एनपी-हार्ड समस्याओं के लिए इष्टतम लालची एल्गोरिदम

Question

लालच, बेहतर शब्द की कमी के लिए, अच्छा है। परिचयात्मक एल्गोरिदम पाठ्यक्रम में सिखाया गया पहला एल्गोरिथम प्रतिमान लालची दृष्टिकोण है । लालची दृष्टिकोण पी में कई समस्याओं के लिए सरल और सहज ज्ञान युक्त एल्गोरिदम में परिणाम करता है। अधिक दिलचस्प रूप से, कुछ एनपी-कठिन समस्याओं के लिए स्पष्ट और प्राकृतिक लालची / स्थानीय एल्गोरिथ्म में परिणाम होता है (संभवतः) इष्टतम सन्निकटन कारक (उपयुक्त जटिलता सिद्धांत संबंधी मान्यताओं के तहत)। एक क्लासिक उदाहरण सेट कवर समस्या है । एक प्राकृतिक लालची एल्गोरिथ्म एक O (ln n) सन्निकटन कारक देता है, जो P = NP होने तक इष्टतम है।

एनपी-कठिन समस्याओं के लिए कुछ प्राकृतिक लालची / स्थानीय एल्गोरिदम का नाम दें जो उपयुक्त जटिलता सिद्धांत संबंधी मान्यताओं के तहत काफी इष्टतम हैं।

Comments

सुरेश (या) रयान, क्या आप "कठोरता-सन्निकटन" नाम का टैग जोड़ सकते हैं और इस प्रश्न को टैग कर सकते हैं। मैं अपनी वर्तमान प्रतिष्ठा के साथ नए टैग नहीं जोड़ सकता :( इसके अलावा, चूंकि लंबे टैग (> 20 वर्ण) की अनुमति नहीं है, यह कठोरता-लगभग मुझे अनुमान होना चाहिए।

— शिव किंताली

हाय शिव, मैंने आपके द्वारा सुझाए अनुसार कठोरता-का-अनुमानित टैग जोड़ा है, लेकिन मुझे लगता है कि निजी तौर पर अनुमान-कठोरता की आवाज़ अच्छी लगती है और यह संभव होना चाहिए क्योंकि यह अनुमानित-एल्गोरिदम से कम है।

— केव

अच्छी तरह से पहले वाक्य चुना। ;)

— अलक्यूबिएरेड्राइव 12

Answer 1

सशर्त अपेक्षाओं की विधि (मैक्स-कट और मैक्स-सैट के लिए "यादृच्छिक असाइनमेंट" एल्गोरिदम को व्युत्पन्न करने के लिए) को एक लालची रणनीति के रूप में देखा जा सकता है: , आप एक चर का मान लेते हैं जैसे परिणामी कम हुई आवृत्ति में संतुष्ट बाधाओं की अपेक्षित संख्या वर्तमान आवृत्ति में संतुष्ट बाधाओं की अपेक्षित संख्या से अधिक है। (वास्तव में, के लिए लालची एल्गोरिथ्म -approximating अधिकतम कट है एक ही के लिए एल्गोरिथ्म "सशर्त उम्मीदों की विधि" के रूप में -approximating मैक्स-कट।)$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

चूंकि विधि मैक्स-ई 3-सैट के लिए भी काम करती है और -प्रतिरक्षा प्राप्त करती है, यह एक लालची एल्गोरिथ्म का एक उदाहरण है जो कि (cf. Hastad और Moshkovitz-Raz-Max के लिए अनुचित परिणाम) होने तक एक इष्टतम सन्निकटन है। ई 3-सैट)।पी = एन $7/8$$P=NP$

Answer 2

वर्टेक्स कवर: सबसे अच्छा निरंतर कारक सन्निकटन एल्गोरिदम में (लालची) एक अधिकतम मिलान ढूंढना और अनुमानित समाधान के रूप में शामिल सभी कोने को चुनना शामिल है। यह एक 2-अनुमानित समाधान देता है, और जब तक अद्वितीय गेम अनुमान गलत नहीं है , कोई बेहतर निरंतर-कारक सन्निकटन संभव नहीं है।

सुभाष खोट और ओडेड रेगेव, वर्टेक्स कवर 2 SS SS, JCSS 74 (3), 2008 के भीतर अनुमानित हो सकता है ।

विषय से बाहर: मुझे लगता है कि यह एक बहुत प्यारा सन्निकटन एल्गोरिथ्म है, खासकर जब से यह ओह-ट्राइबियल है, जो कि दृष्टि के लाभ के साथ है।

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अधिकतम मिलान एल्गोरिथ्म वास्तव में लालची है?

