गेरथ

Question

आज्ञा देना । मैं सरल ग्राफ़ बनाने की जरूरत है जी की परिधि जी ऐसे सभी का सेट है कि जी रूपों -cycles की दोहरी बढ़त कवर जी (यह है कि, हर बढ़त द्वारा साझा किया जाता ठीक दो ग्राम -cycles), और इस तरह है कि किसी भी इन दोनों का इंटरसेक्शन जी- साइकिल या तो एक शीर्ष, एक किनारे, या खाली है। उत्पन्न रेखांकन मनमाने ढंग से बड़े होने चाहिए।$g\geq 3$$G$$g$$g$$G$$g$$g$

पीढ़ी की विधि में कुछ यादृच्छिकता होनी चाहिए, लेकिन एक तुच्छ अर्थ में नहीं। मैं काफी जटिल ग्राफ प्राप्त करने में सक्षम होना चाहता हूं। उदाहरण के लिए, विमान में आयताकार ग्रिड की कल्पना करें । यदि हम बाउंडिंग आयत के विपरीत पक्षों की पहचान करते हैं, तो हम एक ग्राफ प्राप्त करते हैं जो जी = 4 के लिए उपरोक्त सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है । मैं इस ग्राफ को सरल रूप में उत्तीर्ण करूंगा।$n\times m$$g=4$

क्या ऐसी कोई विधि है?

इसी तरह की समस्याओं के किसी भी संदर्भ की सराहना की जाती है।

Comments

तो आप चाहते हैं कि साइकिल कुछ सतह पर ग्राफ के एम्बेडिंग पॉलीहेड्रल के चेहरे हों? (एंबेड एम्बेडिंग "पॉलीहेड्रल" है यदि एम्बेडिंग का प्रत्येक चेहरा एक डिस्क है, और कोई भी दो चेहरे एक सामान्य शीर्ष साझा करते हैं, एक साझा बढ़त साझा करते हैं, या बिल्कुल भी अंतर नहीं करते हैं।)$g$

— जेफε

@ J @ ɛ ई हां। यदि सभी साइकिलों को चेहरे होने की गारंटी दी जाती है, और सभी चेहरों को जी- साइकिल होने की गारंटी दी जाती है, तो यह एक समान विवरण है। $g$$g$

— बेको जू

@ J @ ɛ E क्या आप जानते हैं कि मुझे अलग-अलग 4-नियमित रेखांकन और उनके पॉलीहेड्रल एम्बेडिंग कहां मिल सकते हैं? उनके पास विशाल रेखांकन होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैं अन्य रेखांकन देखना चाहूंगा जो मेरे द्वारा उल्लिखित गुणों के अलावा मेरे द्वारा अनुरोधित गुणों को संतुष्ट करता है। मुझे यह भी पता है कि इस उत्तर के लिए पॉलीहेड्रल एंबेडबिलिटी तय करना एनपी-पूर्ण है । उस के बावजूद, मैं एक एल्गोरिथ्म के बारे में जानना चाहता हूं जो एक पॉलीहेड्रल एंबेडिंग पाता है यदि एक है। क्या आप किसी भी संसाधन / कागज / ... के बारे में जानते हैं जो इस तरह के एक एल्गोरिथ्म की व्याख्या करता है?

— बेको जू

4 नियमित रेखांकन और पॉलीहेड्रल एम्बेडिंग के बीच एक लिंक है? क्या किसी का वर्णन है? yrs ने बेतरतीब ढंग से नियमित रेखांकन पैदा करने के लिए कागजात देखे, काफी कुछ हैं, इसलिए यदि आप नियमित ग्राफ़ के संदर्भ में इस प्रश्न को दोहरा सकते हैं, तो यह अधिक संभावनाओं को जन्म दे सकता है।

— vzn

@vzn मान लीजिए कि मेरे पास जेफ द्वारा सुझाए गए की तरह एक पॉलीहेड्रल एम्बेडिंग है। सभी चेहरे साइकिल हैं। इस एम्बेडिंग से प्राप्त दोहरा ग्राफ जी- अनियमित है। शायद यह उलटा जा सकता है: एक साथ शुरू छ नियमित ग्राफ और किसी तरह अपनी दोहरी पाते हैं। यही मेरे मन में था। $g$$g$$g$

— बेको जू

Answer 1

मेरा आधा पका हुआ विचार थोड़ा बहुत महत्वाकांक्षी था। मैं इसे संदर्भ के लिए नीचे शामिल कर रहा हूं, लेकिन मेरे द्वारा निर्दिष्ट दूरी की स्थिति वास्तव में बड़े आकार की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है।

बड़े परिधि के साथ मनमाने ढंग से बड़े उच्च सममित सतह मानचित्र हैं, लेकिन प्रकाशित अस्तित्व प्रमाण मुख्य रूप से प्रति टोपोलॉजी या ज्यामिति के बजाय समूह सिद्धांत पर आधारित हैं।

