बहुभुज सामान्यीकरण समस्या के भीतर बहुभुज

Question

मैं नीचे दिए गए सभी पदों के लिए क्षमा चाहता हूं। मूल रूप से इसे पोस्ट करने के लिए गलत फोरम उठाया। हालांकि इसके बजाय यह एक पूरी बर्बादी है कि मैंने प्रश्न को "थ्योरिटिकल कंप्यूटर साइंस" समस्या होने के लिए फिर से काम किया है।

समस्या: एक 2D प्लेन में n ऑर्डर किए गए पॉइंट्स का एक सेट लेने वाला एल्गोरिदम बनाएँ जो एक साधारण बहुभुज A का समोच्च बनाता है जो अवतल हो सकता है या नहीं हो सकता है और नए बहुभुज B बनाता है जिसमें m पॉइंट्स ऐसे हों:

1. A के सभी बिंदु B के भीतर समाहित हैं
2. 3 <= एम <एन
3. बी सबसे छोटे क्षेत्र के साथ सभी बी एस के सेट में बहुभुज है
4. बी एक साधारण बहुभुज (यानी कोई आत्म-चौराहा) नहीं होना चाहिए।
5. एल्गोरिथ्म का इनपुट बहुभुज A और "m" है।
6. A के सेगमेंट वाले B के सेगमेंट के संयोग की अनुमति है।

कुछ उदाहरण इनपुट और अपेक्षित आउटपुट:

1. यदि A वर्ग है और m 3 है तो B वह सबसे छोटा सतह क्षेत्र है जिसमें A होता है।
2. यदि A एक षट्कोण है और m 4 है तो B एक सबसे छोटा सतह क्षेत्र है जिसमें A होता है।

इस समस्या को आज़माने वाले सभी को शुभकामनाएँ। मैं आपसे वादा कर सकता हूं कि यह विशेष रूप से अब बहुत कठिन होगा कि समाधान इष्टतम होना चाहिए।

Comments

@ जो: सच नहीं है: यदि A एक वर्ग है, तो तिरुअन न्यूनतम क्षेत्रफल त्रिकोण के लिए पूछ रहा है जिसमें A है। दूसरी तरफ, यदि A त्रिकोण है ($n=3$) तो वास्तव में कोई वैध समाधान नहीं है।

— जेफ़

मेरी पहली टिप्पणी में 17 जोड़ें, मुझे लगता है। 20 क्यों?

— जेफ़

FFT "जटिल" के लिए कम सीमा नहीं है?

— साशो निकोलेव

मुझे नहीं लगता कि यह पूरी तरह से सच है कि समस्या बिल्कुल नहीं बदलती है यदि आप (कहते हैं) सेट m = 3. समस्या यह है कि आपको मीटर में समय की आवश्यकता हो सकती है, और यह ठीक है अगर मीटर कुछ संख्या में तय हो, लेकिन अगर एम इनपुट का हिस्सा है तो ठीक नहीं है।

— सुरेश वेंकट

"हर कोई जानता है कि समस्या क्या है" सच नहीं है। हम पूछ रहे हैं क्योंकि निर्दिष्ट विकल्पों में अंतर नहीं है।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

मुझे नहीं पता कि आपके बहुभुज कैसे दिखते हैं, लेकिन शायद रेमर-डगलस-पीकर एल्गोरिथ्म का एक सरल संस्करण है:

• प्रत्येक उत्तल भाग के लिए, क्षेत्र की गणना करें$A_j$ त्रिकोणों में से $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ लगातार तीन बिंदुओं द्वारा गठित;
• प्रत्येक अवतल भाग के लिए, क्षेत्र की गणना करें$B_k$ दो त्रिकोणों में से $P_i P'_i P_{i+1}$ तथा $P_{i+1} P'_{i+2} P_{i+2}$ दो बिंदुओं के विस्तार द्वारा गठित $P_i, P_{i+2}$ और मध्य बिंदु $P_{i+1}$
• इसे परिकलित करें $min\{A_j,B_k\}$ और इसी बिंदु को हटा दें (और यदि अवतल भाग पर ऑपरेशन किया जाता है तो बिंदुओं को शिफ्ट करें);
• तब तक घुमाओ $n-m$ अंक हटा दिए गए हैं।

