यह तय करना कि क्या एक एन.सी.

Question

मैं प्रश्न के एक विशेष मामले के बारे में पूछना चाहता हूं " यदि किसी नेकां ⁰ सर्किट एक अनुमेयता की गणना करता है तो यह निर्णय लेना " क्यूईचेंग द्वारा अनुत्तरित छोड़ दिया गया है।

बूलियन सर्किट को NC ⁰ _k सर्किट कहा जाता है, यदि प्रत्येक आउटपुट गेट सिंटैक्टिक रूप से अधिकांश k इनपुट गेटों पर निर्भर करता है । (हम कहते हैं कि एक निर्गम द्वार छ वाक्य रचना पर निर्भर करता है एक इनपुट गेट जी 'जब वहाँ से एक निर्देशित मार्ग है जी ' के लिए जी सर्किट के रूप में एक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ के रूप में देखा है।)

उपरोक्त प्रश्न में, क्यूसीएन्ग ने निम्नलिखित समस्या की जटिलता के बारे में पूछा, जहां कश्मीर एक स्थिर है:

उदाहरण : एक NC ⁰ _k सर्किट के साथ n -bit इनपुट और n -bit आउटपुट।
प्रश्न : क्या दी गई परिपथ {0, 1} ⁿ पर क्रमचय की गणना करता है ? दूसरे शब्दों में, सर्किट द्वारा एक फंक्शन की गणना {0, 1} ⁿ से {0, 1} ^{n तक होती है} ?

जैसा कि केव ने उस सवाल पर टिप्पणी की, यह देखना आसान है कि समस्या coNP में है। एक जवाब में, मैंने दिखाया कि समस्या k = 5 के लिए coNP-complete है और यह P के लिए k = 2 में है।

प्रश्न । K = 3 की जटिलता क्या है ?

29 मई, 2013 को स्पष्टता: "{0, 1} ⁿ " पर एक क्रमपरिवर्तन का अर्थ है {0, 1} ⁿ से स्वयं के लिए एक विशेषण मानचित्रण । दूसरे शब्दों में, समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक एन -बिट स्ट्रिंग कुछ एन -बिट इनपुट स्ट्रिंग के लिए दिए गए सर्किट का आउटपुट है ।

Comments

व्यक्तिगत टिप्पणी: जब मैंने क्यूकेंग के प्रश्न का उत्तर पोस्ट किया, तो मैंने ऐसा सिर्फ इसलिए किया क्योंकि समस्या दिलचस्प थी, बिना किसी विशेष आवेदन को ध्यान में रखे। उसके कई महीनों बाद, मैं एक ऐसी स्थिति में हुआ, जहाँ मुझे किसी को यह समझाना पड़ा कि यह तय करना तुच्छ से बहुत दूर है कि कोई दिया गया कार्यक्रम क्रमोन्नति की गणना करता है या नहीं। QiCheng के सवाल के लिए धन्यवाद, मेरे पास एक आदर्श उदाहरण था (क्या संयोग है!)। उसके बाद, मैं k = 3 और k = 4 के मामलों के बारे में अधिक उत्सुक हो गया। मुझे संदेह है कि k = 3 का मामला पहले से ही coNP- पूर्ण है, लेकिन मैं किसी भी तरह से साबित नहीं कर पाया हूं।

— त्सुयोशी इतो

यह समस्या Papadimitriou ( scoubleirect.com/science/article/pii/S0022000005800637 ) द्वारा परिभाषित पीजोनहोल सर्किट समस्या का एक विशेष मामला प्रतीत होता है, जो खोज समस्याओं के बीच पॉली-टाइम कटौती के संबंध में पीपीपी के लिए पूर्ण है।

— मार्कोस विलगरा

@Marcos Villagra: टिप्पणी के लिए धन्यवाद, लेकिन मुझे डर है कि "विशेष रूप से मामला" कहकर, आप कबूतर सर्किट समस्या की परिभाषा को महत्वपूर्ण रूप से बदल रहे हैं। पिजनहोल सर्किट समस्या की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि यह कुल खोज समस्या है, जबकि वर्तमान समस्या (दो इनपुट के लिए खोज समस्या के रूप में देखी जाती है जो एक ही आउटपुट का उत्पादन करती है) कुल खोज समस्या नहीं है।

