?

डिक लिपटन के ब्लॉग को पढ़ते हुए, मैंने उसके बॉर्न फैक्टर पोस्ट के अंत के पास निम्नलिखित तथ्य को ठोकर मार दी :

यदि, प्रत्येक $n$ , फॉर्म का कोई संबंध मौजूद है
$(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}$ $(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$ जहां $m = poly(n)$ , और से प्रत्येक $a_k$ , $b_k$ और $c_k$ हैं $poly(n)$ बिट लंबाई में, फिर फैक्टरिंग में बहुपद आकार के सर्किट होते हैं।

दूसरे शब्दों में, , जिसमें बिट्स की एक घातीय संख्या होती है , संभावित रूप से कुशलता से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। $(2^n)!$

मेरे कुछ प्रश्न हैं:

क्या कोई उपरोक्त संबंध का प्रमाण दे सकता है, मुझे नाम बता सकता है और / या कोई संदर्भ प्रदान कर सकता है?
अगर मैं तुम्हें देने के लिए थे , और से प्रत्येक , और , तुम मेरे संबंध की वैधता की जांच करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म प्रदान कर सकता है (यानी उस में है )? $n$ $m$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $NP$

— user834
स्रोत

क्या ब्लॉग पोस्ट वास्तव में इस दावे का दावा नहीं करता है? यही है, अगर उपरोक्त फॉर्म

समीकरण

समाधान है सामान्य रूप में , तो फैक्टरिंग बहुपद आकार सर्किट है।

(2^{n})! = \sum \dots

$(2^n)! = \sum \cdots$

— mikero

मुझे लगता है कि आपने वास्तव में डिक लिपटन ने जो लिखा था, उसके उलट लिखा था। उनका कहना है कि अगर ऐसा समीकरण हर

लिए मौजूद है , तो फैक्टरिंग में बहुपद आकार के सर्किट होते हैं। तो निहितार्थ यह है कि यदि फैक्टरिंग गैर-समान रूप से कठिन है (असीम रूप से कई

) तो उपरोक्त फॉर्म के समीकरण मौजूद नहीं हैं (असीम रूप से कई

)।

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— साशो निकोलेव

@ मिकेरो, सैशोनिकोलोव, आप दोनों सही हैं, मेरी माफी। मैंने अपना प्रश्न संपादित किया है।

— user834

ध्यान दें कि "बहुपद समय एल्गोरिथ्म" का अर्थ आमतौर पर एक समान एल्गोरिथ्म है। लिपटन का पद केवल फैक्टरिंग के लिए एक पॉलीसीज़ सर्किट परिवार के अस्तित्व का दावा करता है।

— साशो निकोलेव

ध्यान दें कि क्रम में इस संपत्ति के सच होने के लिए,

और

होना चाहिए

सा आकार में / लिप्टन के ब्लॉग /, और पर कहा गया के रूप में

पूर्णांक के रूप में । आपकी परिभाषा स्पष्ट नहीं है।

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

p o l y (n)

$poly(n)$

p o l y (2^{n})

$poly(2^n)$

— गोपी

मैं इस सवाल पर टिप्पणी क्यों करूँगा (हर के लिए ) फैक्टरिंग मदद करता है। मैं तर्क को बिल्कुल समाप्त नहीं कर सकता, लेकिन शायद कोई कर सकता है।

(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}

$(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$

n

$n$

पहले अवलोकन है कि एक रिश्ता ऊपर के रूप में (और अधिक आम तौर पर, के लिए पाली आकार अंकगणित सर्किट के अस्तित्व है ) कंप्यूटिंग के लिए एक पाली आकार सर्किट देता है के लिए बाइनरी में दी गई: बस राशि का मूल्यांकन सापेक्ष , बार-बार squaring द्वारा घातांक का उपयोग कर। $(2^n)!$ $(2^n)!\bmod x$ $x$ $x$

अब, अगर हम गणना कर सकते हैं मनमाना के लिए , हम सकता है कारक : द्विआधारी खोज का उपयोग कर, छोटी से छोटी खोजने के ऐसी है कि (जो हम प्रयोग कर गणना कर सकता है )। तब को का सबसे छोटा प्रधान विभाजक होना चाहिए । $y!\bmod x$ $y$ $x$ $y$ $\gcd(x,y!)\ne1$ $\gcd(x,(y!\bmod x))$ $y$ $x$

हम केवल की शक्तियों कर सकते हैं के लिए , हम अभी भी गणना करने के लिए कोशिश कर सकते हैं के लिए हर । इनमें से एक का एक nontrivial भाजक होगा , दुर्भाग्यपूर्ण मामले को छोड़कर जब कोई ऐसा होता है कि का सहानुभूति है , और विभाजित । यह कहने के बराबर है कि $2$ $y$ $\gcd(x,(2^n)!)$ $n\le\log x$ $x$ $n$ $x$ $(2^n)!$ $(2^{n+1})!$ $x$ वर्ग-मुक्त है, और इसके सभी प्रमुख कारकों की लंबाई समान है। मुझे नहीं पता कि इसमें क्या करना है (बल्कि महत्वपूर्ण, cf. ब्लम पूर्णांक) मामला।

— एमिल जेकाबेक मोनिका का समर्थन करता है
स्रोत

संबंध (सभी के लिए रखती है, तो

), तो शायद यह भी (का एक अलग विकल्प के साथ रखती है

और

) जब हटाकर एक

एक और (छोटे) प्रधानमंत्री, साथ

। शायद ही कोई खोज सकता है जब तक कि एक

ऐसा नहीं मिलता है कि

कोप्रेम

और नहीं

n

$n$

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

2

$2$

p

$p$

p

$p$

x

$x$

(p^{n})!

$(p^n)!$

(p^{n + 1})!

$(p^{n+1})!$

— user834