क्या सभी फ़ंक्शंस जिनके फूरियर का वजन AC0 सर्किट द्वारा गणना की गई छोटे आकार के सेट पर केंद्रित है?

क्या सभी फ़ंक्शंस जिनके फूरियर का वजन छोटे आकार के सेट (या कम डिग्री वाले शब्द) पर केंद्रित है, सर्किट द्वारा गणना की जाती है ? $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
स्रोत

यह सवाल दिलचस्प लगता है, हालांकि मुझे फूरियर विश्लेषण में पृष्ठभूमि की कुछ कमी है। मैं संबंधित साहित्य के संदर्भों की सराहना करूंगा।

— मार्कस

@ मर्कस: रयान ओ'डॉनेल की यह पुस्तक 2.0 एक उत्कृष्ट संदर्भ है: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— एलेसेंड्रो

लगभग लिनियाल, मंसूर, निसान 1993 तक का अंत ? aaronsons परिणाम, सामान्यीकृत Linial-Nissan को प्रतिसाद देना करीब लगता है? लेकिन imho theres को किसी तरह से 1993 के परिणाम को सामान्य करने का एक तरीका मिल गया ... शायद एक बड़े तरीके से ....

— vzn

एसी ^ 0 के बजाय एक और समान विचार, सख्त करना मुश्किल है, गहराई असीमित होगी लेकिन कुल गेट सीमित सर्किट कुछ "छोटे" फ़ंक्शन द्वारा बहुपद कहते हैं ...? यह भी मोनोटोन सर्किट और फूरियर गुणांक के बीच के संबंध को बहुत अच्छी तरह से नहीं जानता है ...?

— vzn

यह भी देखें polylogarithmic स्वतंत्रता मूर्खों AC ^ 0 सर्किट ब्रैवरमैन द्वारा

— vzn

जवाबों:

सं पर निम्नलिखित समारोह पर विचार करें : $\{0,1\}^n$ स्पष्ट रूप से यह फ़ंक्शन AC^{0 के}लिए कठिन है। दूसरी ओर, फ़ंक्शन लगभग स्थिर है, इसलिए इसके लगभग सभी फूरियर स्पेक्ट्रम पहले स्तर पर हैं।

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

आप एक संतुलित counterexample चाहते हैं, पर विचार यह फ़ंक्शन लगभग हमेशाबराबर है, इसलिए इसके लगभग सभी फूरियर स्पेक्ट्रम पहले दो स्तरों पर है।

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— युवल फिल्मस
स्रोत

क्या आपके पास कोई मजबूत उदाहरण है जहां फ़ंक्शन को AC0 में नहीं लगाया जा सकता है?

— एमसीएच

पहले

स्तरों पर केंद्रित एक फ़ंक्शन हमेशा

इनपुट के आधार पर एक फ़ंक्शन के करीब होता है , इसलिए यदि हम केवल

स्तरों में रुचि रखते हैं, तो कोई मजबूत उदाहरण नहीं हैं।

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— युवल फिल्मस

@ युवलफिल्म फूरियर स्पेक्ट्रम स्तर का क्या अर्थ है? यह फ़ंक्शन

लिए कठिन क्यों है ?

A C^{0}

$AC^0$

@ अरूल एक फूरियर स्तर में दिए गए आकार के सेट के अनुरूप सभी फूरियर गुणांक होते हैं। हम आकार के बढ़ते क्रम में उनके अनुसार सोचते हैं। AC0 के लिए यह कार्य कठिन क्यों है, इसके लिए यह एक अभ्यास है। संकेत: AC0 के लिए समता कठिन है।

— युवल फिल्मस

"छोटे आकार" और "ध्यान केंद्रित" के सटीक अर्थ के अनुसार प्रश्न को समझने के कई तरीके हैं।

$1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) Bourgain की एक प्रमेय है कि अगर एकाग्रता बहुमत फ़ंक्शन के ऊपर अच्छी तरह से है तो फ़ंक्शन लगभग एक जून्टा है, और इस प्रकार O (1) चर पर निर्भर करता है।

$\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

$O(\log n)$ $AC^0$

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— गिल कलाई
स्रोत