क्या Linial-Mansour-Nisan प्रमेय और

परिणाम 1: लिनिअल-मंसूर-निसान प्रमेय का कहना है कि सर्किट द्वारा गणना किए गए कार्यों का फूरियर वजन उच्च संभावना वाले छोटे आकार के सबसेट पर केंद्रित है। $\mathsf{AC}^0$

परिणाम 2: का फूरियर भार, डिग्री के सह-कुशल पर केंद्रित है । $\mathsf{PARITY}$ $n$

प्रश्न: क्या 1 और 2 परिणामों के माध्यम से / उपयोग करके सर्किट द्वारा को सिद्ध करने का कोई तरीका नहीं है ? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
स्रोत

यह Linial-Mansour-Nisan प्रमेय का एक स्पष्ट अनुप्रयोग नहीं है? एलएमएन प्रमेय कैसे साबित होता है (विशेष रूप से, क्या यह संभाव्य तर्क से सिद्ध होता है या नहीं) अप्रासंगिक है।

— त्सुयोशी इतो

उसी समय, लिनियल-मंसूर-निसान प्रमेय को हस्ताद प्रमेय मानकर साबित नहीं हुआ है? यह मुझे एक कुत्ते की तरह अपनी पूंछ का पीछा करते हुए दिखता है ...

— एलेसेंड्रो कोसेंटीनो

यह है कि AC0 सर्किट के आकार पर निचली बाउंडिंग समरूपता को रयान ओ'डॉनेल के नोट्स में प्राप्त किया गया है । कोरोलरी 32 देखें।

— शाशो निकोलेव

मुझे लगता है कि अधिक दिलचस्प सवाल आपकी टिप्पणी में है: प्रत्येक फ़ंक्शन है जिसका फूरियर स्पेक्ट्रम छोटे-आकार के AC0 सर्किट द्वारा गणना किए गए निम्न-स्तरीय गुणांक पर केंद्रित है।

— Sasho निकोलोव

@Strattav तब आप यह सवाल पूछ सकते हैं।

— टायसन विलियम्स

LMN प्रमेय से पता चलता है कि यदि f एक बूलियन फंक्शन है M के सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है । $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

कुछ भी नहीं लेकिन समता समारोह के साथ च का संबंध है । चलो आदानों की अंश हो जहां से भिन्न । $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

$poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

$PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— तुलसी
स्रोत