— त्सुशी जोतो

Answer 1

साथ यह समस्या coNP- हार्ड (और इसलिए coNP- पूर्ण) है।$k=3$

यह साबित करने के लिए, मैं इस समस्या के पूरक के लिए 3-SAT से कम कर दूंगा (दिए गए सर्किट के लिए, सर्किट एक गैर-विशेषण फ़ंक्शन को लागू करता है)।$NC_3^0$

पहले एक प्रारंभिक परिभाषा जो सहायक होगी:

हम एक लेबल ग्राफ को एक निर्देशित ग्राफ होने के लिए परिभाषित करते हैं, जिनके कुछ किनारों को शाब्दिक रूप से लेबल किया जाता है, इस संपत्ति के साथ कि प्रत्येक शीर्ष पर एक या तो एक आने वाली बढ़त होती है, एक आने वाले किनारे पर लेबल होती है, या दो बिना लेबल वाले आने वाले किनारे होते हैं।

कमी

मान लीजिए कि हमारे पास 3-सैट का फॉर्मूला है, जिसमें एम शामिल है , जिनमें से प्रत्येक में तीन लीटर हैं। पहला कदम ϕ से एक लेबल ग्राफ जी का निर्माण करना है । इस लेबल के ग्राफ में निम्नलिखित गैजेट की एक प्रति है () भयानक आरेख के लिए खेद है) ϕ में प्रत्येक खंड के लिए । L1, L2 और L3 के लेबल वाले तीन किनारों को खंड में शाब्दिक रूप से लेबल किया गया है।$\phi$$m$$G$$\phi$$\phi$

   |
   |               |
   |               |
   |               O<-----\
   |               ^      |
   |               |      |
   |               |      |
   |        /----->O      |
   |        |      ^      |
   |        |      |      |
   |        |      |      |
   |        O      O      O
   |        ^      ^      ^
   |        |      |      |
   |        |L1    |L2    |L3
   |        |      |      |
   |        O      O      O
   |        ^      ^      ^
   |        |      |      |
   |        |      |      |
   |        \------O------/
   |               ^
   |               |
   |               |
   |               O
   |               ^
   |               |
   |

गैजेट (प्रत्येक क्लॉज के लिए एक) सभी एक बड़े चक्र में व्यवस्थित होते हैं, जिसमें एक गैजेट के निचले हिस्से को अगले के शीर्ष से जोड़ा जाता है।

ध्यान दें कि गैजेट की यह व्यवस्था वास्तव में एक लेबल ग्राफ का निर्माण करती है (प्रत्येक शीर्ष में 1 या 2 है, जिसमें केवल किनारों के साथ ही 1 इंद्री के लेबल तक ले जाया जा सकता है)।

सूत्र से और लेबल ग्राफ जी (जिसमें से निर्माण किया गया था φ ) हम अगले एक का निर्माण एन सी 0 3 सर्किट (इस कमी समाप्त होगा)। इस सर्किट के लिए इनपुट और आउटपुट की संख्या n + v है जहां n ϕ में चर की संख्या है और v , G में वर्टिस की संख्या है । एक इनपुट और एक उत्पादन में प्रत्येक चर को असाइन किया गया φ और में प्रत्येक शीर्ष करने के लिए जी । तो एक्स में कुछ चर रहा है $\phi$$G$$\phi$$NC_3^0$$n+v$$n$$\phi$$v$$G$$\phi$$G$$x$$\phi$फिर हम के साथ जुड़े इनपुट और आउटपुट बिट्स को x i n और x o u t के रूप में संदर्भित करेंगे । इसके अलावा, यदि एल के साथ एक शाब्दिक है एल = एक्स तो हम परिभाषित एल मैं n = एक्स मैं n और यदि एल के साथ एक शाब्दिक है एल = ¬ एक्स तो हम परिभाषित एल मैं n = ¬ एक्स मैं एन । अंत में, यदि v , G में कुछ शीर्ष है$x$$x_{in}$$x_{out}$$l$$l = x$$l_{in} = x_{in}$$l$$l = \neg x$$l_{in} = \neg x_{in}$$v$$G$फिर हम साथ जुड़े इनपुट और आउटपुट बिट्स के पास भेजेगा के रूप में वी मैं n और वी ओ यू टी ।$v$$v_{in}$$v_{out}$

