हाइपरक्यूब पर एक दृढ़ विश्वास का एन्ट्रापी

Question

हम एक समारोह है कहो $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ , ऐसी है कि $\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$ (ताकि हम सोच सकते हैं $\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$ एक वितरण के रूप में) । यह इस प्रकार है के रूप में इस तरह के एक समारोह के एन्ट्रापी परिभाषित करने के लिए स्वाभाविक है:

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$$

अब, के घुमाव के विचार करना : के साथ ही [ च * च ] ( एक्स ) = Σ y ∈ जेड एन 2 च ( y ) च ( एक्स + y ) । (ध्यान दें कि जब से हम Z n 2 के साथ काम कर रहे हैं , तब x + y = x - y )$f$

$$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$$ $\mathbb{Z}_2^n$$x+y=x-y$

$f*f$$L_2$$f$$C$

$$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$$

Comments

यह प्रश्न पहले अगस्त में mathoverflow में पोस्ट किया गया था: mathoverflow.net/questions/103668/… (यह आमतौर पर इस तरह देरी के साथ क्रॉसपोस्ट करने के लिए ठीक है, लेकिन आपको यह कहना चाहिए कि आप क्या कर रहे हैं)।

— कॉलिन मैकक्विलन

क्षमा करें, मुझे इस नीति की जानकारी नहीं थी।

एन्ट्रापी शक्ति असमानता आपके लिए उपयोगी हो सकती है: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality

— या मीर

Answer 1

$C$$g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

$$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

$g*g$

$$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

$f=g/\|g\|_2$$H(f)=H(g/\|g\|_2)$$o(1)$$n$$H(g*g/\|g*g\|_2)$$n$