— सुरेश वेंकट

हां, चूंकि यह प्रत्येक चरण में स्थानीय रूप से इष्टतम विकल्प बनाता है। एल्गोरिथ्म वास्तव में एक स्थानीय / व्यवहार्य / पसंद बनाता है, लेकिन चूंकि किनारों को अनिर्दिष्ट किया गया है इसलिए यह एक इष्टतम विकल्प भी है।

— gphilip

Answer 3

एक निर्देशित ग्राफ को देखते हुए, अधिक से अधिक किनारों के साथ एसाइकिल सबग्राफ ढूंढें।

तुच्छ 2-सन्निकटन एल्गोरिथ्म: वर्टिकल का एक मनमाना क्रम चुनें और आगे के किनारों या पिछड़े किनारों को ले जाएं।

2-सन्निकटन को पीटना अद्वितीय-खेल कठिन माना जाता है (हालांकि यह एनपी-हार्ड नहीं हो सकता है)।

• रैंडम ऑर्डरिंग बीटिंग हार्ड है: अधिकतम एसाइकिलिक सबग्राफ वेंकटेशन गुरुस्वामी, राजसेकर मनोकरन और प्रसाद राघवेंद्र की अनुचितता।

Answer 4

कार्डिनैलिटी बाधा के संबंध में सबमॉड्यूलर अधिकतमकरण में 1-1 / ई लालची सन्निकटन है। एल्गोरिथ्म नेमहॉज़र, वोल्सी, फिशर के कारण है। एनपी कठोरता सेट कवर की एनपी-कठोरता से होती है क्योंकि अधिकतम कवरेज सबमॉड्यूलर मैक्सिमाइजेशन का एक विशेष मामला है।

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लालची एल्गोरिथ्म का नेमहॉसर-वोल्सी-फिशर विश्लेषण केवल एक साधारण कार्डिनैलिटी बाधा के अधीन अधिकतम करने के मामले के लिए है। लालची सरल विभाजन मैट्रोइड के लिए भी केवल माप देता है । एक मनमाना matroid करने के लिए एक submodular समारोह विषय अधिकतम करने के लिए -approximation Vondrak और दूसरों (अपने आप सहित) की वजह से हाल ही में एक परिणाम है। यह कई उपकरणों पर निर्भर करता है और लालची एल्गोरिथ्म नहीं है। $1/2$$(1-1/e)$

— चंद्रा चकुरी

बिल्कुल, मेरी गलती। सुधार को प्रतिबिंबित करने के लिए उत्तर का संपादन किया।

— अश्विनकुमार बीवी

Answer 5

लालची मैक्स-के-कवर को एक (1-1 / ई) सन्निकटन देता है, और जब तक कि पी = एनपी में सुधार नहीं किया जा सकता है।

Comments

मुझे लगता है कि यह एक ही समस्या है के रूप में @ AshwinkumarBV का जवाब है, जो मुझे लगता है कि जब मैं टाइपिंग मेरा था ... पोस्ट किया गया था

— लेव Reyzin

Answer 6

न्यूनतम डिग्री एमएसटी ढूँढना। यह हैपी मुश्किल है क्योंकि हैमिल्टनियन मार्ग खोजना एक विशेष मामला है। एक स्थानीय खोज एल्गोरिदम एक additive निरंतर 1 के भीतर देता है।

संदर्भ

इष्टतम में से एक के भीतर न्यूनतम-डिग्री स्टाइनर पेड़ का अनुमान लगाना

Answer 7

समस्या -center एक क्लस्टरिंग समस्या, जिसमें हम एक पूरी अनिर्दिष्ट ग्राफ दिया जाता है एक दूरी के साथ कोने के प्रत्येक जोड़ी के बीच । दूरियां त्रिभुज असमानता और मॉडल समानता का पालन करती हैं। हमें एक पूर्णांक भी दिया जाता है ।$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