चार प्रकार के आउटपुट बिट्स हैं:

1) हर चर के लिए में φ , एक्स ओ यू टी = एक्स मैं एन । ध्यान दें कि यह आउटपुट केवल एक इनपुट बिट पर निर्भर करता है।$x$$\phi$$x_{out} = x_{in}$

2) हर शिखर के लिए ठीक एक आने वाली बढ़त के साथ लेबल ग्राफ में ( यू , वी ) ऐसी है कि धार लेबल नहीं किया गया है, वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ यू मैं एन । ध्यान दें कि यह आउटपुट केवल दो इनपुट बिट्स पर निर्भर करता है।$v$$(u, v)$$v_{out} = v_{in} \oplus u_{in}$

3) हर शिखर के लिए ठीक एक आने वाली बढ़त के साथ लेबल ग्राफ में ( यू , वी ) ऐसी है कि धार लेबल किया गया है एल , वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∧ एल मैं n ) । ध्यान दें कि यह आउटपुट केवल तीन इनपुट बिट्स पर निर्भर करता है क्योंकि l i n केवल x i n पर निर्भर करता है जो कि शाब्दिक l में चर x का उपयोग किया जाता है ।$v$$(u, v)$$l$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l_{in})$$l_{in}$$x_{in}$$x$$l$

4) हर शिखर के लिए ठीक दो भेजे किनारों के साथ लेबल ग्राफ में ( यू , वी ) और ( डब्ल्यू , वी ) , वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∨ डब्ल्यू मैं n ) । ध्यान दें कि यह आउटपुट केवल तीन इनपुट बिट्स पर निर्भर करता है।$v$$(u, v)$$(w, v)$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in})$

चूंकि सभी मामलों में आउटपुट केवल तीन इनपुट पर निर्भर करता है, हम जो सर्किट बनाते हैं वह वांछित के रूप में में है।$NC_3^0$

शुद्धता सबूत मामले 1: संतुष्टि योग्य है$\phi$

मान लीजिए के लिए एक संतोषजनक काम वहां मौजूद । फिर इनपुट्स के लिए मूल्यों के निम्नलिखित दो सेटों का निर्माण करें।$\phi$

1) के चर के साथ जुड़े आदानों संतोषजनक काम के मूल्यों दिया जाता है। G के कोने से जुड़े सभी इनपुट को मान 0 दिया गया है।$\phi$$G$

2) के चर के साथ जुड़े आदानों संतोषजनक काम के मूल्यों दिया जाता है। जी में एक क्लॉज गैजेट में कोने पर विचार करें । यदि किसी लेबल का मान 0 है (संतोषजनक असाइनमेंट के तहत), तो उस लेबल के साथ लेबल किए गए किनारे के लक्ष्य समापन बिंदु पर शीर्ष के साथ जुड़े इनपुट को 0. का मान दिया जाता है। यदि L1 और L2 दोनों का मान 0 है तो दूसरा -गैजेट में शीर्ष शीर्ष (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है) को 0. का मान भी दिया गया है। अन्य सभी शीर्षों को 1 का मान दिया गया है।$\phi$$G$

हम यह दिखाना चाहते हैं कि इनपुट के इन दो सेटों में समान आउटपुट मिलते हैं और इसलिए सर्किट एक क्रमांकन को एन्कोड नहीं करता है।$NC_3^0$

चार प्रकार के आउटपुट बिट्स पर विचार करें:

1) हर चर के लिए में φ , एक्स ओ यू टी = एक्स मैं एन । चूंकि x i n इनपुट के दोनों सेट के लिए समान है, इस फॉर्म के आउटपुट हमेशा इनपुट के दो सेट में समान होंगे।$x$$\phi$$x_{out} = x_{in}$$x_{in}$

