ज्ञात इष्टतम शीर्ष आवरण के साथ रेखांकन कैसे उत्पन्न करें

Question

मैं ग्राफ़ बनाने के लिए एक रास्ता खोज रहा हूं ताकि इष्टतम शीर्ष आवरण ज्ञात हो। नोड्स या किनारों की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं है, केवल यह कि ग्राफ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है।

यह विचार एक ग्राफ उत्पन्न करना है जो कि इष्टतम वर्टेक्स कवर को ढूंढना आसान नहीं है, इस पर विभिन्न उत्तराधिकारियों का परीक्षण करने में सक्षम होना चाहिए

मुझे पेपर आर्थर, जे। एंड फ्रेंडवे, जे। जेनेरेटिंग ट्रैवलिंग-सेल्समैन प्रॉब्लम्स विद नोज ऑप्टिमल टूर्स, द जर्नल ऑफ़ द ऑपरेशनल रिसर्च सोसाइटी, वॉल्यूम में मिला। 39, नंबर 2 (फरवरी, 1988), पीपी। 153-159 ज्ञात इष्टतम के साथ टीएसपी उत्पन्न करने के लिए, अफसोस कि मैं इसे एक्सेस नहीं कर सकता।

क्या एक ज्ञात एल्गोरिथ्म है?

Comments

"नोड्स या किनारों की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं है, केवल यह कि ग्राफ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है।" आपको अधिक प्रतिबंधों की आवश्यकता है कि यह। अन्यथा, मैं पूर्ण रेखांकन का सेट उत्पन्न करता हूं और प्रत्येक के लिए इष्टतम शीर्ष कवर जानता हूं।

— टायसन विलियम्स

यहां एक बहुत ही सरल दृष्टिकोण है: सबसे पहले, एक मिलान निर्माण करें । प्रत्येक बढ़त ई ∈ एम , अपने शीर्ष कवर करने के लिए एक अंत बिंदु जोड़ने सी । फिर किसी भी अतिरिक्त नोड्स को जोड़ें। फिर किसी भी संख्या में किनारों को जोड़ें, ताकि प्रत्येक किनारे में सी में कम से कम एक समापन बिंदु हो । आवश्यक रूप से C एक न्यूनतम शीर्ष आवरण होगा। (दुर्भाग्य से, बहुत सारे रेखांकन हैं जो इस तरह से उत्पन्न नहीं किए जा सकते हैं: उदाहरण के लिए, के 3 )।$M$$e \in M$$C$$C$$C$$K_3$

— जुका सूमेला

मुझे लगता है "एक यादृच्छिक द्विअर्थी ग्राफ उत्पन्न करता है और इसके शीर्ष आवरण की गणना करता है" एक उपयोगी उत्तर के रूप में नहीं गिना जाता है ...

— डेविड एप्पस्टीन

अगर आप उस मार्ग पर जाने के इच्छुक हैं, तो "हार्ड" सैट इंस्टेंस और आर्काइव्ड "हार्ड" इंस्टेंस के रिपोजिटरी बनाने के लिए कई रणनीतियाँ हैं। यानी सैट के एक उदाहरण को वर्टेक्स कवर में बदलना। यह भी एक आनुभविक pov से सैट का अध्ययन करने में बहुत अधिक शोध करता है, जो स्वाभाविक रूप से अन्य सभी एनपी में पूर्ण समस्याओं जैसे संक्रमण बिंदु आदि का अनुवाद करता है। इस सब पर कई रेफरी ...

— vzn

डेविड द्वारा बताए गए कोनिंग ग्राफ पर वर्टेक्स कवर की बहुपद समय की विलेयता की तुलना में आम तौर पर, निम्न परिणाम को मानकीकृत जटिलता के क्षेत्र से जाना जाता है: एक निरंतर c ऐसा है कि हर निश्चित पूर्णांक k के लिए O (n) होता है। ^ c) समय एल्गोरिथ्म यह जांचने के लिए कि क्या एक ग्राफ में एक शीर्ष कवर है जो कि अधिकतम k द्वारा अधिकतम मिलान आकार से अधिक है। कोनिग ग्राफ विशेष मामला है जब k = 0।

— बार्ट जानसन

Answer 1

उत्तर में vzn की टिप्पणी का विस्तार करना: CNF-SAT से वर्टेक्स कवर तक मानक कमी बहुत आसान है: प्रत्येक शब्द (चर या इसकी नकारात्मकता) के लिए एक शीर्ष बनाएं, प्रत्येक वैरिएबल को एक किनारे से इसकी नकारात्मकता से कनेक्ट करें, प्रत्येक खंड के लिए एक गुच्छक बनाएं , और धारा में प्रत्येक शब्द को खंड में एक शब्द के लिए शीर्ष से कनेक्ट करें। यदि आप एक ज्ञात संतोषजनक असाइनमेंट के साथ एक संतुष्टि की समस्या के साथ शुरू करते हैं, तो यह आपको एक ज्ञात इष्टतम समाधान के साथ एक शीर्ष कवर की समस्या देगा (असाइनमेंट द्वारा दिए गए शब्द कोने का चयन करें, और प्रत्येक खंड में सभी एक, लेकिन एक शीर्ष का चयन करें, ताकि क्लॉज़ वर्टेक्स जो चुना नहीं जाता है, एक शब्द वर्टेक्स के लिए आसन्न है जिसे चुना गया है)।

