैं, व्यक्तिगत रूप से, बहुत उपयोग किया है बानाच का निश्चित बिंदु प्रमेय है, जो कहता है कि यदि आपके पास मीट्रिक स्थान पर कड़ाई से संकुचन कार्य है, तो इसका एक अनूठा निश्चित बिंदु है। इस विचार को (IIRC) मौरिस निवात द्वारा शब्दार्थ में पेश किया गया था, और अमेरिका और रूटेन द्वारा बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया था, और हाल ही में बिर्कडल और उनके सहयोगियों द्वारा एक लोकप्रिय परिचालन तकनीक से जुड़ा था जिसे "स्टेप-इंडेक्सिंग" कहा जाता है।

• संपूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान , पियरे अमेरिका और जनवरी JMM रटटेन 1989 की श्रेणी में रिफ्लेक्टिव डोमेन समीकरणों को हल करना ।
• श्रेणी- थ्योरिटिक सॉल्यूशन ऑफ़ रिकर्सिव मेट्रिक-स्पेस इक्वेशन, लार्स बिर्केडल, क्रिस्टियन स्टोविंग और जैकब थम्सबर्ग। 2010।

यह उन प्रकार के सिद्धांतों को जन्म देता है जहां पुनरावर्ती प्रकारों में नकारात्मक घटनाओं की अनुमति होती है, लेकिन केवल तब होता है जब नकारात्मक घटनाएं एक विशेष "सुरक्षा" प्रकार के निर्माणकर्ता के तहत होती हैं। यह विचार हिरोशी नैकानो द्वारा पेश किया गया था, और बानाच के प्रमेय का संबंध खुद और निक बेंटन दोनों के साथ-साथ लार्स बिर्कडल और उनके सहयोगियों द्वारा बनाया गया था।

• रीसर्शन , हिरोशी नैकानो, 2000 के लिए एक मोडेलिटी ।
• अल्ट्रामेट्रिक सेमेंटिक्स ऑफ़ रिएक्टिव प्रोग्राम्स , निक बेंटन और नील कृष्णास्वामी, 2011।
• गार्डेड रिकर्सन का एक मीट्रिक मॉडल , लार्स बिर्केडल, जान श्विंगहैमर और क्रिस्टियन स्टोविंग, 2010।

Answer 2

कभी-कभी आप "भाग्य द्वारा" पुनरावर्ती समीकरणों को हल कर सकते हैं।

मुझे लगता है कि आप इसे सेट्स में करना चाहते हैं (कुछ प्रकार के डोमेन सिद्धांत के विपरीत) यदि हम आपकी परिभाषा को प्रकट करते हैं और हास्केल एनोटेशन के बिना समीकरण को सीधे लिखते हैं, तो हमें आइए हम दो मामलों पर विचार करें:

$$A \cong (A \to \emptyset) \to A.$$

1. अगर का निवास है, यानी, यह कुछ होता है, तो एक → ∅ ≅ ∅ , इसलिए समीकरण कम कर देता है के लिए एक ≅ ∅ → एक ≅ 1. और वास्तव में, सिंगलटन सेट 1 हल समीकरण।$A$$A \to \emptyset \cong \emptyset$

   $$A \cong \emptyset \to A \cong 1.$$ $1$

2. $A$$\emptyset \cong (\emptyset \to \emptyset) \to \emptyset \cong 1 \to \emptyset \cong \emptyset$

निष्कर्ष: दो समाधान हैं, खाली प्रकार (जिसे आपने बुलाया False) और इकाई प्रकार ()।

$$A \cong (A \to 2) \to 2,$$

data Cow a = Moo ((a -> Bool) -> Bool)

$A \cong 2^{2^A}$$A$$2^{2^A}$

$$\mathbb{N} \cong 2^{2^\mathbb{N}}.$$ $2^\mathbb{N}$$2^{2^\mathbb{N}}$Integer(Integer -> Bool) -> Bool

Answer 3

यह मुश्किल है कि आप किसी भी लड़की को नील या नील के स्पष्टीकरण के साथ जोड़ दें, लेकिन मैं इसे एक शॉट दूंगा। मैं अंतर्निहित शब्दार्थों को उजागर करने की कोशिश करने के बजाय वाक्यात्मक दृष्टिकोण को संबोधित करने की कोशिश करने जा रहा हूं, क्योंकि स्पष्टीकरण अधिक प्राथमिक है और मेरा आपके प्रश्न का अधिक सीधा जवाब देता है।

$\lambda$

महत्वपूर्ण संदर्भ निम्नलिखित है:

मेंडलर, एन। (1991)। दूसरे क्रम के लैम्ब्डा कैलकुलस में आगमनात्मक प्रकार और प्रकार की बाधाएँ। मुझे एक संदर्भ ऑनलाइन नहीं मिला है जो मुझे डर लगता है। बयान और सबूत हालांकि नक्स के पीएचडी शोध प्रबंध (एक अत्यधिक अनुशंसित पढ़ा!) में पाए जा सकते हैं ।

$\mathrm{Bad}$

$$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}\rightarrow A$$

$A$

$$\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x: \mathrm{Bad}\rightarrow A$$

इसलिए

$$(\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x)\ (\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x): A$$

$$\mathrm{Bad} = F(\mathrm{Bad})$$ $F(X)$$X$$F(X)$

बेशक आप समान रूप से परिभाषित प्रकारों के साथ नहीं बल्कि निर्माणकर्ताओं के साथ काम कर रहे हैं , यानी आपके पास

data Bad = Pack (Bad -> A)

बल्कि सख्त समानता है। हालाँकि आप परिभाषित कर सकते हैं

unpack :: Bad -> (Bad -> A)
unpack (Pack f) = f

इस परिणाम के लिए पर्याप्त है जो कि जारी रहेगा:

 (\x:Bad -> unpack x x) (Pack (\x:Bad -> unpack x x))

$A$

---

आपके दूसरे उदाहरण में, चीजें थोड़ी अधिक कठिन हैं, क्योंकि आपके पास की तर्ज पर कुछ चीज़े हैं

$$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}' \rightarrow A$$

$\mathrm{Bad}'$$\mathrm{Bad}$$\mathrm{Bad}\ a$$\mathrm{Bad}\ (\mathrm{Not}\ a)$

type Not a = a -> False

साथ में

data Not a = Not a

यह आसानी से हल हो जाएगा यदि हास्केल ने इस प्रकार की परिभाषाएं दी हैं:

type Acc = Not Acc

इस मामले में, आप पहले की तरह ही एक लूपिंग कॉम्बिनेटर बना सकते हैं। मुझे संदेह है कि आप एक समान (लेकिन अधिक जटिल) निर्माण का उपयोग कर सकते हैं

data Acc = D (Not Acc)

यहां परेशानी यह है कि एक समरूपता का निर्माण करना

Bad Acc <-> Bad (Not Acc)

आपको मिश्रित विचरण से निपटना होगा।