2) हर शिखर के लिए ठीक एक आने वाली बढ़त के साथ लेबल ग्राफ में ( यू , वी ) ऐसी है कि धार लेबल नहीं किया गया है, वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ यू मैं एन । गैजेट की जांच करना जिसकी प्रतियां जी बनाती हैं , हम देखते हैं कि ऐसे सभी किनारों में केवल जोड़े के जोड़ होते हैं जिनके इनपुट मान हमेशा इनपुट के दूसरे सेट के तहत 1s होते हैं। इस प्रकार v ओ यू टी = वी मैं n ⊕ यू मैं n = 0 ⊕ 0 $v$$(u, v)$$v_{out} = v_{in} \oplus u_{in}$$G$ आदानों का पहला सेट के तहत और वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ यू मैं n = 1 ⊕ 1 = 0 आदानों के दूसरे सेट के तहत। इस प्रकार इनपुट के दो सेटों में इस फॉर्म के आउटपुट हमेशा समान (और वास्तव में शून्य) होंगे।$v_{out} = v_{in} \oplus u_{in} = 0 \oplus 0 = 0$$v_{out} = v_{in} \oplus u_{in} = 1 \oplus 1 = 0$

3) हर शिखर के लिए ठीक एक आने वाली बढ़त के साथ लेबल ग्राफ में ( यू , वी ) ऐसी है कि धार लेबल किया गया है एल , वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∧ एल ) । यदि l असाइनमेंट के तहत गलत है, तो v i n 0 इनपुट के दोनों सेट के तहत है; तब वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n$v$$(u, v)$$l$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l)$$l$$v_{in}$ आदानों के दोनों सेट के तहत। यदिअसाइनमेंट के तहत एल सही है, तो v i n इनपुट के पहले सेट के तहत 0 और दूसरे के नीचे 1 है; यह भी ध्यान दें कि गैजेट में, केवल लेबल किए गए किनारों ( u , v ) में वर्टीकल u होता है, जिसमें हमेशा u i n = $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l) = v_{in} \oplus (u_{in} \land 0) = v_{in} = 0$$l$$v_{in}$$(u, v)$$u$$u_{in} = 1$आदानों के दूसरे सेट के तहत। परिणामस्वरूप हम देखते हैं कि इनपुट्स के दोनों सेटों के तहत, जब भी मैं सच होता हूं , तो ; तब वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∧ एल ) = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∧ 1 ) = वी मैं n ⊕ यू मैं n = वी मैं n ⊕ $u_{in} = v_{in}$$l$। इस प्रकार इनपुट के दो सेटों में इस फॉर्म के आउटपुट हमेशा (और वास्तव में शून्य) समान रहेंगे।$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l) = v_{in} \oplus (u_{in} \land 1) = v_{in} \oplus u_{in} = v_{in} \oplus v_{in} = 0$

4) हर शिखर के लिए ठीक दो भेजे किनारों के साथ लेबल ग्राफ में ( यू , वी ) और ( डब्ल्यू , वी ) , वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∨ डब्ल्यू मैं n ) । प्रत्येक गैजेट में दो ऐसे वर्टिकल होते हैं। शीर्ष शीर्ष और दूसरा-शीर्ष शीर्ष से। हम उन दो मामलों पर अलग से विचार करते हैं।$v$$(u, v)$$(w, v)$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in})$

