इस कवरिंग समस्या की जटिलता क्या है?

Question

संपादित करें: मैंने पहले अपने अवरोध (2) को गलत बताया, अब इसे ठीक कर लिया गया है। मैंने और जानकारी और उदाहरण भी जोड़े।

कुछ सहयोगियों के साथ, कुछ अन्य एल्गोरिदमिक प्रश्न का अध्ययन करते हुए, हम अपनी समस्या को निम्न दिलचस्प समस्या तक कम करने में सक्षम थे, लेकिन हम इसकी जटिलता के सवाल को हल करने में सक्षम नहीं थे। समस्या इस प्रकार है।

उदाहरण: एक पूर्णांक , एक पूर्णांक , और एक सेट की सेट से जोड़े ।$n$$k<n$$S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$$n$$\{1,\ldots,n\}$

प्रश्न: वहाँ एक सेट है आकार की कश्मीर ऐसी है कि प्रत्येक तत्व के लिए मैं के \ {1 \ ldots, n \} : (1) यदि मैं <n , अंतराल [मैं, i + 1] है कुछ अंतराल में शामिल [s_i, t_i] S ' में एक जोड़ी द्वारा परिभाषित किया गया है , और (2) कम से कम एक i , i + 1 , S की किसी जोड़ी से संबंधित है ? (२) मैं S ' की किसी जोड़ी से संबंधित हूं ।$S'\subseteq S$$k$$i$$\{1,\ldots,n\}$
$i<n$$[i,i+1]$$[s_i,t_i]$$S'$
$i$$i+1$$S'$
$i$$S'$

उदाहरण
सेट $\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$ एक व्यवहार्य समाधान है (यह मानते हुए $n$ भी है): जोड़ी $\{1,n\}$ स्थिति (1) सुनिश्चित करता है, जबकि अन्य सभी जोड़े शर्त (2) सुनिश्चित करते हैं।

टिप्पणी
(I) चूंकि प्रत्येक जोड़ी में ठीक दो तत्व होते हैं, शर्त (2) को पूरा करने के लिए, हमें कम से कम $\frac{n}{2}$ जोड़े की आवश्यकता होती है। BTW का तात्पर्य है कि संपूर्ण S को वापस करके एक 2-सन्निकटन है $S$, क्योंकि हम मानते हैं $|S|\leq n$ ।

(II) समस्या को देखने का एक और तरीका यह है कि सीढ़ी के n चक्रों के सेट S के साथ $n$ चरणों (जैसे नीचे वाला ) के साथ एक सीढ़ी पर विचार किया जाए। सीढ़ी का प्रत्येक चरण किसी न किसी तत्व से मेल खाता है, और प्रत्येक किनारे एक अंतराल है [i, i + 1] । चरणों सहित एक चक्र , t एक जोड़ी \ {s, t \} से मेल खाता है : यह s और t के बीच लगातार सभी अंतराल को कवर करता है , और यह s और t दोनों पर रुकता है । सवाल यह है कि क्या कश्मीर का एक सेट S '\ subseteq S है$S$$n$$[i,i+1]$$s,t$$\{s,t\}$$s$$t$$s$$t$
$S'\subseteq S$$k$चक्र जिसका संघ सीढ़ी के सभी किनारों (कदम के किनारों और साइड किनारों सहित) को कवर करता है।

(III) यदि कोई केवल शर्त (1) के लिए कह रहा था, तो समस्या से जोड़े के अतिरिक्त छोटे अंतराल के साथ दिए गए अंतराल से परिभाषित कुछ अंतराल ग्राफ में वर्चस्व सेट समस्या के अनुरूप होगी प्रत्येक के लिए में । यह समस्या रैखिक समय में शास्त्रीय रूप से हल करने योग्य है (उदाहरण के लिए यहां देखें )। इसी तरह, यदि कोई केवल स्थिति (2) के लिए पूछ रहा था, तो इसे एज कवर की समस्या में कम किया जा सकता है (कोने तत्व हैं, किनारे जोड़े हैं), जो कि अधिकतम मिलान दृष्टिकोण द्वारा बहुपद-समय विलेय भी है।$[s_i,t_i]$$S$$[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$$i$$\{1,\ldots, n-1\}$

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तो मेरा सवाल शीर्षक में है:

P में यह समस्या है? क्या यह एनपी-पूर्ण है?

