औसत विकृति एम्बेडिंग

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दो मीट्रिक रिक्त स्थान और और एक एम्बेडिंग । पारंपरिक मीट्रिक स्थान embeddings की गुणवत्ता को मापने मूल की बुरी से बुरी हालत अनुपात अंतिम दूरी के रूप में: $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

हालांकि गुणवत्ता के अन्य उपाय हैं: Dhamdhere et al "औसत" विकृति का अध्ययन करते हैं:

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

हालाँकि, मैं जिस चीज़ में दिलचस्पी रखता हूँ, वह है एमडीएस जैसी विधियों का उपयोग, जो औसत योजक त्रुटि को देखता है :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

हालाँकि, MDS जैसी विधियों का बड़े पैमाने पर सिद्धांत सीसीएससी के बाहर अध्ययन किया जाता है, लेकिन मुझे केवल एक ही पेपर के बारे में पता है ( धम्मधर एट अल द्वारा ) जो इस उपाय के तहत अनुकूलन की जांच करता है, और वह भी लाइन पर एम्बेड करने की सीमित समस्या के लिए ( ) (साइड नोट: टासोस सिड्रोपोलस ' 2005 एमएस थीसिस में पहले के काम की अच्छी समीक्षा है) $Y = \mathbb{R}$

क्या कोई और हालिया काम है कि लोग इस त्रुटि की धारणा के तहत कठोर गुणवत्ता विश्लेषण के बारे में जानते हैं? जबकि ये समस्याएं आम तौर पर एनपी-हार्ड होती हैं, जो मुझे अधिक पसंद हैं वे किसी भी प्रकार के सन्निकटन हैं।

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— सुरेश वेंकट
स्रोत

3

$\epsilon^2$

$O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

$\log^c(n)$

— मोरित्ज़
स्रोत

यह एक अच्छा सुझाव है। मैं निश्चित रूप से मीट्रिक लेबलिंग के काम पर ध्यान दूंगा। यह ज्ञात है कि यहां तक कि लाइन पर एम्बेड करना अधिकतम एसएनपी-कठिन है, लेकिन मजबूत परिणाम देखने के लिए यह दिलचस्प (निराशाजनक) होगा।

— सुरेश वेंकट

2

$\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

$\ell_2$

— आदित्य
स्रोत

अच्छी बात। मैंने अपना जवाब बदल दिया।

— मोरिट्ज़

ϵ

$\epsilon$

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$ । क्या हम (कास्ट डिग्री) विस्तारकों के लिए ऐसी एम्बेडिंग प्राप्त कर सकते हैं? (या साबित करना संभव नहीं है?)

— आदित्य