बूलियन कार्यों के फूरियर विश्लेषण "काम" क्यों करता है?

Question

वर्षों से मैंने कई TCS प्रमेयों को असतत फूरियर विश्लेषण का उपयोग करते हुए साबित करने के लिए इस्तेमाल किया है। वॉल्श-फूरियर (हैडमार्ड) ट्रांसफ़ॉर्मेशन TCS के लगभग हर सबफ़ील्ड में उपयोगी है, जिसमें प्रॉपर्टी टेस्टिंग, स्यूडोरेंग्ज़िनेशन, कम्यूनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी और क्वांटम कंप्यूटिंग शामिल हैं।

जब मैं एक समस्या से निपटने के दौरान एक बहुत उपयोगी उपकरण के रूप में बूलियन फ़ंक्शंस के फूरियर विश्लेषण का उपयोग करके सहज हो गया, और भले ही मेरे पास एक बहुत अच्छा कूबड़ हो, जिसके लिए फूरियर विश्लेषण का उपयोग करने वाले मामलों में शायद कुछ अच्छे परिणाम मिलेंगे; मुझे यह स्वीकार करना होगा कि मुझे वास्तव में यकीन नहीं है कि यह क्या है जो आधार के इस बदलाव को इतना उपयोगी बनाता है।

क्या किसी को इस बात का आभास है कि TCS के अध्ययन में फूरियर विश्लेषण इतना फलदायी क्यों है? क्यों फूरियर विस्तार लिखने और कुछ जोड़तोड़ प्रदर्शन करके इतनी मुश्किल से मुश्किल समस्याएं हल हो जाती हैं?

नोट: मेरा मुख्य अंतर्ज्ञान इस प्रकार अब तक, हो सकता है कि यह हो सकता है, यह है कि हम इस बात की बहुत अच्छी समझ रखते हैं कि बहुपद कैसे व्यवहार करते हैं, और यह कि फूरियर रूपांतरण एक बहुवचन बहुपद के रूप में एक कार्य को देखने का एक प्राकृतिक तरीका है। लेकिन विशेष रूप से यह आधार क्यों? समानता के आधार में ऐसा क्या अनोखा है?

Comments

पेजिंग @ ryan-odonnell

— सुरेश वेंकट

एक विचार जो 90 के दशक में चारों ओर तैर रहा था, वह यह है कि शायद कार्यों के अन्य आधार भी काम करेंगे, शायद शास्त्रीय हार्मोनिक विश्लेषण में तरंगों की सफलता की नकल करते हुए। लेकिन मैंने इस विचार को जारी नहीं देखा।

— गिल कलाई

Answer 1

$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$। टीसीएस के कई प्रश्नों में, उन प्रभावों का विश्लेषण करने की एक अंतर्निहित आवश्यकता है जो ऐसे ऑपरेटरों के कुछ कार्यों पर हैं।

अब, मुद्दा यह है कि फूरियर का आधार वह आधार है जो एक ही समय में उन सभी ऑपरेटरों को विकर्ण करता है, जो उन ऑपरेटरों के विश्लेषण को बहुत सरल बनाता है। आम तौर पर, फूरियर का आधार संचलन संचालक को विकर्ण करता है, जो उन कई प्रश्नों को भी रेखांकित करता है। इस प्रकार, फूरियर विश्लेषण प्रभावी होने की संभावना है जब भी किसी को उन ऑपरेटरों का विश्लेषण करने की आवश्यकता होती है।

$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

Comments

यह एक उत्कृष्ट उत्तर है।

— सुरेश वेंकट

$(f(x), f(x+w_1), f(x+w_2), f(x+w_1+w_2))$

"ऑपरेटर का तिरस्कार करना" से आपका क्या अभिप्राय है?