इसी तरह की समस्या का कोई भी संदर्भ स्वागत योग्य है।

Comments

यह बीच में कहीं हो सकता है ... कौन जानता है कि यह ग्राफ समरूपतावाद के बराबर नहीं हो सकता है? :)

— त्सुकोशी इतो

ज़रूर, यह भी एक विकल्प है ... लेकिन वास्तव में मुझे यह "महक" पी में होने का एहसास है - शायद इसलिए कि मुझे यह होने की उम्मीद है :)

— फ्लोरेंट फौकॉड

किसी भी संभव समाधान का आकार क्यों होना चाहिए ? क्या आप कृपया, यह बता सकते हैं कि जोड़े का सेट { } संभव नहीं है। [1,एन-1],[2,एन$\geq \frac{n}{2}$$[1, n-1], [2, n]$

— hbm

@hbm: जो समाधान आप प्रस्तावित कर रहे हैं, वह शर्त (2) (मेरे अद्यतन से पहले की बाधा के साथ भी) पूरा नहीं करता है। मैंने अभी और स्पष्टीकरण शामिल किए हैं, मुझे आशा है कि यह स्पष्ट है।

— फ्लोरेंट फौकुड

K = n / 2 के बारे में क्या? क्या हम इस विशेष मामले के लिए समस्या का समाधान कर सकते हैं?

— डोमोटरप

Answer 1

यद्यपि यह आपके द्वारा उठाए गए प्रश्न को हल नहीं करता है, पिछली टिप्पणियों में से कुछ सन्निकटन एल्गोरिदम पर विचार करते हैं। एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, मुझे लगता है कि गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग करके पीटीएएस (पॉली-टाइम अनुमानित योजना) संभव है। यहाँ विचार है।

किसी भी उदाहरण और को देखते हुए , निम्नानुसार एक समाधान बनाएं। हर वें शीर्ष पर चिह्नित करें । प्रत्येक शिखर चिह्नित के लिए किनारों के सभी से, है कि "काल" (यानी, उस के लिए बाधा (1) को संतुष्ट ), एक किनारे कि कम करता चुनें और एक कि कम करता अधिकतम । इन किनारों को समाधान में जोड़ें।( 1 / ε ) मैं ( j , k ) मैं मैं j कश्मीर 2 ε $\epsilon > 0$$(1/\epsilon)$$i$$(j,k)$$i$$i$$j$$k$$2 \epsilon n$

ये किनारों में से कई के लिए प्रकार (1) की बाधाओं को पूरा करते हैं। इस बीच वे समाधान के लिए किनारों का योगदान करते हैं, जो केवल । खत्म करने के लिए, हम किनारों के एक सेट को खोजने की शेष समस्या का एक इष्टतम समाधान पाएंगे जो सभी शेष प्रकार (1) और प्रकार (2) की कमी को पूरा करता है।ओ ( ϵ ऑप्ट$2n\epsilon$$O(\epsilon \mbox{OPT})$

लगातार लम्बाई का एक सेट होने के लिए "ब्लॉक" का एक "ब्लॉक" परिभाषित करें जिसका प्रकार (1) बाधाओं को अब तक जोड़े गए किनारों से पूरा किया जाता है। किसी भी लगातार दो ब्लॉकों के बीच, एक क्रम होता है जिसका प्रकार (1) की कमी पूरी नहीं होती है। (इस तरह के किसी भी अनुक्रम की लंबाई सबसे अधिक , क्योंकि चिह्नित कोने में उनके प्रकार (1) पहले से जोड़े गए किनारों से मिले अवरोध हैं।) ऐसे किसी भी क्रम को दो आसन्न ब्लॉकों के "पड़ोस" (प्रत्येक ब्लॉक) में कॉल करें। इसके बाईं ओर एक पड़ोस और इसके दाईं ओर एक पड़ोस)।$1/\epsilon$