तो अब आपको संतोषजनक समस्याएँ खोजने की ज़रूरत है, जिनमें एक संतोषजनक संतुष्टि असाइनमेंट है, लेकिन जहाँ समाधान खोजना मुश्किल है। हार्ड संतोषजनकता समस्याएँ उत्पन्न करने के कई ज्ञात तरीके हैं (उदाहरण के लिए संतोषजनक थ्रेशोल्ड के पास यादृच्छिक k-SAT उदाहरण उत्पन्न करते हैं) लेकिन अतिरिक्त आवश्यकता जिसे आप जानते हैं कि संतोषजनक असाइनमेंट संभावनाओं को प्रतिबंधित करता है। एक चीज़ जो आप यहाँ कर सकते हैं वह है कमी के एक और स्तर से गुज़रना, जैसे कि एक क्रिप्टोग्राफ़िक रूप से कठिन समस्या जैसे कि कारककरण। यानी दो बड़े primes p और q को चुनते हैं, बाइनरी सर्किट को p और q को बाइनरी संख्या के रूप में गुणा करने के लिए सेट करते हैं, और इसे CNF सूत्र में अनुवाद करते हैं जिसमें प्रत्येक इनपुट (p और q) के लिए एक चर होता है और प्रत्येक मध्यवर्ती मान के लिए होता है। सर्किट में एक तार, प्रत्येक आउटपुट के लिए एक क्लॉज है जिससे इसका सही मान हो सके, और गेट के इनपुट और आउटपुट को एक दूसरे के साथ संगत करने के लिए मजबूर करने वाले प्रत्येक गेट के लिए एक क्लॉज। फिर इस CNF सूत्र को शीर्ष आवरण में अनुवाद करें।

एक सरल रणनीति के लिए, पहले 3CNF सूत्र के लिए संतोषजनक असाइनमेंट चुनें, और फिर यादृच्छिक पर क्लॉज़ उत्पन्न करें, केवल उन क्लॉज़ को रखें जो असाइनमेंट के अनुरूप हैं, और फिर वर्टेक्स कवर में कनवर्ट करें। यदि खंड में एक समान संभावना है, तो यह डिग्री-आधारित हेयुरिस्टिक के लिए असुरक्षित होगा (चुने गए कार्य से मेल खाता शब्द वर्टिकल शब्द वर्टिकल वर्जन की तुलना में कम डिग्री होगा) लेकिन यह कमी क्लाज की संभावनाओं को समायोजित करके बचा जा सकता है। चुने हुए असाइनमेंट से क्लॉज की शर्तों में से कितने सहमत हैं। संभवतः यह किसी प्रकार के बहुपद समय के हमले के लिए कमजोर है, लेकिन यह एक ऐसा नहीं हो सकता है जो वर्टेक्स कवर के लिए स्वाभाविक है, इसलिए यह कठोरता की बहुत गारंटी नहीं होने के बावजूद परीक्षण उदाहरणों का एक अच्छा सेट बना सकता है।

Comments

$\cap$

Answer 2

निकटतम रेफरी मुझे मिला- सुंदर विश्वनाथन द्वारा अनुमानित शीर्ष आवरण के कठिन उदाहरणों पर । सटीक समस्या के कठिन उदाहरणों को देखने के लिए रेफरी नहीं देखा।

मेरी टिप्पणी के अनुसार, एसएटी के लिए इस संबंधित दृष्टिकोण में बड़े पैमाने पर अनुसंधान है जो कि शीर्ष कवर के लिए फिर से करना है।

डीईएस टिप्पणी, यादृच्छिक उदाहरण उत्पन्न करने और सिर्फ एक मानक एल्गोरिथ्म के लिए कड़ी मेहनत करने वाले उन उदाहरणों को चुनने के लिए एक अनुभवजन्य / प्रयोगात्मक अनुसंधान दृष्टिकोण [1] के साथ पूरी तरह से उचित लगता है, एसएटी में इसी तरह के अनुसंधान के लिए एक मानक संचालन प्रक्रिया। संक्रमण बिंदु। [२]

जिस तरह से यह कहने के लिए कुछ है कि "हार्ड" क्षेत्र किसी अन्य एनपी पूर्ण समस्या [3,4,5] के लिए है, जो बाइनरी में निर्दिष्ट यादृच्छिक उदाहरणों में 1s के "घनत्व" में लगभग एक महत्वपूर्ण बिंदु से संबंधित है। शीर्ष आवरण के लिए यह संभवतः किनारे के घनत्व के अनुरूप होगा।

ध्यान दें कि साबित करने वाला एक कठिन उदाहरणों का एक सेट बना सकता है, और केवल कठिन उदाहरणों, मूल रूप से पी बनाम एनपी समस्या के बराबर है। इस समानता का एक और अधिक औपचारिक विश्लेषण रेज़बोरोव / रूडीच प्राकृतिक सबूत कागज में है।

[१] प्रायोगिक एल्गोरिदम

[२] एसएटी चरण संक्रमण अनुसंधान

[३] एनपी हार्ड समस्याओं में चरण परिवर्तन

[४] एनपी-पूर्ण समस्याओं में चरण संक्रमण: मूर द्वारा संभाव्यता, संयोजन और कंप्यूटर विज्ञान के लिए एक चुनौती

[५] वलश द्वारा चरण संक्रमण व्यवहार