4a) जब किसी गैजेट में दूसरा शीर्ष शीर्ष है, तो u और w L1 और L2 लेबल वाले किनारों के दो लक्ष्य अंत बिंदु हैं। आदानों के पहले सेट के तहत, वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∨ डब्ल्यू मैं n ) = 0 ⊕ ( 0 ∨ 0 ) = 0 । आदानों के दूसरे सेट के तहत, यू मैं एन एल 1 iff 0 (संतोषजनक काम के तहत मान 0 है उर्फ है यू मैं n$v$$u$$w$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = 0 \oplus (0 \lor 0) = 0$$u_{in}$ ); इसी तरह, w i n 0 है, यदि संतोषजनक असाइनमेंट के तहत L 0 का मान 0 है (aka w i n = L 2 ); और अंत में, वी मैं n परिभाषित किया गया है होना करने के लिए 0 iff दोनों L1 और L2 मान 0 है (उर्फ v मैं n = एल 1 ∨ एल 2 )। इस प्रकार आदानों के दूसरे सेट के तहत, वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∨ डब्ल्यू मैं n ) = $u_{in} = L1$$w_{in}$$w_{in} = L2$$v_{in}$$v_{in} = L1 \lor L2$ । इस प्रकार इनपुट के दो सेटों में इस फॉर्म के आउटपुट हमेशा समान (और वास्तव में शून्य) होंगे।$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = (L1 \lor L2) \oplus (L1 \lor L2) = 0$

4 बी) जब किसी गैजेट में शीर्ष शीर्ष पर होता है, तो u दूसरा शीर्ष शीर्ष शीर्ष होता है और w L3 नामक किनारे का लक्ष्य समापन बिंदु होता है। आदानों के पहले सेट के तहत, वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∨ डब्ल्यू मैं n ) = 0 ⊕ ( 0 ∨ 0 ) = 0 । इनपुट के दूसरे सेट के तहत, u i n 0 है, यदि L1 और L2 दोनों का मान 0 है (aka u i n = $v$$u$$w$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = 0 \oplus (0 \lor 0) = 0$$u_{in}$ ); w i n 0 है, अगर if L3 का मान 0 है (aka w i n = L 3 ); और अंत में v i n = 1 । इस प्रकार आदानों के दूसरे सेट के तहत, वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∨ डब्ल्यू मैं n ) = 1 ⊕ ( ( एल 1 ∨ एल 2 ) ∨ एल 3 $u_{in} = L1 \lor L2$$w_{in}$$w_{in} = L3$$v_{in} = 1$ , जहां समानता ( एल 1 ∨ एल 2 ∨ एल 3 ) = 1 हर खंड के लिए एक संतोषजनक काम में परिभाषा द्वारा आयोजित करता है। इस प्रकार इनपुट के दो सेटों में इस फॉर्म के आउटपुट हमेशा (और वास्तव में शून्य) समान रहेंगे।$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = 1 \oplus ((L1 \lor L2) \lor L3) = 1 \oplus (L1 \lor L2 \lor L3) = 1 \oplus 1 = 0$$(L1 \lor L2 \lor L3) = 1$

स्पष्ट रूप से, हम देखते हैं कि आउटपुट इनपुट के दो अलग-अलग सेटों के लिए समान हैं और इसलिए सर्किट एक गैर-विशेषण फ़ंक्शन को लागू करता है।$NC_3^0$

सुधार प्रमाण मामला 2: असंतोषजनक है$\phi$

मान लीजिए कि अब लिए कोई संतोषजनक कार्य मौजूद नहीं है । फिर विरोधाभास के लिए मान लें कि इनपुट के कुछ दो अलग-अलग सेटों में N C 0 3 सर्किट समान आउटपुट वाले होते हैं।$\phi$$NC_3^0$

जाहिर है, दो आदानों के लिए एक ही मान होना आवश्यक है हर चर के लिए एक्स में φ । इस प्रकार अब हम स्पष्ट रूप से x के मान को संदर्भित कर सकते हैं ।$x_{in}$$x$$\phi$$x$

परिभाषित करें कोने के सेट होने के लिए v में जी ऐसा है कि वी मैं n इनपुट मानों के दो सेट में अलग है।$S$$v$$G$$v_{in}$

हम नीचे दिए गए नींबू को साबित करेंगे:

लेम्मा 1: कुछ गैजेट में लेबल किनारों का लक्ष्य अंतिम बिंदु पर सभी तीन कोने में नहीं हैं तो गैजेट में उन तीन के ऊपर कोई कोने में हैं एस ।$S$$S$

लेम्मा 2: यदि कुछ गैजेट में शीर्ष शीर्ष में नहीं है, तो अगले गैजेट में S में कोई शीर्ष नहीं है ।$S$$S$

