फ़ंक्शन रिक्त स्थान के साथ आगमनात्मक प्रकार के लिए समापन ऑर्डिनल

Question

फ़िनाइट उत्पादों और रकमों से निर्मित फ़नकार के पास ऑर्डिनल , जो फ्रेंकोइस मेटायर द्वारा इस पांडुलिपि में अच्छी तरह से विस्तृत है । यानी हम आगमनात्मक प्रकार तक पहुँच सकते हैं functor पुनरावृत्ति द्वारा , जिसके बाद इसकी निश्चित बिंदु तक पहुँच जाता है पुनरावृत्तियों।$\omega$$nat := \mu X. 1 + X$$1 + X$$\omega$

लेकिन एक बार जब हम निरंतर घातांक की अनुमति देते हैं, जैसे कि , तो पर्याप्त नहीं है।$\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$$\omega$

मैं ऐसे परिणामों की तलाश कर रहा हूं जिनमें घातांक शामिल है। किस प्रकार के अध्यादेश पर्याप्त हैं?

विशेष रूप से सराहना की जाने वाली एक संदर्भ होगी जो इस बात का प्रमाण प्रस्तुत करती है कि उपर्युक्त पांडुलिपि जैसे कुछ क्रमिक लिए ऐसे फंक्शनल कॉन्टिन्यूअस हैं ।$\alpha$$\alpha$

Answer 1

आपके प्रश्न का उत्तर कई बातों पर निर्भर करता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण आपके फ़ंक्शन रिक्त स्थान का आकार है । मैं समझाऊंगा। परिभाषित करें

$$O_0 = nat$$ $$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$$ जैसा कि आपने अपने उत्तर में उल्लेख किया है, प्रत्येक $O_n$आंतरिक रूप से माना जा सकता है$n$-अपने सिस्टम के नियमित कार्डिनल। सेट सिद्धांत में, इस डेटाटाइप को एक वास्तविक अध्यादेश द्वारा दर्शाया जा सकता है और उचित रूप से विशाल है।

हालांकि, इस तरह के निर्माणों को कुछ प्रकार के सिद्धांत में जोड़ा जा सकता है, और यह सवाल बन जाता है: इस निर्माण के लिए एक सेट-थ्योरैटिक व्याख्या देने के लिए किस नियम की आवश्यकता है ? अब अगर हम खुद को रचनात्मक शब्दार्थों तक सीमित रखते हैं , तो एक प्राकृतिक विचार इस प्रकार के "realizers" के सेट द्वारा प्रत्येक प्रकार की व्याख्या करने का प्रयास करना है, जो सेट के सबसेट है$\lambda$-वापस, या समकक्ष, प्राकृतिक संख्या $\mathbb{N}$।

इस मामले में, यह दिखाना आसान है कि अध्यादेश किसी भी के लिए गणनीय है $O_n$, लेकिन यह कि यह अध्यादेश बहुत जल्दी बढ़ता है। कैसे इतनी जल्दी? फिर से, यह कार्य करने की कोशिश करते समय आपके पास मौजूद स्वतंत्रता की मात्रा पर निर्भर करता है। ऐसे अध्यादेशों के निर्माण के सिद्धांत का वर्णन बड़े गणनीय अध्यादेशों के सिद्धांत में किया गया है, जिनमें से विकिपीडिया में आश्चर्यजनक रूप से बहुत कुछ कहा गया है। सामान्य तौर पर यह दिखाना आसान है कि प्रश्न में अध्यादेश चर्च-क्लेनेल ऑर्डिनल से छोटे हैं , जब तक कि आप गैर-रचनात्मक कार्यों के निर्माण की अनुमति नहीं देते (कहते हैं$Beaver(n)$ मशीनों के लिए व्यस्त बीवर नंबर की गणना करता है $n$ राज्यों)।

यह बहुत कुछ नहीं कह रहा है, सिवाय इसके कि एक रचनात्मक सिद्धांत में, आपको केवल व्याख्याओं के निर्माण के लिए रचनात्मक अध्यादेशों की आवश्यकता होती है। हालांकि कहने के लिए थोड़ा और भी है। सबसे पहले, थियरी कोक्वांड द्वारा एक बहुत अच्छी प्रस्तुति है, जो यह बताती है कि अन्य सभी प्रकारों के लिए एलिमिनेटर की अनुपस्थिति में लेकिन$nat$, आप निर्माण कर सकते हैं $O_1$ बिलकुल $\epsilon_0$ कदम।

सामान्य तौर पर एक प्रकार के सिद्धांत की तार्किक शक्ति और सबसे बड़े अध्यादेश के आकार के बीच एक पत्राचार प्रतीत होता है कि यह इस तरीके से प्रतिनिधित्व कर सकता है। यह पत्राचार ऑर्डिनल एनालिसिस का विषय है , जिसका अध्ययन साठ के दशक के उत्तरार्ध से बड़ी लंबाई में किया गया है, और आज भी अध्ययन किया जा रहा है (कुछ आश्चर्यजनक खुले प्रश्नों के साथ)। यद्यपि चेतावनी: विषय वस्तु उतनी ही तकनीकी है जितनी कि यह आकर्षक है।

उम्मीद है की यह मदद करेगा।

Answer 2

मुझे लगता है कि मुझे एक उत्तर मिला है जो सेट जैसी श्रेणियों में पर्याप्त रूप से काम करता है। यह प्रारंभिक अल्जेब्रा और टर्मिनल कोलजेब्रस में 3.1.12 प्रमेय है : एडमेक, मिलियस और मॉस द्वारा एक सर्वेक्षण ।

इसका उत्तर यह है कि ऐसे सभी प्रकार्य के लिए कोई भी अध्यादेश पर्याप्त नहीं है। वे मनमाने ढंग से बड़े हो जाते हैं।

अधिक ठीक है, के लिए $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$उत्तर सभी से पहले नियमित रूप से बड़ा अध्यादेश है$A_i$। हम कहते है$\alpha$ अगर सभी के लिए नियमित है $\beta < \alpha$, सब $\beta$अध्यादेशों की अनुमानित श्रृंखला < $\alpha$ एक वर्चस्व है < $\alpha$। मोटे तौर पर,$\alpha$ छोटे अध्यादेशों की एक छोटी श्रृंखला से उपलब्ध नहीं है।

इसके लिए महत्वपूर्ण परिणाम है $\alpha$ एक नियमित ऑर्डिनल, अच्छी तरह से स्थापित $\alpha$-बढ़ते वृक्षों में पारलौकिक गहराई होती है < $\alpha$।

अनौपचारिक रूप से, मैं इसे किसी भी रूप में समझता हूं $f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ (अर्थात $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$) "सही बैठता है" $A_k \rightarrow F^j(0)$ कहाँ पे $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$। उस$j < \alpha$ धारण ठीक है क्योंकि $\alpha$ नियमित है और $|A_k| < \alpha$।

इसलिए $(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ प्रत्येक के लिए $k$।

तो इसको विस्तार दे रहा है $+$रेत $\times$एस, हमारे पास है: $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$, और इसलिए यह निर्धारित बिंदु पर पहुंच गया है $\alpha$।

यह मेरे लिए बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि सेट से परे इस तर्क को कैसे सामान्य किया जाए। हम कैसे लेते हैं?$A_k$-केंद्रित कॉलिमिट्स?