एक जुंटा फूटने की ललक


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हम कहते हैं कि एक बूलियन फ़ंक्शन एक -junta है अगर में सबसे अधिक प्रभावित चर है।f : { 0 , 1 } n{ 0 , 1 } f:{0,1}n{0,1}k kf fkk

चलो एक हो -junta। द्वारा के चर को निरूपित करें । फिक्स स्पष्ट रूप से, वहाँ मौजूद है जैसे कि में के प्रभावशाली चर कम से कम ।f : { 0 , 1 } n{ 0 , 1 } f:{0,1}n{0,1}2 k 2kf fx 1 , x 2 , , x n x1,x2,,xnS 1 = { x 1 , x 2 , , x n2 },एस 2 = { एक्स एन2 +1,एक्सएन2 +2,,xn}

S1={x1,x2,,xn2},S2={xn2+1,xn2+2,,xn}.
S{S1,S2}S{S1,S2}SSkkff

आइए अब , और कहा कि यह मान है -far से हर -junta (यानी, एक का एक अंश को बदलने के लिए है के मानों का कम से कम क्रम में इसे -junta) बनाने के लिए। क्या हम उपरोक्त कथन का "मजबूत" संस्करण बना सकते हैं? यही है, वहाँ एक सार्वभौमिक स्थिर , और एक सेट ऐसा है कि f is \ frac {\ epsilon} {c} -far हर फ़ंक्शन से होता है जिसमें S में अधिकांश k प्रभावित चर होते हैं। ?ε > 0 ϵ>0: { 0 , 1 } n{ 0 , 1 } f:{0,1}n{0,1}ε ϵ2 कश्मीर 2kε ϵf2 कश्मीर 2kसी cएस { एस 1 , एस 2 } S{S1,S2}fεसीϵc केkएसS

नोट: प्रश्न के मूल सूत्रीकरण में, सीc को 2 के रूप में तय किया गया था 22। नील के उदाहरण से पता चलता है कि सी का ऐसा मूल्य सीcपर्याप्त नहीं है। हालांकि, संपत्ति परीक्षण के बाद से हम आमतौर पर स्थिरांक के साथ चिंतित नहीं हैं, मैंने स्थिति को थोड़ा आराम दिया।


क्या आप अपनी शर्तों को स्पष्ट कर सकते हैं? एक चर "प्रभावित करना" है जब तक कि च का मूल्य हमेशा चर से स्वतंत्र नहीं होता है? क्या " मान बदल " का अर्थ है, कुछ विशेष लिए मानों में से एक को बदलना ? fff(x)f(x)xx
नील युवा

बेशक, चर प्रभावित कर रहा है यदि कोई string string मौजूद है जैसे कि , जहाँ string जिसके साथ 'th निर्देशांक फ़्लिप किया गया है। के मान को बदलने का अर्थ है इसकी सत्य तालिका में बदलाव करना। xixinnyyf(y)f(y)f(y)f(y)yyyyiiff

जवाबों:


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इसका जवाब है हाँ"। विरोधाभास ही सबूत है।

सूचनात्मक सुविधा के लिए, x द्वारा पहले चर और दूसरे n / 2 चर को y से निरूपित करते हैं । कि मान लीजिए ( एक्स , वाई ) है δ एक समारोह को -close 1 ( एक्स , वाई ) जो केवल पर निर्भर करता है कश्मीर के निर्देशांक एक्सT 1 द्वारा इसके प्रभावशाली निर्देशांक को निरूपित करें । इसी तरह, लगता है कि ( एक्स , वाई ) है δn/2n/2xn/2yf(x,y)δf1(x,y)kxT1f(x,y)δएक फंक्शन f- 2 ( x , y ) के लिएf2(x,y) जो केवल y के kk निर्देशांक पर निर्भर करता है । टी 2 द्वारा इसके प्रभावशाली निर्देशांक को अस्वीकार करें । हम साबित होता है कि जरूरत है है 4 δ एक के करीब - 2 कश्मीर -junta ~ ( एक्स , वाई )yT2f4δ2kf~(x,y)

हमें का कहना है कि ( एक्स 1 , y 1 ) ~ ( एक्स 2 , y 2 )(x1,y1)(x2,y2) यदि एक्स 1x1 और एक्स 2x2 में सभी निर्देशांक पर सहमत हैं टी 1T1 और y 1y1 और y 2y2 में सभी निर्देशांक पर सहमत हैं टी 2T2 । हम प्रत्येक समतुल्य वर्ग से यादृच्छिक रूप से एक प्रतिनिधि चुनते हैं। आज्ञा देना ( for x , ˉ y )(x¯,y¯) वर्ग के लिए प्रतिनिधि हो ( x ,))(x,y) । परिभाषित करें ~ f~ इस प्रकार है: ~ ( एक्स , वाई ) = ( ˉ एक्स , ˉ y )

f~(x,y)=f(x¯,y¯).

