यदि किसी दिए गए सर्किट तय करना एक क्रमचय की गणना करता है

यह तय करने की जटिलता क्या है कि क्या क्रमचय की गणना इनपुट बिट्स और आउटपुट बिट्स के साथ ? दूसरे शब्दों में, क्या प्रत्येक बिट में कुछ इनपुट के लिए सर्किट का आउटपुट है? यह एक समस्या की तरह दिखता है जिसका अध्ययन किया गया है, लेकिन मुझे कोई संदर्भ नहीं मिल रहा है। $\mathsf{NC}^0$ $n$ $n$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$

cc.complexity-theory circuit-complexity permutations

— Qicheng
स्रोत

स्पष्ट बाउंड is जो लिए भी काम करता है (जाँच करें कि क्या फ़ंक्शन गया है)।

c o N P

$\mathsf{coNP}$

P

$\mathsf{P}$

— केवह

"NC0 सर्किट" से आपका क्या तात्पर्य है? सामान्य वाक्यांश "NC0 सर्किट का परिवार" है, जो (शायद दुर्भाग्य से) अक्सर "NC0 सर्किट" के लिए संक्षिप्त है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि आप अपने प्रश्न में सर्किट के NC0 परिवार का मतलब है।

— त्सुयोशी इतो

द्वारा एक सर्किट, मेरा मतलब है कि सर्किट के हर उत्पादन बिट इनपुट बिट्स की लगातार संख्या पर केवल निर्भर करता है।

N C^{0}

$NC^0$

— ०32:३२ पर

हां मैं एक परिवार के बारे में पूछ रहा हूं। चीजों को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आप से बदल सकते हैं, जहां परिवार में प्रत्येक आउटपुट बिट केवल इनपुट बिट्स पर निर्भर करता है।

N C^{0}

$NC^0$

N C_{5}^{0}

$NC_5^0$

5

$5$

— ६:४

यह आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, लेकिन यदि समस्या को सामान्यीकृत किया जाता है ताकि प्रत्येक आउटपुट बिट को O (लॉग एन) इनपुट बिट्स पर निर्भर होने की अनुमति मिल जाए, तो मुझे लगता है कि समस्या ट्यूरिंग रिड्यूसबिलिटी के तहत सह-पूर्ण है। यह दो-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा में प्रत्येक कोशिका का प्रतिनिधित्व करते हुए O (लॉग एन) -बिट बाइनरी स्ट्रिंग के रूप में प्रत्येक कोशिका का प्रतिनिधित्व करके दो-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा ( डूरंड 1994 ) के परिमित प्रतिवर्तीता के सह-संचालन से होता है।

— त्सुकोशी इतो

कठोरता

प्रश्न पर आपकी टिप्पणी के बाद, हम एक सर्किट को कॉल करेंगे जहां प्रत्येक आउटपुट बिट सबसे k इनपुट बिट पर "NC ⁰_k सर्किट " पर निर्भर करता है । इस शब्द का उपयोग करते हुए, आपकी समस्या NC ⁰₅ सर्किट के मामले में coNP-complete है । अर्थात, निम्न समस्या coNP- पूर्ण है।

उदाहरण : एक बूलियन सर्किट सी जिसमें एन इनपुट बिट्स और एन आउटपुट बिट्स हैं, जहां प्रत्येक आउटपुट बिट सबसे अधिक पांच इनपुट बिट्स पर निर्भर करता है।
प्रश्न : क्या सी 0 विशेषण द्वारा गणना की गई {0,1} ⁿ से स्वयं की मैपिंग है ?