— जॉन म्यूलर

$f$

यह दिलचस्प है कि जुंटा सीखने के लिए भी अनुप्रयोगों को कन्वेंशन ऑपरेटरों के संदर्भ में समझा जा सकता है: एक जूनियर ऑपरेटर के तहत अपनी छवि के बराबर है जो कि इनपुट से अधिक है जो अप्रासंगिक निर्देशांक पर असहमत हैं। यह ऑपरेटर एक कनवल्शन ऑपरेटर है, और फूरियर डोमेन में विरल है। यह एक सामान्य विषय है: जब कोई फ़ंक्शन "स्वयं के साथ सहसंबद्ध" होता है, तो यह फूरियर आधारित दृष्टिकोण के लिए भीख माँगता है

— साशो निकोलेव

Answer 2

यहाँ इस सवाल पर एक और हो सकता है।

छद्म बूलियन फ़ंक्शन को के-बाउंड मान लिया गया है, तो फ़ंक्शन के वाल्श बहुपद प्रतिनिधित्व को kfunctions में विघटित किया जा सकता है। सभी रेखीय शब्दों को एक सबफंक्शन में एकत्रित किया जाता है, सभी जोड़ीदार अंतःक्रियाओं को एक सबफंक्शन में, फिर 3-वे इंटरैक्शन आदि में एकत्रित किया जाता है।

इन उप-विभाजनों में से प्रत्येक एक "प्रारंभिक परिदृश्य" है और इस प्रकार प्रत्येक उप-खंड लाप्लासियन आसन्न मैट्रिक्स (यानी, हेमिंग दूरी 1 पड़ोस) का एक eigenvector है। प्रत्येक सबफ़ंक्शन में सभी प्राथमिक परिदृश्यों में पाए जाने वाले प्रकार का एक समान "वेव समीकरण" होता है। अब के अलावा k वेव समीकरण हैं जो संयोजन में कार्य करते हैं।

वेव समीकरणों को जानने के बजाय सटीक तरीके से संबंधित खोज स्थान को सांख्यिकीय रूप से चिह्नित करना संभव बनाता है। आप माध्य और विचरण की गणना कर सकते हैं और मनमाने ढंग से (घातीय रूप से बड़े) हमिंग बॉल्स और खोज स्थान के मनमाने हाइपरप्लेन पर गणना कर सकते हैं।

पीटर स्टैडलर का एलीमेंट्री लैंडस्केप्स का काम देखें।

एंड्रयू सटन और I (डेरेल व्हिटले) ने छद्म-बुलियन अनुकूलन के लिए स्थानीय खोज एल्गोरिदम को समझने और सुधारने के लिए इन तरीकों का उपयोग करने पर काम किया है। आप स्वचालित रूप से स्थानीय खोज एल्गोरिदम के लिए सुधार चाल की पहचान करने के लिए वाल्श पॉलीओनियम्स का उपयोग कर सकते हैं। खोज स्थान के बेतरतीब ढंग से पड़ोस में रहने की कोई आवश्यकता नहीं है। वाल्श विश्लेषण सीधे आपको बता सकता है कि सुधार चालें कहाँ स्थित हैं।

Comments

क्या आप अपने द्वारा उद्धृत कार्य के लिए कुछ संकेत प्रदान कर सकते हैं?

— एन्द्र दास सलामन

Answer 3

इस सवाल का एक बड़ा जवाब शायद अभी तक मौजूद नहीं है क्योंकि इसके अपेक्षाकृत युवा और अनुसंधान का एक बहुत सक्रिय क्षेत्र है। उदाहरण के लिए 1987 से बूलियन फ़ंक्शंस पर इंगो वेगेनर्स की व्यापक पुस्तक में विषय पर कुछ भी नहीं है (डीएफटी के सर्किट जटिलता का विश्लेषण करने के अलावा)।

एक सरल अंतर्ज्ञान या अनुमान यह है कि ऐसा प्रतीत होता है कि उच्च क्रम के बड़े फूरियर गुणांक उपप्रकार की उपस्थिति को इंगित करते हैं जो कई इनपुट चर को ध्यान में रखना चाहिए और इसलिए कई फाटकों की आवश्यकता होती है। यानी फूरियर विस्तार स्पष्ट रूप से एक प्राकृतिक तरीके से बूलियन फ़ंक्शन की कठोरता को मापता है। इसे प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन लगता है कि इसके परिणाम कई हैं। उदाहरण के लिए खार्चेनकोस लोअर बाउंड फूरियर गुणांक से संबंधित हो सकता है। [१]