ऐसा नहीं है कि स्पष्ट है ~ f~ एक है 2 कश्मीर2k -junta (उस में केवल चर पर निर्भर करता है टी 1टी 2 )T1T2) । हम साबित करना होगा कि यह दूरी पर है 4 δ4δ से f उम्मीद में।

हम साबित करना चाहते हैं कि पीआर ~ ( पीआर x , y ( ~ ( एक्स , वाई ) ( एक्स , वाई ) ) ) = पीआर ( ( ˉ एक्स , ˉ y ) ( एक्स , वाई ) ) 4 δ , जहां एक्स और वाई यादृच्छिक पर समान रूप से चुना जाता है। एक यादृच्छिक वेक्टर पर विचार करें

Prf~(Prx,y(f~(x,y)f(x,y)))=Pr(f(x¯,y¯)f(x,y))4δ,
xy~ X से प्राप्तएक्समें सभी बिट्स रखकरटी1और बेतरतीब ढंग से नहीं सभी बिट्स flippingटी1, और एक वेक्टर ~ y इसी प्रकार परिभाषित। ध्यान दें कि पीआर( ~ (एक्स,वाई)(एक्स,वाई))=पीआर(( ˉ एक्स , ˉ y )(एक्स,वाई))=पीआरx~xT1T1y~( ( ~ एक्स , ~ y ) ( एक्स , वाई ) )
Pr(f~(x,y)f(x,y))=Pr(f(x¯,y¯)f(x,y))=Pr(f(x~,y~)f(x,y)).

हम है, पीआर ( ( एक्स , वाई ) ( ~ x , y ) ) पीआर ( ( एक्स , वाई ) 1 ( एक्स , वाई ) ) + पीआर ( 1 ( एक्स , वाई ) 1 ( ~ x , y ) ) + पीआर ( 1 ( ~ x , y ) ( ~ x , y ) ) δ + 0 + δ = 2 δ

Pr(f(x,y)f(x~,y))Pr(f(x,y)f1(x,y))+Pr(f1(x,y)f1(x~,y))+Pr(f1(x~,y)f(x~,y))δ+0+δ=2δ.

इसी तरह, पीआर ( ( ~ x , y ) ( ~ एक्स , ~ y ) ) 2 δ । हम पीआर ( ( ˉ एक्स , ˉ y ) ( एक्स , वाई ) ) 4 δ QEDPr(f(x~,y)f(x~,y~))2δ

Pr(f(x¯,y¯)f(x,y))4δ.

इस प्रमाण को "व्युत्पन्न" करना आसान है। हर ( एक्स , वाई ) , चलो ~ ( एक्स , वाई ) = 1 यदि ( एक्स , वाई ) = 1 के लिए सबसे अधिक ( एक्स ' , y ' ) की समतुल्यता कक्षा में ( एक्स , वाई ) , और ~ ( x , y ) = 0 , अन्यथा।(x,y)f~(x,y)=1f(x,y)=1(x,y)(x,y)f~(x,y)=0


12

सबसे छोटा c जो बन्ध है वह c = 1 हैc2 -12.41c=1212.41

लेममस 1 और 2 बताते हैं कि इस सी के लिए बाध्य है । लेम्मा 3 से पता चलता है कि यह बाध्य तंग है।c

(तुलना में, जुरी का सुरुचिपूर्ण संभाव्य तर्क c = 4 देता है ।)c=4

चलो = 12 -1। लेम्मा 1k=0 केलिए ऊपरी सीमा देता है।c=121k=0

लेम्मा 1: यदि है ε जी -near एक समारोह ग्राम में कोई प्रभावित करने वेरिएबल नहीं है कि एस 2 , और है ε एक समारोह -near है कि कोई में चर को प्रभावित किया है एस 1 , तो है ε -near एक निरंतर समारोह , जहां ε ( ε जी + ε ) / 2fϵggS2fϵhhS1fϵसीϵ(ϵg+ϵh)/2c

प्रमाण। चलो ε से दूरी होना एक निरंतर कार्य करने के लिए। विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि ε दावा किया असमानता को संतुष्ट नहीं करता है। चलो y = ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन / 2 ) और जेड = ( एक्स एन / 2 + 1 , ... , x n ) और लिखने , , और के रूप में ( yϵfϵy=(x1,x2,,xn/2)z=(xn/2+1,,xn)fgh,z)f(y,z), g(y,z)g(y,z) and h(y,z)h(y,z), so g(y,z)g(y,z) is independent of zz and h(y,z)h(y,z) is independent of yy.

(I find it helpful to visualize ff as the edge-labeling of the complete bipartite graph with vertex sets {y}{y} and {z}{z}, where gg gives a vertex-labeling of {y}{y}, and hh gives a vertex-labeling of {z}{z}.)

Let g0g0 be the fraction of pairs (y,z)(y,z) such that g(y,z)=0g(y,z)=0. Let g1=1g0g1=1g0 be the fraction of pairs such that g(y,z)=1g(y,z)=1. Likewise let h0h0 be the fraction of pairs such that h(y,z)=0h(y,z)=0, and let h1h1 be the fraction of pairs such that h(y,z)=1h(y,z)=1.