के बाद से गैजेट एक पाश फार्म इससे यह संकेत मिलता है कि अगर किसी भी गैजेट में लेबल किनारों का लक्ष्य अंतिम बिंदु पर सभी तीन कोने में नहीं हैं तो में कोई शिखर जी में है एस (दूसरे शब्दों में एस खाली है)।$S$$G$$S$$S$

हालांकि, एक खंड के साथ जुड़े एक गैजेट पर विचार कि संतुष्ट नहीं है। इस गैजेट में सभी तीन लेबल मूल्य 0. है हम उस किनारे पता ( यू , वी ) लेबल एल को पूरा करना चाहिए वी ओ यू टी = वी मैं n ⊕ ( यू मैं n ∧ एल ) , लेकिन एल = 0 , तो वी ओ यू टी = v i $(L1 \lor L2 \lor L3)$$(u, v)$$L$$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land L)$$L = 0$ । इस प्रकार चूंकि आउटपुट दोनों इनपुट के लिए समान है, v i n का मानभी इनपुट के दो सेटों में समान होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, हमने दिखाया है कि v , S में नहीं है। इस प्रकार हम देखते हैं कि इस विशेष गैजेट में, लेबल किनारों के लक्ष्य अंत बिंदु पर तीन कोने S में नहीं हैं।$v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land L) = v_{in} \oplus (u_{in} \land 0) = v_{in} \oplus 0 = v_{in}$$v_{in}$$v$$S$$S$

नतीजतन, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि खाली है। हालांकि, इसका तात्पर्य है कि इनपुट के दो सेटों के बीच, कोई अंतर नहीं थे, जो इस धारणा का खंडन करता है कि ये इनपुट सेट अलग हैं। नतीजतन, हम देखते हैं कि एन सी 0 3 सर्किट द्वारा अधिनियमित किया गया कार्य इंजेक्टिव है और इसलिए एक आपत्ति है।$S$$NC_3^0$

सब छोड़ दिया है कि नींबू साबित करना है।

ऐसा करने के लिए, हम ध्यान दें कि में प्रत्येक प्रकार के शीर्ष के लिए (लेबल के साथ indegree 1, लेबल के बिना indegree 1, और indegree 2), यदि सभी आवक किनारों में कोने से नहीं S से आते हैं, तो प्रश्न में शीर्ष भी S में नहीं है। । इसका कारण यह है में सभी तीन मामलों v ओ यू टी = वी मैं n ⊕ एक्स जहां एक्स चर और / या करने के लिए किनारों के साथ कोने के साथ जुड़े आदानों की कुछ कार्य है v । चूँकि इस तरह के सभी कोने अनुमान के अनुसार S में नहीं हैं , X का मान इनपुट के दोनों सेट के तहत समान होना चाहिए। इसलिए v $G$$S$$S$$v_{out} = v_{in} \oplus X$$X$$v$$S$$X$भी आदानों के दोनों सेट के तहत एक ही है। दूसरे शब्दों मेंv,Sमें नहीं है।$v_{in} = v_{out} \oplus X$$v$$S$

अब जब हमारे पास यह नियम है कि एक शीर्ष में नहीं है, जब भी उसके पूर्ववर्ती सभी S में नहीं हैं , तो नींबू केवल ऊपर दिए गए गैजेट आरेख में नियम को बार-बार लागू करके अनुसरण करते हैं।$S$$S$

Answer 2

जवाब नहीं जो लेखक चाह रहा था, टिप्पणियों को देखें जो स्पष्ट करते हैं कि इस संदर्भ में "क्रमचय" क्या है।

मैंने मोनोजेनिक परमूटेशन ग्रुप इंक्लूजन डग के लिए न्यूनतम वर्चस्व सेट के आकार को क्रैंक किया: https://oeis.org/A186202

आपको बस इतना करना है कि प्रत्येक प्राइम साइकल अपघटन के एक सदस्य का परीक्षण करें।

प्रत्येक मुख्य चक्र के लिए तत्वों को (10101010 ...) के रूप में कोड करना पर्याप्त होना चाहिए, फिर (01010101 ..)?