प्रत्येक पड़ोस के भीतर, पड़ोस में प्रत्येक शिखर के लिए, प्रत्येक किनारे को छोड़ते हुए शीर्ष पर अधिकतम की दूरी होती है (क्योंकि किनारे किसी भी चिह्नित शीर्ष पर नहीं होता है)। इस प्रकार, शीर्ष पर अधिकांश की डिग्री है । इस प्रकार, प्रत्येक पड़ोस में अधिकतम कोने हैं और अधिकतम किनारों पर छूता है । उन किनारों के किसी भी सबसेट को पड़ोस का "कॉन्फ़िगरेशन" कहें। यदि कॉन्फ़िगरेशन सभी प्रकार (1) से मिलता है और पड़ोस में कोने के लिए टाइप (2) की कमी होती है, तो कॉन्फ़िगरेशन को "वैध" कहें।1 / ε 1 / ε 1 / ε $1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon^2$

प्रत्येक ब्लॉक , प्रत्येक जोड़ी के लिए ब्लॉक के दो पड़ोसों के वैध विन्यासों की गणना करें, गणना करें (बहुपद समय में, अधिकतम मिलान आदि का उपयोग करके), न्यूनतम आकार किनारों के किसी भी सेट (यदि कोई मौजूद है) ऐसे कि में किनारों को ब्लॉक में कोने के लिए टाइप (2) से मिलता है। चूंकि अधिकांश कॉन्फ़िगरेशन हैं, यह बहुपद समय (निश्चित ईपीएस के लिए) में किया जा सकता है। $i$$(C_i, C_{i+1})$$F_i(C_i,C_{i+1})$$S$$C_i\cup S \cup C_{i+1}$$2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

अब आप एक उदाहरण को मान्य कॉन्फ़िगरेशन का पता लगाकर हल कर सकते हैं , प्रत्येक पड़ोस के लिए एक, जो कम , जहां को पिछले पैराग्राफ में परिभाषित किया गया है। यह सभी वैध विन्यासों द्वारा निर्मित ग्राफ में सबसे छोटा मार्ग किया जा सकता है, जिसमें लागत की एक सीमा होती है प्रत्येक विन्यास से पड़ोस के लिए हर विन्यास के पड़ोस के लिए । (इस ग्राफ का आकार , जो फिक्स्ड लिए । "$D_1, D_2, .., D_k$$\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$F_i$$|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$D_i$$i$$D_{i+1}$$i+1$हे(एन)$O(2^{1/\epsilon^2} n)$$O(n)$$\epsilon$

Comments

अच्छा लगा। और cstheory में आपका स्वागत है!

— सुरेश वेंकट

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, नील (और क्षमा करें, मेरे पास यह पहले जांचने का समय नहीं था)! हालांकि यह मेरे सवाल का पूरी तरह से जवाब नहीं देता है, फिर भी यह एक कदम आगे है। बस दो टिप्पणियाँ: मुझे लगता है कि यह "k को कम करता है" (द्वितीय पैरा) के बजाय "अधिकतम k" होना चाहिए। इसके अलावा, सटीक होने के लिए, यदि कोई एक ( ) -approximation चाहता है, तो किसी को प्रत्येक के वें शीर्ष पर निशान लगाना चाहिए (चूंकि और हम तब लेते हैं। पहले चरण में किनारों)। कश्मीर = 4 / ε हे पी टी ≥ n / 2 2 n / कश्मीर ≤ ε हे पी $1+\epsilon$$k=4/\epsilon$$OPT\geq n/2$$2n/k\leq\epsilon OPT$

— फ्लोरेंट फौकाड