बाउंडेड वैलेंस ग्राफ के लिए ग्राफ आइसोमोर्फिज्म का कोमल परिचय

Question

मैं ग्राफ़ की उन कक्षाओं के बारे में पढ़ रहा हूँ जिनके लिए ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म ( ) P में है । इस तरह के एक मामले के रूप में यहाँ बताया गया है कि बाध्यता (प्रत्येक शीर्ष की अधिकतम डिग्री) का ग्राफ है । लेकिन मुझे यह बहुत सार लगा। मैं आभारी रहूंगा अगर कोई मुझे एक्सपोजिटरी प्रकृति के कुछ संदर्भ सुझा सकता है। मेरे पास समूह सिद्धांत में मजबूत पृष्ठभूमि नहीं है, इसलिए मैं ऐसे कागजात पसंद करूंगा जो समूह सिद्धांत का उपयोग सौम्य तरीके से करें (मेरी पृष्ठभूमि सीएस में है)।$GI$$P$

Comments

मेरे पास पुस्तक (दुर्भाग्य से) नहीं है, लेकिन द ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म प्रॉब्लम: इट्स स्ट्रक्चरल कॉम्प्लेक्सिटी बाय जोहान्स कोबलर, उवे स्कोनिंग और जैकब टोरान के पास बाध्य डिग्री के मामले के लिए एक प्रमाण हो सकता है। आप इसे जांचना चाह सकते हैं।

— त्सुयोशी इतो

@TsuyoshiIto: जबकि यह एक उत्कृष्ट पुस्तक है जो जीआई को एक अच्छा परिचय देता है और सामान्य संरचनात्मक जटिलता का एक अच्छा सा है, यह बाध्य डिग्री मामले के बारे में बहुत कुछ (अगर कुछ भी) शामिल नहीं करता है। मैं बंधे हुए डिग्री मामले के एक सौम्य परिचय के बारे में नहीं जानता, लेकिन यह इतने गहन रूप से समूह के सिद्धांत से बंधा हुआ है कि मुझे संदेह है कि एक प्रदर्शनी है जो समूह सिद्धांत का उपयोग करता है "केवल धीरे से" (जैसा कि ओपी द्वारा अनुरोध किया गया है)।

— जोशुआ ग्रूको

मैं एक अवलोकन देने के लिए उत्सुक हूं, मैं जल्द ही ऐसा करूंगा!

— जिम

Answer 1

बाउंड-डिग्री ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के लिए एल्गोरिथ्म इतनी बारीकी से (क्रमपरिवर्तन) समूह सिद्धांत से बंधा हुआ है कि मुझे संदेह है कि एक परिचय है जो समूहों का उपयोग करता है "केवल धीरे से।" हालांकि, आप पाओलो कोडेनोटी के पीएचडी से परामर्श कर सकते हैं । अधिक पूर्ण पृष्ठभूमि के लिए थीसिस । वह बाउंड-डिग्री ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म को ठीक से कवर नहीं करता है, लेकिन इसके लिए आवश्यक टूल को कवर करता है (और बाकी थीसिस बाउंड-रैंक हाइपरग्राफ के बारे में है, सामान्य ग्राफ़ इस्मोर्फिज्म के लिए सर्वश्रेष्ठ ज्ञात एल्गोरिदम को बाध्य-रैंक हाइपरग्राफ केस में विस्तारित करता है) ।

आपको पुस्तक समूह-थ्योरेटिक एल्गोरिदम और ग्राफ आइसोमोर्फिज्म उपयोगी भी लग सकती है , क्योंकि इसमें अधिकांश पृष्ठभूमि आवश्यक है (अध्याय 2, "मूल अवधारणा", 47 पृष्ठ है) और प्रकाशित पत्रों के अधिकांश की तुलना में बहुत अधिक इत्मीनान से प्रदर्शनी है। विषय।

Answer 2

संकेतन: Let ग्राफ, हो ई = ( v 1 , वी 2 ) की बढ़त एक्स । वर्टेक्स सेट V k , e से दूरी k के शीर्षों का सेट है , और h को X की ऊंचाई माना जाता है ।$X = (V,E)$$e = (v_1, v_2)$$X$$V_k$$k$$e$$h$$X$

की परिभाषा के अनुसार , वी = वी 0 ∪ वी 1 ... वी एच और वी ( ज + 1 ) = ∅ । चलो, सबसेट ई कश्मीर के किनारों का एक्स ( 0 ≤ कश्मीर ≤ ज ) में परिभाषित किया गया है जैसे-$V_k$$V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$$V_{(h+1)}= \emptyset$$E_k$$X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

उपसमूह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-$X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

उदाहरण के लिए, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

ग्राफ X का ऑटोमोर्फिज़्म समूह हैजहाँ e को ठीक किया जाता है। तो बी के एक उत्पादन सेट है एक यू टी ई ( एक्स कश्मीर ) , हम लिख ⟨ बी ⟩ = एक यू टी ई ( एक्स कश्मीर ) , उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि एक यू टी ई ( एक्स 0 ) = ⟨ ( v 1 , वी $Aut_e(X)$$X$$e$$B$$Aut_e(X_k)$$\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ जहां ( वी 1 , वी 2 ) एक्स के v 1 , वी 2 केक्रमपरिवर्तन है$Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$$(v_1,v_2)$$v_1, v_2$$X$ ।

के ऑटोमोर्फिज्म समूह के निर्माण के सिद्धांत का निर्माण एक जीआई (ग्राफ आइसोमोर्फिज्म) पूर्ण समस्या है [1]। इसलिए, यदि हम X के ऑटोमोर्फिज्म समूह (जो बहुपद समय में वैधता की सीमा तय कर चुके हैं) के सेट की गणना कर सकते हैं, तो हम बहुपद समय में GI को हल कर सकते हैं। इसलिए, हम A u t e ( X ) निर्धारित करना चाहते हैं$X$$X$$Aut_e(X)$ ।

तकनीक:

$X_0, X_1..... X_h$$X_k$$Aut_e(X_{(k)})$

$Aut_e(X_{(k) })$$Aut_e(X_{(k+1)})$.

So, generators of $Aut_e(X_{(k+1)})$ can be obtained from generators for $Aut_e(X_{k})$.

To construct generator, structure-type of $E_k$ is manipulated. The structure-type of $E_k$ can be divided into finite classes. For example, in the trivalent case, there are only six type (only five of those cases can actually occur).

We will classify the edges in $E_k$ into types and will group them into families . This helps to create a number of unique labels.

For a fixed valence, the number of labels is small. At this point, we use the concept of setwise-stabilizers to find permutations which acts on particular label. In the process, we find the generator of $Aut_e(X_{(k) })$. Then, we use the generator of$Aut_e(X_{(k) })$ to find the generator of $Aut_e(X_{(k+1) })$, as stated earlier. Proceeding in this manner, we obtain, $Aut_e(X)$ .

Comments

[1]Mathon, Rudolf. ,A note on the graph isomorphism counting problem, Inform. Process. Lett. 8 (1979), no. 3, 131–132.

— Jim