ODD EVEN DELTA समस्या

Question

चलो एक ग्राफ हो। चलोपूर्णांक बनें। बता दें कि के कोने और किनारों की एक विषम संख्या के किनारे प्रेरित सबग्राफ की संख्या है। चलो के किनारे प्रेरित subgraphs की संख्या हो होने कोने और किनारों की समान संख्या। Let । अजीब भी डेल्टा समस्या कंप्यूटिंग में होते हैं , यह देखते हुए और ।$G = ( V, E )$$k \leq |V|$$O_k$$G$$k$$E_k$$G$$k$$\Delta_k = O_k - E_k$$\Delta_k$$G$$k$

प्रशन

1. क्या बहुपद समय में गणना करना संभव है ? इसकी गणना करने के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिथम कौन सा है?$\Delta_k$
2. क्या होगा अगर 3-नियमित है?$G$
3. यदि 3-नियमित द्विदलीय है तो क्या होगा ?$G$
4. क्या होगा यदि 3-नियमित द्विदलीय प्लानर है?$G$

Comments

आपकी प्रेरणा क्या है?

— टायसन विलियम्स

@TysonWilliams: मेरी प्रेरणा यह है कि, यदि 1 प्रश्न के पहले भाग का सकारात्मक उत्तर है (यहाँ तक कि केवल द्विदलीय 3-नियमित प्लानर मामले के लिए), तो आगे के अन्वेषण के योग्य कुछ दिलचस्प परिणाम होंगे। यदि एल्गोरिथ्म उप-घातीय है, तो यह अभी भी कुछ परिणाम (कम दिलचस्प, लेकिन फिर भी अधिक अन्वेषण के योग्य) होगा।

— जियोर्जियो कैमरानी

क्या आप अधिक विशिष्ट हो सकते हैं? "कुछ रोचक परिणाम" से आपका क्या अभिप्राय है? पहली बार में इस समस्या का सामना कैसे किया?

— टायसन विलियम्स

@ टायसनविल्स: क्या हम इस बातचीत को निजी तौर पर ई-मेल द्वारा जारी रख सकते हैं?

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 1

3-नियमित द्विदलीय प्लानर ग्राफ़ पर भी ODD EVEN DELTA समस्या # पी-हार्ड है।

चलो $\mathcal{C}$ एक सामान्य ग्राफ के शीर्ष कवर के सेट हो $G$। फिर मान लिया$G$ कोई अलग-अलग कोने नहीं हैं, निम्नलिखित समीकरण रखता है (सबूत के लिए उपरोक्त लेख देखें):

$$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$$

3-नियमित द्विदलीय प्लानर ग्राफ पर भी # शीर्ष-पूर्ण गणना कवर # पी-पूर्ण है, और यह एक ODD EVEN DELTA ऑरेकल को रैखिक संख्या में कॉल के साथ किया जा सकता है।

Answer 2

अपडेट करें:

मुझे ध्यान देना चाहिए कि नीचे का जवाब विशेष मामले के बारे में है $k = |V|$। चूंकि यह मामला कठिन है, सामान्य के लिए समस्या$k$ भी मुश्किल है।

होल्ट फ्रेमवर्क अनिवार्य रूप से फैले हुए सबग्राफ पर एक घातांक राशि है (यानी सबग्रिग सबग्राफ में मौजूद हैं, इसलिए योग किनारों के सबसेट के ऊपर है)। इसके विपरीत, प्रश्न का वर्तमान संस्करण बढ़त प्रेरित उपसमूहों के बारे में है।

इस सवाल के एक पुराने संस्करण में कुछ अलग-अलग वर्टिकल के साथ कुछ सबग्राफ की गिनती होती है। नीचे दिए गए उत्तर इस आवश्यकता को सही ढंग से संबोधित करते हैं। जब दोनों फैले हुए सबग्राफ (यानी होलेंट फ्रेमवर्क) पर विचार किया जाता है और कोई अलग-थलग कोने नहीं होते हैं, तो यह किनारे से प्रेरित सबग्राफ के साथ विचार करने के समान है।$|V|$कोने। ओपी ने मूल रूप से इस प्रश्न में बताया ।

3-नियमित प्लानर रेखांकन

फिलहाल, मैं आपकी आवश्यकता को अनदेखा कर दूंगा कि ग्राफ $G$ द्विदलीय है।

मान लो कि $G$एक 3-नियमित प्लानर ग्राफ है। आपकी समस्या को द्विदलीय प्लानर Holant समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$$

