कम से कम निर्धारित बिंदु तर्क को समझना

Question

एक पेपर को बेहतर ढंग से समझने के लिए मैं कम से कम फिक्स्ड पॉइंट लॉजिक की संक्षिप्त समझ प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं। कुछ बिंदु हैं जहां मैं फंस गया हूं।

यदि एक ग्राफ है और$G = (V,E)$

$$\Phi(P) = \{(a,b) \mid G \models E(a,b) \lor P(a,b) \lor \exists z (E(a,z) \land P(z,b)) \}$$

बाइनरी रिलेशन पर एक ऑपरेटर है । मुझे समझ नहीं आता क्यों कम से कम निश्चित बिंदु के की सकर्मक बंद है । उदाहरण Finite Model Theory और उसके अनुप्रयोग (पृष्ठ 60) से लिया गया है।$P$$P^*$$P$$E$

पहले-क्रम वाले तर्क को कम से कम निर्धारित सूचक ऑपरेटर के साथ विस्तारित करते समय, मुझे समझ में नहीं आता है कि संबंध प्रतीक को सूत्र में सकारात्मक होने की आवश्यकता क्यों है। सकारात्मक का मतलब है कि सूत्र में की प्रत्येक घटना नकारात्मक प्रतीकों के सम संख्या के भीतर है।$S_i$$S_i$

क्या किसी के पास विचार है कि कम-से-कम पॉइंटर लॉजिक और उसके सिंटैक्स और शब्दार्थों के बारे में सहज ज्ञान युक्त पढ़ने के लिए क्या अच्छा है?

Answer 1

यदि आपको कम से कम निश्चित बिंदु की अवधारणा से परेशानी हो रही है, तो मैं अधिक सामान्य आदेश सिद्धांत में पृष्ठभूमि प्राप्त करने में कुछ समय बिताने की सलाह दूंगा।

डेवी और प्रीस्टले, लॉटीज़ एंड ऑर्डर का परिचय एक अच्छा परिचय है।

यह देखने के लिए कि ट्रांज़िटिव क्लोजर सबसे कम निश्चित बिंदु क्यों है, एक खाली सेट से क्लोजर के निर्माण की कल्पना करें, एक समय में तार्किक सूत्र एक कदम लागू करें। जब आप सूत्र का उपयोग करके कोई नया किनारा नहीं जोड़ सकते, तो सबसे कम निश्चित बिंदु आता है।

सूत्र सकारात्मक होने की आवश्यकता यह सुनिश्चित करती है कि प्रक्रिया एकरस है, अर्थात यह प्रत्येक चरण पर बढ़ती है। यदि आपके पास एक नकारात्मक सबफ़ॉर्मुला था, तो आपके पास ऐसा मामला हो सकता है जहां कुछ चरणों में किनारों का सेट कम हो जाएगा, और इससे एलएफपी के लिए अभिसरण के बजाय ऊपर और नीचे एक गैर-समाप्ति दोलन हो सकता है।

Answer 2

एक परिमित सेट की शक्तियों से निर्मित बूलियन बीजगणित पर विचार करें $S$, सेट समावेशन द्वारा आदेश दिया गया। अब, ऑपरेटर पर विचार करें$P$ द्वारा परिभाषित

$$P(X) = \lnot X$$

स्पष्ट रूप से $P$ एक गैर-सकारात्मक ऑपरेटर है।

1. दिखाएँ कि कोई निश्चित बिंदु नहीं हैं $\mu P$ ऐसा है कि $P(\mu P) = \mu P$। नतीजतन, आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं$\mu X.\;P(X)$ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

2. अपने लिए नस्टर-टार्सी प्रमेय साबित करें। यानी अगर आपके पास पूरी जाली है$L$, और एक मोनोटोन फ़ंक्शन $f : L \to L$, तब के निर्धारित बिंदुओं का सेट $f$एक पूर्ण जाली बनाता है। (एक परिणाम के रूप में,$f$ एक कम से कम और सबसे बड़ी निश्चित बात है।) यह प्रमाण बहुत छोटा है, लेकिन यह पहली बार देखने पर एक सिर खुजाने वाला सा है, और एकरसता $f$ तर्क के लिए महत्वपूर्ण है।

