परिकलित विकारों की परिमित जटिलता

Question

एक पिछले प्रश्न में , पैमाइश के लिए पैरामीट्रिज्ड अल्गोरिदम फॉर बिचैलिक्स , मैंने पूछताछ की कि क्या कोई खोजने के लिए तेज पैरामीरिज्ड एल्गोरिदम थे$k\times k$एक में -Biclique $n$ वर्टेक्स ग्राफ और पता चला कि यह FPT wrt था तो यह खुला था $k$। गिनती के लिए भी यही सच है$k\times k$-बिकलाइट्स, या यह ज्ञात है कि यह # है$W\[1\]$—हृद wrt $k$ (या कठोरता की कुछ अन्य धारणा)?

मुझे पता है कि गिनती प्रेरित थी $k\times k$-बिक्री # हैं$W\[1\]$-हार्ड, सर्ज गैस्पर्स की थीसिस में धारा 4.5 में प्रेरित बाइसिकल खोजने के लिए एक सरल कमी का विस्तार ।

Answer 1

यह एक मानक प्रक्षेप तर्क द्वारा #W [1] -हार्ड होना चाहिए। यहाँ एक मोटा स्केच है।

सबसे पहले, बिक्लिक समस्या के बहुरंगी संस्करण पर विचार करें: एक ग्राफ दिया गया जिसका सेट सेट कक्षाओं में विभाजित किया गया है $X_1,\dots, X_{2k}$, प्रत्येक सेट से एक वर्टेक्स युक्त बाइसिकल खोजें। बाइक्लिक के विपरीत, जिसकी FPT स्थिति खुली है, इस बहुरंगी संस्करण को W [1] -हार्ड के रूप में जाना जाता है: इसमें क्लिक से एक आसान कमी है। मेरा मानना ​​है कि यह #W [1] -हार्ड भी होना चाहिए।

एक ग्राफ दिया $G$ और ऊपर के रूप में विभाजन, आइए हम एक नया ग्राफ प्राप्त करें $G'$ के प्रत्येक शीर्ष को प्रतिस्थापित करके $X_i$ आकार के एक स्वतंत्र सेट के साथ $x_i$ (और प्रत्येक किनारे को बीच में बदल रहा है $X_i$ तथा $X_j$ एक के द्वारा $x_i\times x_j$biclique)। अब की संख्या$k\times k$ में bicliques $G'$ का एक कार्य है $2k$ चर $x_1,\dots,x_{2k}$। वास्तव में, कोई यह देख सकता है कि यह फ़ंक्शन बहुपद की डिग्री है$2k$ और शब्द का गुणांक $x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$ वास्तव में बहुरंगी bicliques की संख्या है $G$। इस प्रकार चर में मूल्यों के कई संयोजन को पर्याप्त रूप से प्रतिस्थापित करके$x_i$ और में bicliques की संख्या की गिनती $G'$, हम इस बहुपद का मूल्यांकन प्रक्षेप द्वारा अपने गुणांक को पुनर्प्राप्त करने के लिए पर्याप्त रूप से कई स्थानों पर कर सकते हैं।

Comments

धन्यवाद डैनियल, यह सही समझ में आता है! मैंने यह भी पाया कि मार्क थर्ले

— Andreas Björklund

और परसिमेंट से कमी $k$-बहुत से बहुरंगी $k\times k$-Biclique, अपेंडिक्स B में Pages.cs.wisc.edu/~holger/papers/dm12soda.pdf पर है

— Andreas Björklund