सर्किट कम सीमा और कोल्मोगोरोव जटिलता

Question

निम्नलिखित तर्क पर विचार करें:

चलो $K(x)$ निरूपित Kolmogorov जटिलता की स्ट्रिंग । चैतीन का अधूरापन प्रमेय कहता है$x$

किसी भी सुसंगत और पर्याप्त मजबूत औपचारिक प्रणाली के लिए , वहाँ एक निरंतर मौजूद है (केवल औपचारिक प्रणाली और उसके भाषा के आधार पर) ऐसी है कि किसी भी तार के लिए , साबित नहीं कर सकते कि ।$S$$T$$x$$S$$K(x) \geq T$

चलो पर एक बूलियन समारोह होना चर सेंट इसकी स्पेक्ट्रम के Kolmogorov जटिलता अधिक से अधिक है । चलो के सर्किट जटिलता हो , यानी कम से कम सर्किट कंप्यूटिंग के आकार ।$f_n$$n$$k$$S(f_n)$$f_n$$f_n$

लिए ) की ऊपरी सीमा जो एक स्थिर और एक व्यस्त बीवर फ़ंक्शन है (अधिकतम संभव चरणों को रोकना आकार के विवरण के साथ मशीन ट्यूरिंग प्रदर्शन कर सकते हैं)। ( स्पेक्ट्रम में प्रत्येक के लिए, संबंधित सत्य असाइनमेंट के मिन्टरम का निर्माण करें, और इन सभी मिन्टरम्स को एक साथ लें)।$S(f_n)$

$$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$$ $c$$BB(k)$$k$$1$

मान लीजिए कि बूलियन फ़ंक्शंस के एक अनंत परिवार के लिए , हमारे पास एक औपचारिक प्रमाण है कि को सुपरलाइनर आकार के सर्किट की आवश्यकता है, अर्थात$L = \{f_n\}_{n}$$L$

$$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$$ जहां ।$g(n)\in \omega(1)$

यदि हम पर्याप्त रूप से बड़े होने के लिए लेते हैं , तो हमारे पास $n$

$$g(n) > c\cdot BB(T)$$

विशेष रूप से यह इस बात का प्रमाण होगा कि के स्पेक्ट्रम की कोलमोगोरोव जटिलता कम से कम , जो असंभव है।$f_n$$T$

इससे दो प्रश्न होते हैं:

1) उपरोक्त तर्क में कुछ गलत होना चाहिए। मुख्य रूप से क्योंकि यह सुपरलाइनियर सर्किट को कम कर देगा, जो औपचारिक रूप से सिद्ध नहीं होगा।

2) क्या आप निम्न सीमाओं के लिए बाधाओं को दिखाने के लिए समान दृष्टिकोणों के बारे में जानते हैं, अर्थात यह दर्शाता है कि कुछ प्रकार के (सर्किट) निचले सीमाएं औपचारिक रूप से अप्राप्य हैं?

Comments

दिलचस्प विचार। कुछ हद तक razborov / rudich proof re "प्राकृतिक प्रमाण" से संबंधित है जो P = NP के लिए बाधाओं को स्केच करता है? (लेकिन संभवतः कागज में उदाहरण के रूप में सूचीबद्ध अन्य जटिलता वर्ग विभाजनों पर भी लागू होता है) .. क्या आपने उस पेपर को पढ़ा है? बाधाओं को भी देखें P =? NP और अवरोध / मोनोटोन सर्किट जटिलता । यह संकेत प्रतीत होता है कि जटिलता के प्रमाणों की संरचना संरचना में समान है।

— vzn

क्या आप f_n के "स्पेक्ट्रम" पर विस्तार कर सकते हैं? क्या "स्पेक्ट्रम" का जिक्र किए बिना सवाल का मुहावरा है?

— vzn

यह शायद सच है कि कोई व्यक्ति सबसे छोटी TM [राज्य तालिका / राज्यों के अर्थ में] का अध्ययन करके कार्यों की जटिलता का अध्ययन कर सकता है जो उनकी गणना करता है और यह मोटे तौर पर सर्किट कम सीमा से मेल खाएगा। यदि आप यह दिखा सकते हैं कि वास्तव में कठिन होने के बजाय यह असंभव है, तो उस सबसे छोटे टीएम को खोजने के लिए, आपके पास वहां कुछ हो सकता है। हालाँकि यह सर्किट या टीएम के विहित संधि के माध्यम से सबसे छोटी TM को खोजने के लिए "सरल" है। यदि आप विचार करते हैं कि यह दृष्टिकोण क्यों काम करता है, तो यह समझने में मदद मिल सकती है कि प्रश्न समस्या का कारण क्यों नहीं बनता है।

— vzn

सही। संदर्भ के लिए धन्यवाद। मुझे नैचुरल प्रूफ पेपर के बारे में पता है। मुझे नहीं पता कि क्या प्रश्न "स्पेक्ट्रम" के बिना तैयार किया जा सकता है। "स्पेक्ट्रम" से मेरा तात्पर्य अनुक्रम$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

— मैग्नस का पता लगाएं

Answer 1

आपके तर्क में कुछ भी गलत नहीं है, लेकिन कोई विरोधाभास नहीं है। आप यह साबित करते हैं कि कुछ बड़े से कोलमोगोरोव की जटिलता के स्पेक्ट्रम की हमेशा कम से कम । लेकिन यह कथन तुच्छ रूप से सत्य है! यद्यपि हम यह साबित नहीं कर सकते हैं कि एक तार की कोलमोगोरोव जटिलता बड़ी है, अगर हमारे पास एक अनुक्रम है, तो कुछ बिंदु से इसमें केवल बड़ी जटिलता के तार शामिल होने चाहिए। तो ये क्या है$N$$f_n$$T$$N$ जो आपको मिला? इसे को संतुष्ट करना होगा , ऐसी कौन सी संख्या है जिसे हम गणना नहीं कर सकते हैं (क्योंकि ), इसलिए कोई समस्या नहीं है।$N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$$BB$

Comments

$S$

Answer 2

$A(k)$$K(A(k)) \geq k$$k$$K(A(k)) \geq k$

$BB(T)$

$\alpha(k)$$k$$\alpha(k)$$K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

Comments

यह स्थिति समस्याग्रस्त क्यों है? आपने ऐसा प्रोग्राम नहीं दिया जिसका आउटपुट A (k) होगा और उसकी लंबाई k से कम होगी।

— डोमटोटर

$BB(k)$$k$

यह मूल रूप से एक ही अर्थ में (यकीनन) समस्याग्रस्त है।

— युवल फिल्मस २०'१२

मैं अभी भी नहीं मिला। आप एक स्ट्रिंग और एक सबूत नहीं दिखाते हैं कि इसकी कोलमोगोरोव जटिलता बड़ी है। आप एक प्रमाण प्रदर्शित करते हैं कि एक स्ट्रिंग मौजूद है जिसकी जटिलता बड़ी है।

— साशो निकोलेव

मुझे लगता है कि वे अलग-अलग तरीकों से समस्याग्रस्त हैं। जैसा कि मैंने इसे पढ़ा है, आप एक विशिष्ट सच्चे कथन की ओर संकेत करते हैं, जिसका प्रमाण नहीं है। जैसा कि मैंने अपने प्रश्न में इसे बाहर रखा है, मैं इंगित करता हूं कि एक ऐसी चीज का प्रमाण है जो कि सिद्ध नहीं है।

— मैग्नस