समस्या में, हमें समूहों को खोजना होगा जो समूह को एक साथ जोड़ते हैं जो कि एक साथ समूहों में समान होते हैं। हम एक सेट की क्लस्टर केन्द्रों। प्रत्येक शिखर निकटतम क्लस्टर में कोने समूहीकरण केंद्र के लिए ही आवंटित करेगा विभिन्न समूहों। इसका उद्देश्य अपने क्लस्टर केंद्र के लिए एक शीर्ष की अधिकतम दूरी को कम करना है। तो ज्यामितीय, हम के केन्द्रों लगाना चाहते हैं ही त्रिज्या के विभिन्न गेंदों कि सभी बिंदुओं को कवर इतना है कि संभव के रूप में छोटा है।$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

इष्टतम एल्गोरिथ्म लालची है, और बहुत सरल और सहज भी है। हम सबसे पहले मनमाने ढंग से एक शीर्ष चुनते हैं और इसे क्लस्टर केंद्रों के हमारे सेट में डालते हैं। हम फिर अगले क्लस्टर केंद्र को चुनते हैं ताकि यह अन्य सभी क्लस्टर केंद्रों से यथासंभव दूर हो। तो जबकि , हम बार-बार एक शीर्ष _ , जिसके लिए दूरी अधिकतम है और इसे जोड़ें । एक बार हम कर रहे हैं।एस | एस | < कश्मीर जे ∈ वी डी ( जे , एस ) एस | एस | = $i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

वर्णित एल्गोरिथ्म -center समस्या के लिए एक -approximation एल्गोरिथ्म है। वास्तव में, अगर साथ समस्या के लिए एक -approximation एल्गोरिथ्म मौजूद है, तो । यह एन पी-सम्पूर्ण से कमी के साथ आसानी से दिखाया जा सकता है हावी सेट समस्या हम अधिक से अधिक आकार के एक हावी सेट प्राप्त कर सकते हैं दिखा कर का एक उदाहरण है iff समस्या -center जिसमें सभी दूरी या तो कर रहे हैं 1 या 2 इष्टतम मूल्य है 1. एल्गोरिथ्म और विश्लेषण गोंजालेस द्वारा दिया जाता है , क्लस्टरिंग अधिकतम इंटरक्लस्टर दूरी, 1985 को कम करने के लिए । का दूसरा संस्करणk ρ ρ < 2 P = N P k k $2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$होकबूम और शमॉयस द्वारा की- अपॉजिशन दिया जाता है , के-सेंटर की समस्या के लिए सबसे अच्छा संभव अनुमानी, 1985 ।

Answer 8

ग्राहम की सूची निर्धारण प्रक्रिया, समान मशीनों पर पूर्ववर्ती विवश शेड्यूलिंग के लिए इष्टतम है। जब तक कि बंसल और खोत द्वारा अनूठे खेलों के एक नए संस्करण का अनुमान गलत नहीं है।$P|prec|C_{max}$

ओला स्वेन्सन द्वारा आइडेंटिकल मशीनों पर वरीयता की विवशता की सशर्त कठोरता

Answer 9

हो सकता है कि यह भी आपको रुचिकर लगे ( वैश्विक बाधाओं का स्थानीय बाधाओं में अनुवाद करने के तरीकों से अनुकूलित )

चूंकि लालची विधियां (अधिक सही तरीके से स्थानीय तरीके) वैश्विक अनुकूलन को प्राप्त करने के लिए केवल स्थानीय जानकारी को रोजगार देती हैं, यदि वे तरीके पाए जाते हैं जो वैश्विक स्थितियों को केवल स्थानीय जानकारी को नियोजित करने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले संघनन में परिवर्तित करने में सक्षम हैं, तो यह (विश्व स्तर पर) समस्याओं का इष्टतम समाधान प्रदान करता है। केवल लालची / स्थानीय तकनीकों का उपयोग करना।

संदर्भ:

1. विश्व स्तर पर सोचें, फिट लोकल: लो डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स की अनसुप्रोवाइज्ड लर्निंग (जर्नल ऑफ मशीन लर्निंग रिसर्च 4 (2003))
2. नियंत्रण, बार्टाल, वाई के अनुप्रयोगों के साथ स्थानीय सूचना का उपयोग करके वैश्विक अनुकूलन।
3. क्यों नेचुरल ग्रैडिएंट?, अमारी एस।, डगलस एससी
4. वैश्विक उद्देश्यों के स्थानीय अनुकूलन: प्रतिस्पर्धी वितरित गतिरोध समाधान और संसाधन आवंटन, एवर्बच, बरूच, अजार, वाई।
5. स्थानीय और वैश्विक संगति के साथ सीखना
6. स्थानीय संगति विधि द्वारा समस्या निवारण संतुष्टि समस्याएं