------ स्पष्टीकरण ------ इस दृष्टिकोण का लक्ष्य एक डिग्राफ के रूप में आपके २ ^ n परीक्षण मामलों को मॉडल करना है। यदि एक सक्सेसफुल टेस्ट केस का मतलब दूसरे सक्सेसफुल टेस्ट केस से है, तो आपको केवल इस टेस्ट स्पेस ट्रैक के मिन डोमिनेटिंग सेट को टेस्ट करना होगा। क्रमपरिवर्तन के स्थान में OEIS A186202 वह अधिकतम है जिसे आपको या तो गैर-तुच्छ उपसमूह का पता लगाने के लिए परीक्षण करना होगा या साबित करना होगा कि कोई मौजूद नहीं है; यह संख्या अभी भी बड़ी है, लेकिन n से बहुत छोटी है।

--Muse-- n-1 शून्य और 1 पुनरावृत्तियों में से एक का उपयोग करके आप निर्धारित क्रमचय का पता लगा सकते हैं जिसे आप खोज रहे हैं। उसके बाद O (n {(n-1) \ choose (k-1)} (2 ^ (k-1)) में आप परीक्षण कर सकते हैं कि (k-1) चर का प्रत्येक सेट फेरबदल के प्रत्येक सूचकांक को प्रभावित नहीं करता है । चूँकि k निश्चित है कि बहुपद है। क्या मुझे कुछ याद आ रहा है?

Comments

हम्म। निश्चित नहीं है अगर (01) *, (10) * पर्याप्त है। आपको प्रत्येक मुख्य चक्र के लिए सभी 2 ^ p विन्यास की कोशिश करनी पड़ सकती है।

— चाड ब्रेवबेकर

क्षमा करें, चाड, आपने मुझे खो दिया। आप जानते हैं कि यह सवाल पूछ रहा है कि क्या फ़ंक्शन विशेषण है? (वहाँ कर रहे हैं ! इस तरह के bijective कार्यों।) यह नहीं पूछ रहा है कि आउटपुट बिट इनपुट बिट्स के क्रमपरिवर्तन (पुन: आदेश) कर रहे हैं - यह एक बहुत आसान समस्या है, जो केवल सर्किट चलाकर जवाब दिया जा सकता है n - 1 शून्य और 1 एक के साथ सभी संभावित इनपुट पर । $(2^n)!$$n-1$$1$

— डीडब्ल्यू

चाड, हाँ, मुझे विश्वास है कि आप कुछ याद कर रहे होंगे। पोस्टर पूछ रहा है कि क्या फ़ंक्शन एक जीवनात्मक फ़ंक्शन है (यानी, x मौजूद नहीं है , x ′ whether { 0 , 1 } n ऐसा है कि C ( x ) = सी ( एक्स ' ) और एक्स ≠ एक्स ' )। वह / वह नहीं पूछ रही है कि क्या फ़ंक्शन $C:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$x,x' \in \{0,1\}^n$$C(x)=C(x')$$x \ne x'$$C$इनपुट बिट्स को अनुमति देता है (फेरबदल / पुनः व्यवस्था / पुनः आदेश)। आपको फर्क दिखता हैं? मुझे संदेह है कि आप गलत प्रश्न का उत्तर दे रहे हैं।

— डीडब्ल्यू

मदद करने की कोशिश करने के लिए धन्यवाद, लेकिन जैसा कि डीडब्ल्यू ने समझाया, मुझे डर है कि आपने जो सवाल किया है वह मेरे द्वारा पूछे गए सवाल से अलग है। "{0,1} ^ n" पर एक क्रमपरिवर्तन का अर्थ है {0,1} ^ एन से स्वयं के लिए एक विशेषण फ़ंक्शन, और इसका मतलब एन बिट्स को पुन: व्यवस्थित करना नहीं है।

— त्सुयोशी इतो

चाड, क्या आप इस उत्तर को हटाने या कम से कम एक नोट को शीर्ष पर जोड़ने का मन बना रहे हैं, जो कि त्सुयोशी के प्रश्न का उत्तर नहीं दे रहा है?

— केव