3. अपने लिए साबित करें कि कोई भी ऑपरेटर एक मुक्त चर के साथ एक अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है $X$जो केवल सकारात्मक रूप से होता है वह है मोनोटोन। तो सकारात्मक घटना एक वाक्यात्मक स्थिति है जो एकरसता को लागू करने के लिए पर्याप्त है।

मुझे लगता है कि वास्तव में अंतर्ज्ञान को आंतरिक बनाने के लिए इन सबूतों को करने के लिए कोई विकल्प नहीं है।

Answer 3

यह एक बहुत पुरानी पोस्ट है इसलिए आप पहले से ही वांछित के रूप में जवाब का सामना कर सकते हैं। चूंकि मैं पिछले कुछ महीनों से एफओ (एलएफपी) का अध्ययन कर रहा हूं। मुझे उन उत्तरों की कुछ समझ है जिनकी आपको आवश्यकता है।

सकारात्मकता की आवश्यकता का उत्तर देने के लिए, इस तथ्य की आवश्यकता होती है कि परीक्षण इस बात का परीक्षण करता है कि क्या सूत्र एक मोनोटोन ऑपरेटर को पकड़ता है या नहीं, परिमित और अनंत दोनों प्रकार के मॉडल में यह अपरिहार्य है। एक मोनोटोन ऑपरेटर को पकड़ने वाले सूत्र से मेरा क्या मतलब है? मान लीजिए आप एक एफओ लिखते हैं$[\sigma$] एक मुक्त दूसरे क्रम चर के साथ सूत्र कहते हैं $\phi(\vec{x},X)$, कहाँ पे $|\vec{x}|=ar(X)$, तो हम एक संबंधित ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं $f_\phi$ : $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ जहाँ ar (X) दूसरे क्रम के चर की एरी है और A का डोमेन है $\sigma$-structure $\mathbb{A}$ तथा $\mathcal{P}(Z)$ Z. और सेट का पावर सेट है $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$। यदि यह ऑपरेटर मोनोटोन है तो हम उपरोक्त उत्तरों में उल्लिखित नॉट टार्स्की के निर्धारित बिंदु प्रमेय के बाद परिमित और अनंत संरचना में निश्चित बिंदु को आसानी से पकड़ सकते हैं। लेकिन, इस समस्या का परीक्षण किया जा रहा है कि क्या फार्म के ऊपर लिखे गए फॉर्मूले को मोनोटोन ऑपरेटर कहते हैं या नहीं यह अनुचित नहीं है इसलिए हमें अगली सबसे अच्छी चीज प्राप्त करने की आवश्यकता है। दूसरे क्रम में परिवर्तनशीलता मुक्त चर सुनिश्चित करती है कि एकरूपता आवश्यकता को पूरा करती है, इस घटना को साबित करने के लिए एक मानक संरचनात्मक प्रेरण। प्रश्न यह है कि क्या यह पर्याप्त है?

उसके लिए, मेरे पास अभी तक कोई ठोस जवाब नहीं है, क्योंकि मैं अभी भी पढ़ रहा हूं। मैं इस मोर्चे पर कागजात को इंगित कर सकता हूं। कम से कम एक व्याख्या करने वाले विचार जो मैंने यहां बताए हैं, वे कागज से हैं, मोनोटोन बनाम पॉजिटिव - अजताई, गुरेविच। यह भी एक अन्य कागज का उल्लेख करता है कि गुरेविच और शेला द्वारा पहले आदेश तर्क के निश्चित बिंदु विस्तार जो कि सकारात्मक सूत्र पर लागू होने पर निश्चित बिंदु ऑपरेटर को बताता है जब मनमाना मोनोटोन फ़ार्मुलों पर किए जा रहे आवेदन के साथ तुलना में व्यक्त शक्ति नहीं खोती है।