ऐसे कुछ संदर्भ हैं जो वैश्विक मूल्यांकन कार्यों (या बाधाओं) के स्थानीय लोगों (स्थानीय जानकारी का उपयोग करके) और उनकी स्थिरता (यानी एक ही वैश्विक इष्टतम के अभिसरण) का अनुवाद करने की समस्या से निपटते हैं:

1. कम्प्यूटेशनल इवोल्यूशन, एचएएन जिंग, 2003 के लिए स्थानीय मूल्यांकन कार्य और वैश्विक मूल्यांकन कार्य
2. स्थानीय मूल्यांकन समारोह, हान जिंग और कै Qingsheng, 2002 से उभार

सार (ऊपर से १)

यह पत्र स्थानीय संयोजन और समस्या निवारण समस्या (निर्णय समस्या) और न्यूनतम रंग समस्या (अनुकूलन समस्या) के समाधान के लिए मूल्यांकन कार्यों के इलाके और वैश्विकता के पहलू से कम्प्यूटेशनल विकास पर एक नया रूप प्रस्तुत करता है। हम पहले वर्तमान एल्गोरिदम की समीक्षा करते हैं और एक बहु-एजेंट प्रणाली के रूप में रंग समस्या को मॉडल करते हैं। फिर हम दिखाते हैं कि पारंपरिक एल्गोरिदम (स्थानीय खोज, जैसे कि सिलेक्टेड एनीलिंग) और वितरित एल्गोरिदम (जैसे कि एलिफ और एईआर मॉडल) के बीच आवश्यक अंतर मूल्यांकन समारोह में निहित है: सिम्लेटेड एनीलिंग पूरे सिस्टम राज्य का मूल्यांकन करने के लिए वैश्विक जानकारी का उपयोग करता है, जिसे कहा जाता है ग्लोबल इवैल्यूएशन फंक्शन (GEF) विधि; एलिफ और एईआर मॉडल एक एकल एजेंट की स्थिति का मूल्यांकन करने के लिए स्थानीय जानकारी का उपयोग करता है, जिसे स्थानीय मूल्यांकन कार्य (LEF) विधि कहा जाता है। हम k- रंग समस्याओं और न्यूनतम रंग समस्याओं को हल करने के लिए LEF और GEF विधियों के प्रदर्शन की तुलना करते हैं। कंप्यूटर प्रायोगिक परिणाम बताते हैं कि LEF GEF विधियों (सिम्युलेटेड एनीलिंग और लालची) के साथ तुलनीय है, कई समस्या में LEF ने GEF विधियों को हराया है। उसी समय, हम GEF और LEF के बीच संबंधों का विश्लेषण करते हैं: स्थिरता और असंगति। संगति प्रमेय से पता चलता है कि LEF का नैश इक्विलिब्रिया GEF के स्थानीय ऑप्टिमा के समान है जब LEF GEF के अनुरूप होता है। यह प्रमेय आंशिक रूप से बताता है कि क्यों LEF प्रणाली को वैश्विक लक्ष्य तक ले जा सकता है। संगत LEF के निर्माण के कुछ नियम प्रस्तावित हैं। संगति के अलावा,

Determnine को specificaly कागज पतों तरीकों एक स्थानीय समारोह (LEF) है कि क्या लगातार एक वैश्विक समारोह (GEF) और तरीकों को देखते हुए GEFs (से लगातार वित्त्त का निर्माण करने के साथ संगति प्रमेय )।

निष्कर्ष अनुभाग से अंश (ऊपर से 1.)

यह पेपर केवल LEF और GEF अध्ययन की शुरुआत है। उपरोक्त शोध रिपोर्ट के अलावा, भविष्य के बहुत से काम अभी भी हैं: एलईएफ के तरीकों पर अधिक प्रयोग; LEF पर विश्लेषणात्मक अध्ययन; LEF के लिए स्थानीय सूचना की पर्याप्तता; और किसी भी एलईएफ के लिए एक सुसंगत जीईएफ का अस्तित्व; क्या स्थिरता की अवधारणा पर्याप्त है? चूंकि जेनेटिक एल्गोरिदम का मूल्यांकन फ़ंक्शन (फिटनेस फ़ंक्शन) भी होता है, क्या हम जेनेटिक एल्गोरिदम के लिए LEF और GEF लागू कर सकते हैं? ... इन सभी सवालों के जवाब देने के लिए अध्ययन और प्रयास करना हमारा उद्देश्य है