प्रूफ सिस्टम के पीछे अंतर्ज्ञान

Question

मैं पी-ऑप्टिमल प्रूफ सिस्टम और लॉजिक के लिए पीटी टाइम पर पेपर को खड़ा करने की कोशिश कर रहा हूं । कागज में प्रूफ सिस्टम नामक एक धारणा है और मुझे इस बारे में जानकारी नहीं है:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... हम सबसेट के साथ समस्याओं की पहचान करते हैं $Q$ में $\Sigma^*$।

मुझे लगता है कि इंट्यूशन यह है कि हम एक निश्चित संरचना को इनकोड करते हैं $\Sigma^*$ (जैसे अप्रत्यक्ष रेखांकन) और इन संरचनाओं के सबसेट समस्याएँ हैं (जैसे प्लानर ग्राफ़)।

एक समस्या के लिए एक सबूत प्रणाली$Q \subset \Sigma^*$ एक विशेषण फ़ंक्शन है $P:\Sigma^* \to Q$ बहुपद समय में कम्प्यूटेशनल।

अब कहने के लिए एक जगह है $\Sigma^*$एक निश्चित संरचना में सभी संभव मॉडल का सेट है (जैसे सभी अप्रत्यक्ष रेखांकन)। लेकिन इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि एक उप-ग्राफ़ पर अप्रत्यक्ष ग्राफ़ को मैप क्यों किया जाना चाहिए? यह ट्यूरिंग मशीनों को एन्कोड किया जा सकता है लेकिन इसका कोई मतलब नहीं है ...

कोई विचार?

Answer 1

सोच $\Sigma^{*}$ वस्तुओं के कुछ प्रकार एन्कोडिंग, और $Q$सभी वस्तुओं के सेट के रूप में कुछ संपत्ति संतोषजनक। सोच$P$ एक फ़ंक्शन के रूप में जो एक जोड़ी को स्वीकार करता है (एन्कोडिंग) $(x, p)$ कहाँ पे $x$ एक वस्तु है और $p$ का "सबूत" कथित है $x \in Q$। कार्यक्रम$P$ एक "प्रूफ चेकर" है: यह पुष्टि करता है कि $p$ वास्तव में वैध सबूत का प्रतिनिधित्व करता है कि $x \in Q$। यदि हां, तो यह वापस आ जाता है$x$, अन्यथा यह एक डिफ़ॉल्ट तत्व देता है $Q$।

उदाहरण के तौर पर मान लीजिए $\Sigma^{*}$ रेखांकन और रेखांकन $Q$हैमिल्टनियन रेखांकन का सेट (एनकोडिंग्स) हो। संभव है$P$ यह है: के रूप में डिकोड इनपुट $(G, \ell)$ कहाँ पे $G$ एक ग्राफ है और $\ell$ के कोने की सूची है $G$; सत्यापित करो कि$\ell$ में एक हैमिल्टनियन चक्र है $G$; यदि ऐसा है तो वापस लौटें$G$ अन्यथा ग्राफ को एक बिंदु पर लौटाएं।

आपने प्लानर ग्राफ के मामले पर विचार किया। उपयुक्त पाने के लिए$P$ हमें प्लानारिटी के पॉली-टाइम जाँच योग्य साक्ष्य की एक धारणा की आवश्यकता है।

सामान्य रूप से इनपुट $P$ एक जोड़ी सांकेतिक शब्दों में बदलना की जरूरत नहीं है $(x, p)$। महत्वपूर्ण बात यह है कि$P$ अपने इनपुट से जानकारी के दो टुकड़े निकाल सकते हैं: प्रश्न में वस्तु और वस्तु से संबंधित कथित साक्ष्य $Q$। उदाहरण के लिए, हम इसे लेते हैं$Q$कुछ प्रथम-क्रम सिद्धांत में सिद्ध किए गए सभी वाक्यों का सेट। अभी$P$एक औपचारिक प्रमाण के रूप में इसके इनपुट को डीकोड करता है। यदि एन्कोडिंग अमान्य है, तो यह वापस आ जाता है$\top$। यदि एन्कोडिंग एक वैध प्रमाण का प्रतिनिधित्व करता है, तो यह उस कथन को लौटाता है जो प्रमाण द्वारा प्रमाणित किया गया था (जो कि सबूत के पेड़ के मूल होने की संभावना है, या बयानों के अनुक्रम में अंतिम सूत्र, इस बात पर निर्भर करता है कि आप प्रमाणों को कैसे औपचारिक बनाते हैं)।

Answer 2

आपको प्रूफ सिस्टम के इनपुट के बारे में सोचना चाहिए $P$ एक प्रमाण के पाठ के रूप में $\pi$ एक तत्व का $q \in Q$। यदि पाठ मान्य है कि$P(\pi) = q$, अन्यथा $P(\pi)$ कुछ तय है $q_0 \in Q$। हम चाहते हैं$P$ इसका मतलब यह है कि सबूत को सत्यापित करना आसान है।

उदाहरण के तौर पर मान लीजिए $Q$ प्रपोजल टॉटोलॉजी का सेट है, और $P$कोई भी हिल्बर्ट-स्टाइल प्रूफ सिस्टम है, जिसमें रेखाओं का एक सेट होता है , जिनमें से प्रत्येक या तो एक स्वयंसिद्ध है या पिछली रेखाओं से व्युत्पन्न नियम (आमतौर पर मोडस पोंन्स) के माध्यम से होता है। यदि प्रमाण वैध है, तो$P$प्रमाण में अंतिम पंक्ति का उत्पादन करना चाहिए। अन्यथा, कुछ निश्चित टॉटोलॉजी जैसे आउटपुट$p \lor \lnot p$।

अपने पहले प्रश्न पर वापस, $Q$एक निश्चित प्रकार की सभी संरचनाओं की एन्कोडिंग है जो कुछ संपत्ति को संतुष्ट करती है। एक उदाहरण तनातनी है। एक और उदाहरण सभी गैर-3-रंगीन ग्राफ़ का सेट है, जिसमें एक प्रूफ सिस्टम है जिसे हजो कैलकुलस के रूप में जाना जाता है।