की अनुमानित डिग्री

Question

EDIT (v2): मैं समस्या के बारे में जो कुछ भी जानता हूं उसके अंत में एक खंड जोड़ा गया।

EDIT (v3): अंत में थ्रेशोल्ड डिग्री पर जोड़ा गया चर्चा।

सवाल

यह प्रश्न मुख्य रूप से एक संदर्भ अनुरोध है। मैं समस्या के बारे में ज्यादा नहीं जानता। मैं जानना चाहता हूं कि क्या इस समस्या पर पिछले काम किया गया है, और यदि हां, तो क्या कोई मुझे इस समस्या के बारे में बात करने वाले किसी भी कागजात की ओर इशारा कर सकता है? मैं की अनुमानित डिग्री पर वर्तमान सर्वश्रेष्ठ सीमा जानना चाहूंगा । किसी भी अन्य जानकारी की भी सराहना की जाएगी (जैसे, ऐतिहासिक जानकारी, प्रेरणा, अन्य समस्याओं के संबंध, आदि)।$\textrm{AC}^0$

परिभाषाएं

चलो एक बूलियन समारोह हो। चलो से अधिक चर एक बहुपद हो को वास्तविक गुणांकों वाला। बहुपद की डिग्री सभी मोनोमियल पर अधिकतम डिग्री है। एक मोनोमियल की डिग्री विभिन्न के घातांक का योग है जो उस मोनोमियल में दिखाई देती है। उदाहरण के लिए ।p x 1 x n x i deg ( x 7 1 x 2 3 ) = $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

एक बहुपद को -approximate if कहा जाता है for all । एक बूलियन फ़ंक्शन का -approximate डिग्री , जिसे रूप में दर्शाया जाता है , एक बहुपद की न्यूनतम डिग्री है जो -approximates । फ़ंक्शंस के सेट के लिए, , न्यूनतम डिग्री , ताकि में प्रत्येक फ़ंक्शन को पर बहुपद की बहुपद द्वारा -approximated किया जा सकता है।ε च | f ( x ) - p ( x ) | < Ε एक्स ε च ~ डिग्री ε ( च ) ε च एफ ~ डिग्री ε ( एफ ) घ एफ ε $p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$।

ध्यान दें कि हर फ़ंक्शन को डिग्री बहुपद द्वारा कोई त्रुटि नहीं दी जा सकती है । कुछ कार्य वास्तव में एक डिग्री की आवश्यकता है किसी भी निरंतर त्रुटि के अनुमान लगाने के लिए बहुपद। समानता इस तरह के एक समारोह का एक उदाहरण है।$n$$n$

समस्या का विवरण

क्या है ? (स्थिर 1/3 मनमाना है।)$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

टिप्पणियाँ

मुझे पॉल बीमे और विस्टाड मचमौची द्वारा AC0 की क्वांटम क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी के पेपर में इस समस्या का सामना करना पड़ा । वे कहते हैं

इसके अलावा, हमारे परिणाम AC0 फ़ंक्शंस की अनुमानित डिग्री के निचले हिस्से में अंतर को बंद करने के लिए कुछ नहीं करते हैं।

वे अपनी स्वीकारोक्ति में "AC0 के अनुमानित डिग्री की समस्या" का भी उल्लेख करते हैं।

इसलिए मुझे लगता है कि पहले इस समस्या पर कुछ काम हुआ है? क्या कोई मुझे उस कागज की ओर इशारा कर सकता है जो समस्या के बारे में बात करता है? और सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी और निचले सीमा क्या हैं?

मुझे समस्या के बारे में क्या पता है (यह खंड प्रश्न के v2 में जोड़ा गया था)

सबसे अच्छी तरह से जाना जाने वाला ऊपरी ऊपरी भाग है जो पता है कि ऊपरी ऊपरी बाध्य । मुझे पता है कि सबसे निचले निचले हिस्से को एरोनसन और शी की टक्कर और तत्व भिन्नता समस्याओं के लिए निचली सीमा से आता है, जो निचले स्तर के । ( के गंभीर रूप से प्रतिबंधित संस्करणों के लिए , जैसे फॉर्मूला आकार, या डेप्थ -2 सर्किट गेट्स के साथ, हम एक अपर बाउंड सिद्ध कर सकते हैं क्वांटम क्वेरी जटिलता का उपयोग करना।)n ~ Ω (एन2/3)एसी0ओ(n2)ओ(n2)ओ(n$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$$o(n)$