विशेष रूप से, किसी भी पूर्णांकों के लिए , डी , और r ऐसी है कि 1 / जी + 1 / घ < 1 / 2 , वहाँ एक नियमित रूप से सतह नक्शा जिसमें हर चेहरा है जी किनारों, हर शिखर डिग्री है घ , और हर गैर सिकुड़ने योग्य सतह पर चक्र कम से कम आर किनारों को पार करता है । यहां "नियमित" का अर्थ है कि दोनों प्रत्येक शिखर के पास एक ही डिग्री है और यह कि किसी भी निर्देशित किनारों की जोड़ी के लिए, एम्बेडिंग का एक स्वचालित रूप है जो दूसरे को निर्देशित किनारा भेजता है। सेटिंग $g$$d$$r$$1/g + 1/d < 1/2$$g$$d$$r$$r$इस निर्माण में पर्याप्त गारंटी देता है कि ग्राफ का आकार । उदाहरण के लिए देखें:$g$

• रोमन नेडेला और मार्टिन ierकोविएरा। बड़े प्लानर चौड़ाई वाले सतहों पर नियमित नक्शे। यूरोपीय जे। कॉम्बिनेटरिक्स 22 (2): 243--262, 2001।

• जोज़ेफ़ ňiráŠ। त्रिभुज समूह निरूपण और नियमित मानचित्रों का निर्माण। प्रोक। लंदन मठ। समाज। 82 (3): 513-532, 2001।

एक बार जब आपके पास एक ऐसा सतह मानचित्र होता है, तो एक ही परिधि और डिग्री के साथ बड़े मानचित्र कवरिंग रिक्त स्थान का निर्माण करके उत्पन्न किए जा सकते हैं।

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इस तरह के रेखांकन उत्पन्न करने का एक (आधा-बेक्ड) तरीका है। निम्नलिखित गुणों के साथ को एक समतल ग्राफ होने दें :$G$

• का हर घिरे चेहरे बिल्कुल है जी किनारों।$G$$g$

• बाहरी चेहरे में किनारों की एक समान संख्या है; जी के इन किनारों को बुलाओ । (यह स्थिति स्वचालित रूप से तब होती है जब जी भी होता है; यदि जी विषम है, जी के पास बंधे हुए चेहरों की संख्या भी होनी चाहिए।)$G$$G$$g$$g$$G$

• की सीमा किनारों को बाँधना संभव है , ताकि किसी सीमा किनारे से उसके साथी तक जी में दूरी कम से कम जी हो । यह स्थिति वास्तव में पर्याप्त नहीं है; यहां आवश्यक सटीक स्थिति स्पष्ट नहीं है।$G$$G$$g$

इन गुणों के साथ मनमाने ढंग से बड़े प्लेन ग्राफ का निर्माण जी- गुंडों द्वारा हाइपरबोलिक प्लेन के नियमित टाइलिंग के$g$ एक पर्याप्त बड़े परिमित भाग में करके किया जा सकता है ।

अंत में, एक सतह ग्राफ प्राप्त करने के लिए जहां हर चेहरे की लंबाई है जी , में सीमा किनारों के जोड़े की पहचान जी को जोड़ी ऊपर वर्णित अनुसार। की घिरा चेहरे जी के एक सेलुलर एम्बेडिंग के चेहरे बन जी ' पर कुछ सीमा के बिना बंद सतह। दूरी जोड़ी की गारंटी देता है पर शर्त यह है कि की परिधि जी ' है  जी ।$G'$$g$$G$$G$$G'$$G'$$g$

दोनों का चयन करके और युग्मन अधिक ध्यान से, एक बार मनमाने ढंग से बड़े निर्माण कर सकते हैं घ - नियमित रूप से किसी भी पूर्णांकों के लिए अपने परिधि हालत संतोषजनक रेखांकन, घ और छ ऐसी है कि 1 / घ + 1 / छ < 1 / 2 । इन बाधाओं के भीतर भी, निर्माण में बहुत सारी स्वतंत्रताएं हैं।$G$$d$$d$$g$$1/d + 1/g < 1/2$

Comments

इसके अलावा, इस निर्माण से आपको मिलने वाले ग्राफ़ विस्तारक हैं।

— जेफ

जब मैं सीमा किनारों की एक जोड़ी की पहचान करता हूं, तो मैं यह कैसे सुनिश्चित कर सकता हूं कि किनारों के अन्य जोड़े अभी भी एक दूसरे से दूर हैं? $g$

— बेको जू

एक विस्तारक ग्राफ क्या है ?

— बेको जू

@becko, आपको Google से पूछना चाहिए :) en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph

— Kaveh

@ केव ओके। क्षमा करें मुझे याद है कि :)

— becko