कैसे समझाऊं। नीचे दिए गए विवरण से अधिक विवरण के लिए, इस पेपर को देखें ।

होलंट किनारों पर एक योग (बुलियन) असाइनमेंट है। शीर्ष पर वे बाधाएं हैं जिनके इनपुट उनके घटना किनारों के असाइनमेंट हैं। किनारों को प्रत्येक असाइनमेंट के लिए, हम सभी शीर्ष अवरोधों के उत्पाद लेते हैं।

आपकी आवश्यकता है कि कोई अलग-थलग खड़ा न हो, वह बाधा है जो किसी विशेष शीर्ष पर संतुष्ट नहीं होती है यदि इसके किसी भी घटना किनारों का चयन नहीं किया जाता है और कम से कम एक किनारे चयनित होने पर संतुष्ट है। इस सममित अवरोध को [0,1,1,1] द्वारा निरूपित किया जाता है, जो इनपुट 1 की संख्या 0 होने पर 0 (यानी असंतुष्ट) को आउटपुट करता है (जब सबग्राफ में कोई घटना नहीं होती है) और आउटपुट 1 (यानी संतुष्ट) जब संख्या इनपुट 1 का 1, 2, या 3 (यानी 1, 2, या सबग्राफ में 3 घटना किनारों) है।

आपकी अन्य आवश्यकता एक समान संख्या में किनारों के साथ सबग्राफ की संख्या की गणना करने के लिए है, एक विषम संख्या में किनारों के साथ सबग्राफ को घटाता है। हमारे ग्राफ के लिए$G$, हम प्रत्येक किनारे को लंबाई 2 के पथ से प्रतिस्थापित करते हैं (जिसे 2-खिंचाव भी कहा जाता है $G$)। यह एक (2,3) -प्राप्त द्विपदी ग्राफ देता है। सभी मूल सिरों पर, हम ऊपर से कसना [0,1,1,1] निर्दिष्ट करते हैं। सभी नए सिरे तक, हम बाधा [1,0, -1] निर्दिष्ट करते हैं। चूँकि इस अवरोध की मध्य प्रविष्टि 0 है, यह इन डिग्री 2 कोने के घटना किनारों को या तो दोनों को 0 (यानी सबग्राफ में नहीं) या दोनों को 1 (सबग्राफ में) निर्दिष्ट किया जाता है। अब किनारों के लिए एक विशेष असाइनमेंट के लिए, यदि संख्या$n$ "मूल" किनारों के समान है, तो सभी डिग्री 2 कोने से योगदान है $(-1)^n = 1$। अन्यथा,$n$ विषम है और योगदान है $(-1)^n = -1$। यह वही है जो आप चाहते हैं।

इस पेपर में Theorem 6.1 द्वारा यह द्विदलीय Holant समस्या # P-hard है । हालांकि, यह प्रमेय लागू करने के लिए सबसे आसान नहीं है। इसके बजाय, निम्नलिखित पर विचार करें।

हम एक होलोग्राफिक परिवर्तन करते हैं $T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$जो होलेंट के मूल्य को नहीं बदलता है। इस प्रकार, उपरोक्त समस्या बिल्कुल वैसी ही है जैसी

$$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$$

फिर यह देखना आसान है कि यह समस्या इस पेपर में Theorem 1.1 द्वारा # पी-हार्ड है ।

Bipartite रेखांकन पर प्रतिबंध

अपने पिछले प्रश्न की तरह ही, द्विदलीय रेखांकन तक सीमित एक ही समस्या को संभालना बहुत कठिन है और मेरा मानना ​​है कि यह अभी भी एक खुली समस्या है। हमारे पास ट्रैक्टेबल मामलों के रूप में एक अनुमान है (और मैं यह देखने के लिए जांच करूंगा कि क्या आपकी समस्या उनमें से एक है), लेकिन मुझे लगता है कि आपकी समस्या अभी भी # पी-हार्ड है जब भी द्विदलीय ग्राफ तक सीमित है।

Comments

इस प्रश्न के लिए अपना समय समर्पित करने और इस तरह के एक विस्तृत जवाब देने के लिए धन्यवाद। होलेंट फ्रेमवर्क से परिचित नहीं होने के कारण, मुझे इसे पार्स करने के लिए और अपने तर्क को पूरी तरह से मेटाबोलाइज करने के लिए कुछ समय की आवश्यकता होगी (बेशक मुझे इसकी शुद्धता पर कोई संदेह नहीं है, यह सिर्फ इतना है कि मैं हर कदम को समझना चाहता हूं, केवल निष्कर्ष नहीं) । द्विदलीय प्रतिबंध की चिंताओं के लिए, हाँ यह वास्तव में अच्छा होगा यदि आप जांच सकते हैं कि क्या आपके ट्रैक्टेबल मामले मेरी समस्या को शामिल करते हैं।

— जियोर्जियो कैमरानी