संबंधित: सीमा डिग्री (v3 में जोड़ा गया)

जैसा कि Tsuyoshi टिप्पणियों में बताते हैं, यह समस्या की दहलीज डिग्री निर्धारित करने की समस्या से संबंधित है । किसी फ़ंक्शन की थ्रेशोल्ड डिग्री एक बहुपद की न्यूनतम डिग्री होती है जैसे कि और । एफपीएफ(एक्स)=$\textrm{AC}^0$$f$$p$f ( x ) = $f(x)=1 \implies p(x)>0$$f(x)=0 \implies p(x)<0$

की दहलीज डिग्री के लिए निचली सीमाएं अब शेरस्टोव द्वारा सुधार दी गई हैं। वह वैरिएबल पर निरंतर गहराई से पढ़े-एक बार फ़ार्मुलों का एक परिवार प्रदर्शित करता है जिसकी दहलीज डिग्री क्योंकि गहराई अनंत तक जाती है, जो कि लगभग तंग होती है क्योंकि रीड-वन्स फ़ार्मुलों में थ्रेसहोल्ड (लगभग) होता है ) डिग्री । Http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ देखें । (जनवरी, 2014) एनΩ($\mathrm{AC}^0$$n$ओ( √$\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$

Comments

एक निचली सीमा is (n ^ (1/3)) को थ्रेशोल्ड डिग्री (बहुपद p की न्यूनतम डिग्री जैसे कि f (x) = 1 ⇒ p (x)> 0 और f (x) = 0 ⇒ के लिए भी जाना जाता है। p (x) <0)। शेर्स्टोव द्वारा "दोहरी बहुपद का उपयोग करते हुए संचार कम सीमा" की धारा 3.1 का अंत देखें ।

— त्सुशी जोतो

@ त्सुयोशी: धन्यवाद। AC0 की दहलीज डिग्री (जो अनुमानित डिग्री को कम करती है) भी एक दिलचस्प सवाल है। सबसे कम निचली सीमाएं जो मुझे AC0 की दहलीज की डिग्री के लिए पता हैं, वे ओ'डॉनेल और सेव्डियो द्वारा बहुपद थ्रेशोल्ड कार्यों के लिए नई डिग्री सीमा में हैं । सर्किट की गहराई से बढ़ने वाले लॉग फैक्टर द्वारा निचली सीमा Ω (n ^ (1/3)) से बेहतर है।

— रोबिन कोठारी

$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$

मार्क बन और जस्टिन थेलर द्वारा हाल ही में "हार्डनेस एम्प्लीफिकेशन एंड द कॉन्प्रोक्सिमेट डिग्री ऑफ कॉन्स्टेंट-डेप्थ सर्किट्स" नामक एक पेपर भी इस समस्या पर संक्षेप में चर्चा करता है। वे कहते हैं कि ऐरसन और शी की निचली सीमा एसी <सुप> 0 </ sup> में एक फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छी ज्ञात निचली सीमा है और यह निम्न सीमा थोड़ी अधिक सामान्य मॉडल में भी है।

— रॉबिन कोठारी

Answer 1

मार्क बन और जस्टिन थेलर द्वारा एक पेपर ECCC पर हाल ही में (मध्य मार्च 2017) पोस्ट किया गया है जो इस प्रश्न का सटीक उत्तर देता है: "AC0 की अनुमानित डिग्री पर एक लगभग इष्टतम निचली सीमा"

$\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

$f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$घ = n 1 - Ω ( 1 ) डी डी एफ $D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$$d$$f$$F$

यह इस समस्या के निचले बाउंड एंड पर सबसे हाल का अपडेट है, और यह काफी महत्वपूर्ण कदम है। कागज के परिचय और आवेदन अनुभाग भी पूर्व कार्यों और संबंधित समस्याओं के लिए संदर्भ के अच्छे स्रोत हैं।

अस्वीकरण: मैंने अभी तक कागज को ध्यान से नहीं पढ़ा है।

Comments

दरअसल, यह समस्या को लगभग बंद कर देता है। वे अनुमानित डिग्री dela साथ क्वासिपोलिनोमियल आकार का एक डीएनएफ भी दिखाते हैं ।$\Omega(n^{1-\delta})$

— रॉबिन कोठारी