क्या लैम्ब्डा पथरी के लिए मध्यवर्ती एटा सिद्धांत हैं?

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लैम्ब्डा कैलकुलस के दो मुख्य, अध्ययन किए गए सिद्धांत हैं, बीटा सिद्धांत और इसका उत्तर-पूर्ण विस्तार, बीटा-एटा सिद्धांत।

क्या इन दो सिद्धांतों के बीच में एक तरह का मध्यवर्ती ईटा नियम है, जो एक फिर से लिखना सिद्धांत देता है? क्या आंशिक विलक्षणता की कुछ दिलचस्प धारणा है जो इससे मेल खाती है?

यह दूसरा प्रश्न है जो मैंने इंटरमीडिएट एटा की खोज में पूछा है, पिछले लंबो-कैलकुलस के बीटा-थ्योरी के एक्सटेंशन्स , जिसके कारण विस्तार के एक ऑर्थोगोनल धारणा के बारे में सवाल किया गया था, जो संगम को फिर से लिखने के लिए अदृश्य समीकरणों को प्रस्तुत करता है , जिसने स्पष्ट करने की मांग की थी उस पहले के सवाल का जवाब।

lo.logic lambda-calculus extensionality

— चार्ल्स स्टीवर्ट
स्रोत

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टाइप की गई गणना के लिए, यदि आप नकारात्मक प्रकारों ( , , ) पर विचार करते हैं, तो आप मूल रूप से संगम को प्रभावित किए बिना ईटा नियमों को चालू या बंद कर सकते हैं। $1$ $\times$ $\to$

सकारात्मक प्रकार (रकम, और पैटर्न-मिलान उन्मूलन के साथ जोड़े) के लिए, स्थिति बहुत अधिक गड़बड़ है। मूल रूप से, सवाल यह है कि क्या शब्द में एक बंद-स्कोप एलिमिनेशन फॉर्म है, जो संदर्भों को एटा-विस्तार के साथ जटिल तरीकों से बातचीत करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि में टाइप , तो उसका एटा-विस्तार $e$ $A \times B$ । लेकिन संतुलन संबंधी सिद्धांत एक वर्ग विचारक उम्मीद करेंगे पाने के लिए, आप संदर्भों विचार करने की जरूरत , और समीकरण सामान्य होने के लिए $\mathsf{let}\;(a,b) = e \;\mathsf{in}\; (a,b)$ $\mathbb{C}[-]$ (अपेक्षित स्कूप प्रतिबंधों के साथ)। $\mathbb{C}[e] \equiv \mathsf{let}\;(a,b) = e\;\mathsf{in}\;\mathbb{C}[(a,b)]$

मुझे लगता है कि अगर आप आने वाले रूपांतरणों की अनुमति नहीं देते हैं, तो आप अभी भी एक संगम परिणाम साबित कर सकते हैं। लेकिन यह दिलकश है - मैंने इसे कभी भी खुद पर आजमाया नहीं है, और न ही इसके दस्तावेजीकरण के कागजात को देखा है।

मैं वास्तव में अप्रकाशित लैम्ब्डा कैलकुलस के बारे में कुछ नहीं जानता, हालांकि।

EDIT: चार्ल्स एटा-कटौती के बारे में पूछता है। यह उस तरह के उदाहरण के लिए आशाजनक है जो वह चाहता है, क्योंकि मुझे लगता है कि सामान्य रूप से वे पूर्ण समानता सिद्धांत को मॉडल करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं होंगे, जिसे मैं एक सरल उदाहरण के साथ शामिल करूंगा जिसमें बुलियन शामिल हैं। बूलियन्स के लिए ईटा-विस्तार है । (एटा-कमी निश्चित रूप से दूसरी दिशा है।) $\mathbb{C}[e] \mapsto \mathsf{if}(e, \mathbb{C}[\mathsf{true}], \mathbb{C}[\mathsf{false}])$

अब, शब्द पर विचार करें । दिखा रहा है कि यह शब्द बराबर है $\mathsf{if}(e, f, g)\;\mathsf{if}(e, x, y)$ , एक ईटा-विस्तार के माध्यम से जाने की जरूरत है क्योंकि हम बदलने के लिए की अगर-तो-elses के साथ एक में और के लिए एक ड्राइव करने के लिए में -Reduction। $\mathsf{if}(e, f\;x, g\;y)$ $e$ $\mathsf{true}$ $\mathsf{false}$ $\beta$

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

मुझे यह स्पष्ट करना चाहिए था कि यह अनकैप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस के बारे में था: एक तरफ तर्क उस अस्पष्ट बना सकता है। टाइप किए गए मामले में, मुझे उम्मीद है कि पोस्ट पूर्णता × →, × ed सिद्धांत के लिए है, लेकिन मैं अन्य प्रकारों के लिए बिल्कुल सुनिश्चित नहीं हूं। संदर्भों को ईटा-विस्तार के साथ जटिल तरीकों से बातचीत करते हैं - यह एटा कमी पर विचार करने के लिए एक मामला है, है ना, क्योंकि आपको पुनर्लेखन को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है?

— चार्ल्स स्टीवर्ट

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जॉन सी। मिशेल के प्रोग्रामिंग लैंग्वेजेस की नींव के अनुसार, एसटीपीएल और अनपेड लैम्ब्डा कैलकुलस दोनों में, कमी नियम pair (proj₁ P, proj₂ P) → Pके साथ संयुक्त होने पर कमी नियम टूट जाता है fix(या, मैं सबूत को देखने से मान लेता हूं), बिना अनछुए मामले के लिए ऐसी शर्तों के बिना। यह प्रमेय 4.4.19 (पृष्ठ 272) है।

— Blaisorblade
स्रोत

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मुझे लगता है कि यह नील के जवाब पर एक विस्तारित टिप्पणी है। क्लॉप एंड डी व्रिजर (1989) ने सर्पोजिक पेयरिंग के साथ अनकैप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस के सिद्धांत का सर्वेक्षण किया: एटा रिडक्शन के साथ मामला वास्तव में गैर-संगम है, लेकिन सिद्धांत सुसंगत है (स्कॉट के डीएनएफ निर्माण में इसका एक मॉडल है), और वे परिणाम प्रदान करते हैं। एक विशेषण, रूढ़िवादी जोड़े के लिए रूढ़िवादी पुनर्लेखन सिद्धांत का सुझाव दिया जा सकता है (अभी भी एक खुली समस्या, AFAIK)।

— चार्ल्स स्टीवर्ट