जैसा कि केव ने टिप्पणी की, यह स्पष्ट रूप से coNP में है, यहां तक कि बिना इनपुट बिट्स की संख्या पर बाध्य है, जिस पर प्रत्येक आउटपुट बिट निर्भर करता है। CoNP- कठोरता को साबित करने के लिए, हम मौजूदा समस्या के पूरक के लिए 3SAT को कम कर देंगे। कटौती का मुख्य विचार डुरंड द्वारा पेपर [डर 94] में उपयोग किए गए के समान है, जिसका मैंने सवाल पर एक टिप्पणी में उल्लेख किया है, लेकिन पूरी कमी हमारे मामले में बहुत सरल है।

एक 3CNF सूत्र को देखते हुए φ साथ n चर और मीटर खंड, हम एक बूलियन सर्किट का निर्माण सी (साथ n + मीटर ) इनपुट बिट और ( n + मीटर ) उत्पादन बिट्स इस प्रकार है। हम के रूप में इनपुट बिट्स लेबल एक्स ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _मीटर है, और के रूप में उत्पादन बिट्स एक्स ' ₁ , ..., एक्स ' _n , जेड ₁ , ..., जेड _मीटर । हम मानते हैं कि इनपुट बिट्स x₁ , ..., x _n करने के लिए एक सच्चाई असाइनमेंट निर्दिष्ट n में चर φ ।

एक्स ' _मैं = x _मैं 1≤ के लिए मैं ≤ n । यही है, इनपुट के पहले n बिट्स को हमेशा आउटपुट के पहले n बिट्स में कॉपी किया जाता है ।
1≤ के लिए मैं ≤ मीटर , अगर मैं की वें खंड φ संतुष्ट हो जाता है, तो जेड _मैं = y _मैं ⊕ y _{मैं +1} , जहां अधोलिखित सापेक्ष व्याख्या की है मी । अन्यथा, z _i = y _i ।

ध्यान दें कि प्रत्येक आउटपुट बिट अधिकतम पांच इनपुट बिट्स पर निर्भर करता है। मैं कमी के सही होने का सबूत छोड़ देते हैं, लेकिन कुंजी विचार (जो मैं [Dur94] से उधार) है कि अगर है φ संतुष्टि योग्य है और इनपुट बिट्स एक्स ₁ , ..., एक्स _एन की एक संतोषजनक काम की तैयारी में हैं φ , तो मीटर उत्पादन बिट्स z ₁ , ..., जेड _मीटर भी समता के लिए विवश कर रहे हैं, और इसलिए सर्किट एक क्रमचय नहीं हो सकता। दूसरी ओर, इनपुट बिट्स अगर एक्स ₁ , ..., एक्स _एन की एक गैर संतोषजनक काम की तैयारी में हैं φ , तो उत्पादन बिट्स z₁ ,…, z _m को कुछ भी सेट किया जा सकता है; इस वजह से, यदि φ असंतोषजनक है, तो सर्किट एक क्रमचय है।

Tractability

ट्रैक्टेबल साइड पर, आपकी समस्या NC ⁰₂ सर्किट के मामले में P में है । इसे निम्नानुसार दिखाया गया है। सामान्य तौर पर, क्रमचय के लिए बूलियन सर्किट में प्रत्येक आउटपुट बिट संतुलित होता है ; यानी, इनपुट स्ट्रिंग्स का आधा हिस्सा आउटपुट बिट को 1 पर सेट करता है। हालाँकि, प्रत्येक संतुलित बूलियन फ़ंक्शन {0,1} ² से {0,1} तक सीमित है ; यानी, एक एकल इनपुट बिट की एक प्रति, दो इनपुट बिट्स के XOR, या उनमें से नकार। इसलिए, हम पहले यह जांच सकते हैं कि प्रत्येक आउटपुट बिट संतुलित है, और फिर गॉज़ियन उन्मूलन द्वारा विशेषण की जांच करें।

मुझे NC ⁰₃ सर्किट के मामले में या NC ⁰₄ सर्किट के मामले में जटिलता का पता नहीं है ।

संदर्भ

[Dur94] ब्रूनो डूरंड। 2 डी सेलुलर ऑटोमेटा का उलटा: कुछ जटिलता परिणाम। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान , 134 (2): 387-401, नवंबर 1994. डीओआई: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 ।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

मैंने NC ^ 0_3 सर्किट के मामले के बारे में एक अनुवर्ती प्रश्न पोस्ट किया ।

— त्सुयोशी इतो