एक और मोटा सादृश्य ईई या अन्य इंजीनियरिंग क्षेत्रों से कुछ हद तक उधार लिया जा सकता है जहां फूरियर विश्लेषण का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग अक्सर ईई फिल्टर / सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए किया जाता है । फूरियर गुणांक फिल्टर के एक विशेष "बैंड" का प्रतिनिधित्व करते हैं। कहानी यह भी है कि "शोर" विशेष रूप से आवृत्तियों की विशेष श्रेणियों में प्रकट होता है, जैसे निम्न या उच्च। सीएस में "शोर" का एक सादृश्य "यादृच्छिकता" है, लेकिन यह भी बहुत अनुसंधान (जैसे [4] में एक मील के पत्थर तक पहुँचने) से स्पष्ट है कि यादृच्छिकता मूल रूप से जटिलता के समान है। (कुछ मामलों में "एन्ट्रापी" भी इसी संदर्भ में दिखाई देता है।) फूरियर विश्लेषण सीएस सेटिंग्स में भी "शोर" का अध्ययन करने के लिए अनुकूल प्रतीत होता है। [२]

एक अन्य अंतर्ज्ञान या चित्र मतदान / विकल्प सिद्धांत से आता है। [२,३] यह उपकेंद्रों के रूप में बूलियन कार्यों का विश्लेषण करने में सहायक है जो "वोट" देते हैं और परिणाम को प्रभावित करते हैं। मतदान का विश्लेषण कार्यों के लिए एक प्रकार का अपघटन प्रणाली है। यह कुछ वोटिंग सिद्धांत का भी लाभ उठाता है जो गणितीय विश्लेषण की ऊंचाइयों तक पहुंच गया है और जो स्पष्ट रूप से मल संबंधी कार्यों के ज्यादा फूरियर विश्लेषण के उपयोग से पहले का है।

इसके अलावा, फ्यूमिटर विश्लेषण में समरूपता की अवधारणा सर्वोपरि है। अधिक "सममित" फ़ंक्शन, जितना अधिक फूरियर गुणांक को रद्द करता है, उतना ही अधिक "सरल" फ़ंक्शन को गणना करना है। लेकिन यह भी अधिक "यादृच्छिक" और इसलिए अधिक जटिल समारोह, कम गुणांक बाहर रद्द। दूसरे शब्दों में समरूपता और सादगी, और फ़ंक्शन में इसके विपरीत विषमता और जटिलता को एक तरह से समन्वित किया जाता है, जो फूरियर विश्लेषण को माप सकता है।

[१] बर्नसकोनी, कोडेनोटी, साइमन द्वारा बूलियन कार्यों के फूरियर विश्लेषण पर

[२] डी वुल्फ द्वारा बूलियन क्यूब (२००)) पर फूरियर विश्लेषण का एक संक्षिप्त परिचय

[३] ओ'डॉनेल द्वारा बूलियन कार्यों के विश्लेषण पर कुछ विषय

[४] रैजबोरोव और रूडीच द्वारा प्राकृतिक प्रमाण

Comments

ओ'डॉनेल द्वारा बूलियन कार्यों का ऑनलाइन पुस्तक विश्लेषण भी देखें

— vzn

फ्यूरियर गुणांकों पर "पॉवर स्पेक्ट्रम" में परिलक्षित बूलियन fn की जटिलता के बारे में अनुमान को दोहराएं- लिनियल मंसूर निसान कागज, निरंतर गहराई सर्किट, फूरियर रूपांतरण और सीखने की क्षमता में प्रसिद्ध परिणामों का एक प्राकृतिक विस्तार । अमूर्त: "मुख्य परिणाम यह है कि एक एसी ^ 0 बूलियन fn में कम-गुणांक गुणकों पर इसके अधिकांश 'पावर स्पेक्ट्रम' होते हैं"

— vzn

juknas बुक, बूलियन फंक्शन जटिलता, एडवांस और फ्रंटियर्स के ch2 में फूरियर विश्लेषण का एक अच्छा सर्वेक्षण है , जो बताते हैं कि फूरियर गुणांक समता संबंधी कार्यों से संबंधित है जो इनपुट चर के सबसेट पर गणना की गई है।

— vzn

यह जवाब इतना भारी क्यों है?

— user834