बहुभुज की सीमा ($A_j$ हरे त्रिकोण, $B_k$लाल त्रिकोण)। दाईं ओर, दो बिंदुओं के उन्मूलन के बाद की सीमा।

अधिक जटिल एल्गोरिदम के लिए आप " बहुभुज सामान्यीकरण तकनीकों " की खोज कर सकते हैं, हालांकि आपकी पहली स्थिति (ए में अंक बी में निहित हैं) का अर्थ है कुछ अतिरिक्त स्केलिंग ऑपरेशन।

Comments

@ सुरेश: मुझे पूरा यकीन है कि वर्तमान 4 उतार-चढ़ाव पारदर्शिता के लिए हैं, न कि (लगभग तुच्छ) एल्गोरिथ्म के लिए :)

— Marzio De Biasi

यह रैमर-डगलस-पुकर एल्गोरिदम के समान समस्या से ग्रस्त है: आउटपुट एक साधारण बग्गोन होने की गारंटी नहीं है!

— जेएफ

@ जेफे: आप सही कह रहे हैं, लेकिन (यदि बहुभुज जटिल है तो इष्टतम से बहुत दूर) एक सरलीकरण से बच सकता है जो संघर्ष का कारण बनता है । अंत में, यदि अन्य बिंदु हैं जिन्हें हटाया जाना चाहिए लेकिन गैर-साधारण बहुभुज को टाला नहीं जा सकता है, तो एक संघर्ष समाधान विधि का उपयोग करें (उदाहरण के लिए चौराहे के बिंदुओं की गणना करें और "छेद" को पूरी तरह से छोड़ दें)। हालाँकि मैं ओपी से एक वास्तविक उदाहरण देखना चाहूंगा।

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi यह काम कर सकता है। लेकिन यह नहीं हो सकता है। मुझे लगता है कि यह हर सरलीकरण के लिए संभव है जिसे आप आत्म-प्रतिच्छेदन का कारण बताते हैं। और "बाहर फेंकने वाले छोरों" चीजों को बदतर बना सकते हैं, बेहतर नहीं। यह शायद व्यवहार में एक अच्छा समाधान है, लेकिन याद रखें कि हम कहाँ हैं!

— जेफ

धन्यवाद Marzio, मुझे अब कम से कम पता है कि इस प्रकार की समस्याओं को अब क्या कहा जाता है! दुख की बात है कि आपने जो समाधान दिया है, वह (3) और (4) मेरे सुझाए गए समाधानों में हैं और (4) इसके साथ एक मुद्दा है। एलिप्स जो बहुत फैला हुआ है, और इस तरह कोणों के साथ तेज युक्तियां हैं 30 डिग्री और उससे कम, आसानी से आवश्यकता (1) का उल्लंघन होगा।

— 13

Answer 2

मैंने बहुत पहले एक पत्र लिखा था कि एक बिंदु सेट (या बहुभुज) को घेरते हुए सबसे छोटे क्षेत्र त्रिकोण को खोजने के लिए एक रेखीय-समय एल्गोरिथ्म का विस्तृत विवरण:

जे। ओ राउरके, आलोक अग्रवाल, संजीव मदिला, माइकल बाल्डविन, " जे। अल्गोरिद्म , 1986, 7 : 258--269 " न्यूनतम एल्गोरिदम खोजने के लिए एक इष्टतम एल्गोरिथ्म । लिंक करें ।

हमारा काम एक सामान्य एल्गोरिदम द्वारा पीछा किया गया था:

आलोक अग्रवाल, जेएस चांग और ची के। याप, द विजुअल कंप्यूटर , वॉल्यूम 1, नंबर 2 (1985), 112-117 "पॉलीगनों का न्यूनतम क्षेत्र।" लिंक करें ।

आप Google विद्वान का उपयोग उन बाद के पत्रों को ट्रैक करने के लिए कर सकते हैं जो सुधार और संबंधित कार्यों को खोजने के लिए इन्हें उद्धृत करते हैं।