विशिष्ट सॉल्वेबल पहेली (यूएसपी) की क्षमता

मैट्रिक्स गुणन के लिए उनके सेमिनल पेपर ग्रुप- थेरैटिक एल्गोरिदम में , कोहन, क्लेनबर्ग, स्वेग्डी और उमान्स विशिष्ट रूप से हल करने योग्य पहेली (नीचे परिभाषित) और यूएसपी क्षमता की अवधारणा को पेश करते हैं। उनका दावा है ताम्रकार और Winograd, अपने स्वयं के अभूतपूर्व पत्र में है कि अंकगणित प्रगति के माध्यम से मैट्रिक्स गुणा , "परोक्ष" साबित होता है कि खासियत क्षमता है । इस दावे को कई अन्य स्थानों पर (यहाँ cstheory सहित) दोहराया गया है, फिर भी कहीं नहीं मिला है। नीचे मेरी अपनी समझ है कि कोपरस्मिथ और विनोग्राद क्या साबित करते हैं, और यह पर्याप्त क्यों नहीं है। $3/2^{2/3}$

यह सही है कि खासियत क्षमता है ? यदि हां, तो क्या सबूत के लिए एक संदर्भ है? $3/2^{2/3}$

विशिष्ट रूप से हल करने योग्य पहेलियाँ

एक विशिष्ट व्याख्या करने योग्य पहेली लंबाई की (खासियत) और चौड़ाई के एक सबसेट के होते हैं आकार के है, जो हम भी के तीन संग्रह के रूप में के बारे में सोच "टुकड़े" (स्थानों के लिए इसी जहां वैक्टर , वे स्थान जहां वे , और वे स्थान जहां वे ), निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करते हैं। मान लीजिए कि हम सभी -पी को लाइनों में व्यवस्थित करते हैं। फिर प्रत्येक पंक्ति में अन्य टुकड़ों में से एक, प्रत्येक प्रकार में डालने के लिए एक अनूठा तरीका होना चाहिए, ताकि वे "फिट" हों। $n$ $k$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $n$ $1$ $2$ $3$ $1$ $n$

चलो चौड़ाई की एक खासियत की अधिकतम लंबाई होना । खासियत क्षमता है एक खासियत में, टुकड़ों में से प्रत्येक अद्वितीय होने की जरूरत है - इसका मतलब है कि कोई दो पंक्तियाँ एक प्रतीक होना बिल्कुल वैसा ही स्थानों में। (एक छोटी बहस के बाद) यह दिखाता है कि $N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

और इतने

।

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

उदाहरण (लंबाई और चौड़ाई की एक खासियत ): लंबाई और चौड़ाई का गैर-उदाहरण , जहां - और टुकड़े को दो अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

कोपरस्मिथ-विनोग्राद पहेलियाँ

एक ताम्रकार-Winograd लंबाई की पहेली (CWP) और चौड़ाई एक सबसेट के होते हैं की आकार के जिसमें "टुकड़े" अद्वितीय हैं - किसी भी दो लोगों के लिए और , $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$ (वे इसे कुछ अलग तरीके से पेश करते हैं।)

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

हर खासियत एक CWP (जैसा कि हम ऊपर टिप्पणी की), इसलिए CWP क्षमता है संतुष्ट । ऊपर हम उस टिप्पणी की । ताम्रकार और Winograd से पता चला है, एक परिष्कृत तर्क है कि का उपयोग कर । उनके तर्क को स्ट्रैसेन ( बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत देखें ) द्वारा सरल किया गया था । हम नीचे एक सरल सबूत स्केच करते हैं। $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

$k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— युवल फिल्मस
स्रोत

दिलचस्प है, लेकिन क्या यहां एक सवाल है, या यह सिर्फ साहित्य में एक दोष का एक जोर है?

— डेविड एपपस्टीन

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

$S$

$S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

$S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— युवल फिल्मस
स्रोत