रैखिक स्वतंत्र फूरियर गुणांक

Question

वेक्टर रिक्त स्थान का एक बुनियादी संपत्ति है कि एक वेक्टर अंतरिक्ष है आयाम के एन - डी की विशेषता किया जा सकता है घ रैखिक स्वतंत्र रैखिक कमी - यह है कि, वहाँ मौजूद d रैखिक स्वतंत्र वैक्टर डब्ल्यू 1 , ... , डब्ल्यू डी ∈ एफ एन 2 जो कि वी से ऑर्थोगोनल हैं ।$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

एक फूरियर दृष्टिकोण से, इस कह रही है कि सूचक समारोह के बराबर है के वी है d रैखिक स्वतंत्र गैर शून्य फूरियर गुणांक। ध्यान दें कि 1 वी है 2 घ गैर शून्य कुल में फूरियर गुणांक है, लेकिन केवल d उनमें से रैखिक स्वतंत्र हैं।$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

मैं वेक्टर रिक्त स्थान की इस संपत्ति के अनुमानित संस्करण की तलाश कर रहा हूं। विशेष रूप से, मैं निम्नलिखित फ़ॉर्म का विवरण देख रहा हूँ:

चलो के आकार के हो 2 n - घ । फिर, सूचक समारोह 1 एस है ज्यादा से ज्यादा घ ⋅ लॉग ( 1 / ε ) रैखिक स्वतंत्र फूरियर गुणांक जिसका निरपेक्ष मूल्य कम से कम है ε ।$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

इस सवाल को "संरचना बनाम रैंडमनेस" के नजरिए से देखा जा सकता है - सहज रूप से, ऐसा दावा कहता है कि हर बड़े सेट को वेक्टर स्थान और छोटे पक्षपाती सेट की राशि तक विघटित किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि प्रत्येक फ़ंक्शन को "रैखिक भाग" में विघटित किया जा सकता है, जिसमें p o l y ( 1 / ε ) बड़े फूरियर गुणांक होते हैं, और एक "छद्म आयामी भाग" जिसमें छोटे पूर्वाग्रह होते हैं । मेरा प्रश्न पूछता है कि क्या रैखिक भाग में केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र फूरियर गुणांक का एक लघुगणक संख्या है ।$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Comments

हाय या, क्या आप अपने अंतिम दावे का संदर्भ दे सकते हैं कि प्रत्येक फ़ंक्शन को रैखिक भाग + छद्म आयामी भाग में विघटित किया जा सकता है? धन्यवाद!

— हेनरी यूएन

मैं इस बारे में निश्चित नहीं हूं कि यह पहली बार कहां दिखाई दिया। यह Parseval असमानता का एक सीधा परिणाम है: Parseval से, आप हर बूलियन समारोह में अधिक से अधिक सुविधाओं को प्राप्त वर्ण जिसका फूरियर गुणांक कम से कम निरपेक्ष मूल्य है ε । अब, बाद के वर्णों (समान गुणांक वाले) का योग होने के लिए "रैखिक" भाग को लें, और "छद्म आयामी भाग" अन्य सभी वर्णों (एक ही गुणांक के साथ) का योग हो। $1/\varepsilon^2$$\varepsilon$

— या मीर

Answer 1

निम्नलिखित एक काउंटर-उदाहरण नहीं है?

चलो के बहुमत हो एक्स 1 , ... , x 1 / ε 2 है, जो आकार का एक सेट का सूचक है 2 n / 2 , इसलिए घ = 1 । हालांकि, च ( { मैं } ) = Θ ( ε ) के लिए 1 ≤ मैं ≤ 1 / ε 2 , तुम हो तो 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ रैखिक स्वतंत्र बड़े फूरियर गुणांक।

Answer 2

शायद आप चाहते हैं कि कभी-कभी "चांग के लम्मा" या "टैलग्रैंड्स लेम्मा" को क्या कहा जाता है ... यहां "स्तर -1 असमानता" कहा जाता है: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

यह संकेत मिलता है कि अगर मतलब है 2 - घ तो रैखिक स्वतंत्र फूरियर गुणांक जिसका वर्ग में कम से कम है की संख्या γ 2 - डी ज्यादा से ज्यादा है हे ( घ / γ 2 ) । (ऐसा इसलिए है क्योंकि इनपुट पर एक एफ 2 -लाइनियर ट्रांसफॉर्मेशन का मतलब नहीं बदलता है, इसलिए आप हमेशा रैखिक रूप से स्वतंत्र फूरियर वर्णों को डिग्री -1 में स्थानांतरित कर सकते हैं।$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$

Comments

$\epsilon$$\gamma$