Without loss of generality, assume that, for any pair such that g(y,z)=h(y,z)g(y,z)=h(y,z), it also holds that f(y,z)=g(y,z)=h(y,z)f(y,z)=g(y,z)=h(y,z). (Otherwise, toggling the value of f(y,z)f(y,z) allows us to decrease both ϵgϵg and ϵhϵh by 1/2n1/2n, while decreasing the ϵϵ by at most 1/2n1/2n, so the resulting function is still a counter-example.) Say any such pair is ``in agreement''.

The distance from ff to gg plus the distance from ff to hh is the fraction of (x,y)(x,y) pairs that are not in agreement. That is, ϵg+ϵh=g0h1+g1h0ϵg+ϵh=g0h1+g1h0.

The distance from ff to the all-zero function is at most 1g0h01g0h0.

The distance from ff to the all-ones function is at most 1g1h11g1h1.

Further, the distance from ff to the nearest constant function is at most 1/21/2.

Thus, the ratio ϵ/(ϵg+ϵh)ϵ/(ϵg+ϵh) is at most min(1/2,1g0h0,1g1h1)g0h1+g1h0,

min(1/2,1g0h0,1g1h1)g0h1+g1h0,
where g0,h0[0,1]g0,h0[0,1] and g1=1g0g1=1g0 and h1=1h0h1=1h0.

By calculation, this ratio is at most 12(21)=c/212(21)=c/2. QED

Lemma 2 extends Lemma 1 to general kk by arguing pointwise, over every possible setting of the 2k2k influencing variables. Recall that c=121c=121.

Lemma 2: Fix any kk. If ff is ϵgϵg-near a function gg that has kk influencing variables in S2S2, and ff is ϵhϵh-near a function hh that has kk influencing variables in S1S1, then ff is ϵϵ-near a function ˆf that has at most 2k influencing variables, where ϵ(ϵg+ϵh)/2c.

Proof. Express f as f(a,y,b,z) where (a,y) contains the variables in S1 with a containing those that influence h, while (b,z) contains the variables in S2 with b containing those influencing g. So g(a,y,b,z) is independent of z, and h(a,y,b,z) is independent of y.

For each fixed value of a and b, define Fab(y,z)=f(a,y,b,z), and define Gab and Hab similarly from g and h respectively. Let ϵgab be the distance from Fab to Gab (restricted to (y,z) pairs). Likewise let ϵhab be the distance from Fab to Hab.

By Lemma 1, there exists a constant cab such that the distance (call it ϵab) from Fab to the constant function cab is at most (ϵhab+ϵgab)/(2c). Define ˆf(a,y,b,z)=cab.

Clearly ˆf depends only on a and b (and thus at most k variables).

Let ϵˆf be the average, over the (a,b) pairs, of the ϵab's, so that the distance from f to ˆf is ϵˆf.

Likewise, the distances from f to g and from f to h (that is, ϵg and ϵh) are the averages, over the (a,b) pairs, of, respectively, ϵgab and ϵhab.

Since ϵab(ϵhab+ϵgab)/(2c) for all a,b, it follows that ϵˆf(ϵg+ϵh)/(2c). QED

Lemma 3 shows that the constant c above is the best you can hope for (even for k=0 and ϵ=0.5).

Lemma 3: There exists f such that f is (0.5/c)-near two functions g and h, where g has no influencing variables in S2 and h has no influencing variables in S1, and f is 0.5-far from every constant function.

Proof. Let y and z be x restricted to, respectively, S1 and S2. That is, y=(x1,,xn/2) and z=(xn/2+1,,xn).

Identify each possible y with a unique element of [N], where N=2n/2. Likewise, identify each possible z with a unique element of [N]. Thus, we think of f as a function from [N]×[N] to {0,1}.

Define f(y,z) to be 1 iff max(y,z)12N.

By calculation, the fraction of f's values that are zero is (12)2=12, so both constant functions have distance 12 to f.

Define g(y,z) to be 1 iff y12N. Then g has no influencing variables in S2. The distance from f to g is the fraction of pairs (y,z) such that y<12N and z12N. By calculation, this is at most 12(112)=0.5/c

Similarly, the distance from f to h, where h(y,z)=1 iff z12N, is at most 0.5/c.

QED


First of all, thanks Neal! This indeed sums it up for k=0, and sheds some light on the general problem. However in the case of k=0 the problem is a bit degenerate (as 2k=k), so I'm more curious regarding the case of k1. I didn't manage to extend this claim for k>0, so if you have an idea on how to do it - I'd appreciate it. If it simplifies the problem, then the exact constants are not crucial; that is, ϵ/2-far can be replaced by ϵ/c-far, for some universal constant c.

2
I've edited it to add the extension to general k. And Yuri's argument below gives a slightly looser factor with an elegant probabilistic argument.
Neal Young

Sincere thanks Neal! This line of reasoning is quite enlightening.
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