पी में समस्याओं के लिए अनुमान एल्गोरिदम

Question

एक आमतौर पर एनपी-कठिन समस्याओं के समाधान (गारंटी के साथ) के बारे में सोचता है। क्या पी में पहले से ही ज्ञात समस्याओं के बारे में कोई शोध चल रहा है? यह कई कारणों से एक अच्छा विचार हो सकता है। मेरे सिर के ऊपर, एक सन्निकटन एल्गोरिथ्म एक बहुत कम जटिलता (या यहां तक ​​कि बहुत छोटा निरंतर) के साथ चल सकता है, कम जगह का उपयोग कर सकता है या बहुत बेहतर समानांतर हो सकता है।

इसके अलावा, ऐसी योजनाएँ जो समय / सटीकता ट्रेडऑफ़ प्रदान करती हैं (एफपीटीएएस और पीटीएएस की) पी में होने वाली समस्याओं के लिए बहुत आकर्षक हो सकती हैं, जो बड़े इनपुट पर अस्वीकार्य हैं।

तीन प्रश्न: क्या ऐसा कुछ है जो मुझे याद आ रहा है जो स्पष्ट रूप से एक बुरा विचार है? क्या इन एल्गोरिदम का एक सिद्धांत विकसित करने पर शोध चल रहा है? यदि नहीं, तो कम से कम, क्या कोई व्यक्ति ऐसे एल्गोरिदम के व्यक्तिगत उदाहरणों से परिचित है?

Comments

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति (जैसे, -nets) और संख्यात्मक रैखिक बीजगणित (उदाहरण के लिए, विभिन्न पुनरावृत्त तरीके) पी में तुच्छ होने वाली समस्याओं के लिए अनुमानित एल्गोरिदम के बहुत सारे उदाहरण प्रदान करते हैं, लेकिन सटीक जीनोमियल-टाइम एल्गोरिदम भारी वास्तविक के लिए निषेधात्मक रूप से महंगे हो सकते हैं- दुनिया डेटा सेट। $\epsilon$

— जुक्का सुओमेला

Cstheory.stackexchange.com/questions/9998/… देखें ।

— त्सुयोशी इतो

Answer 1

जैसा कि जुक्का बताते हैं, कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याओं का एक समृद्ध स्रोत है जिसे बहुपद समय में हल किया जा सकता है, लेकिन हम तीव्र सन्निकटन प्राप्त करना चाहते हैं। क्लासिक "आदर्श" परिणाम एक "LTAS" (रैखिक समय सन्निकटन योजना) है जिसका चलने का समय फॉर्म - आमतौर पर ये एक निरंतर निकालने के द्वारा प्राप्त किए जाते हैं (पाली ( )) डेटा से कर्नेल को आकार देते हैं, और उस कर्नेल पर एक महंगा एल्गोरिथ्म चलाते हैं, इस गारंटी के साथ कि कर्नेल पर एक सटीक समाधान पूरे इनपुट पर एक अनुमानित समाधान है।$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$$1/\epsilon$

कई चालें, कटौती और सिद्धांत हैं, और सरिएल हर-पेलेड की नई किताब इनसे भरी हुई है। मुझे नहीं लगता कि इस तरह से एक समृद्ध जटिलता सिद्धांत है।

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मुझे लगता है कि यह एक "सिद्धांत" के सबसे करीब है जिसे कोई भी प्राप्त कर सकता है। मैं पुस्तक पर एक संपूर्ण नज़र डालूंगा। धन्यवाद!

— अनलगिंडी

Answer 2

में समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने वाले हाल के पत्रों की गैर-विस्तृत सूची$P$

1) लगभग रेखीय समय में रैखिक समीकरणों (सममित तिरछे प्रमुख) के लिए अनुमानित समाधानों पर बड़ी मात्रा में काम होता है।$\mathcal{O}(n\cdot\text{polylog}(n))$

(पत्रों की सूची) http://cs-www.cs.yale.edu/homes/spielman/precon/precon.html

(सामान्य रूप से रेखीय समीकरणों के लिए सबसे पुनरावृत्त सॉल्वैंट्स वास्तविक समाधान के -approximating के सिद्धांत को साझा करते हैं। वही पुनरावृत्ति विधियों के लिए जाता है जो अधिक सामान्य समस्याओं को हल करते हैं (उदाहरण के लिए, कुछ उत्तल / रैखिक कार्यक्रम)।$\epsilon$

2) मिनट / अधिकतम कटौती / प्रवाह के लिए अनुमानित समाधान http://people.csail.mit.edu/madry/docs/maxflow.pdf$s-t$

3) सुपाच्य समय में एक संकेत के फूरियर रूपांतरण के एक विरल सन्निकटन का पता लगाना http://arxiv.org/pdf/1201.2501v1.pdf

4) एक मैट्रिक्स के अनुमानित प्रमुख घटक का पता लगाना http://www.stanford.edu/~montanar/RESEARCH/FILEPAP/GossipPCA.pdf

Answer 3

मुझे पी में समस्याओं के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम पर विकसित होने वाले एक सामान्य सिद्धांत के बारे में पता नहीं है। मैं एक विशेष समस्या के बारे में जानता हूं, हालांकि, इसे अनुमानित दूरी के ओर्कल्स कहा जाता है:

भारित अप्रत्यक्ष ग्राफ कोनोड्स औरकिनारों, एक बिंदु से बिंदु क्वेरी दो नोड्स के बीच की दूरी के लिए पूछती है ।एन = | वी | म = | ई | रों , टी ∈ $G = (V, E)$$n = |V|$$m = |E|$$s, t \in V$

दूरी के बीच की समस्या में अंतरिक्ष, क्वेरी समय और सन्निकटन के बीच तीन-तरफ़ा व्यापार बंद है। प्रत्येक जोड़ी के मैट्रिक्स को संग्रहीत करके समय में प्रत्येक क्वेरी का सटीक रूप से उत्तर दे सकता है (सन्निकटन = ) ; या समय में एक छोटा पथ एल्गोरिथम चलाकर। बड़े पैमाने पर रेखांकन के लिए, इन दोनों समाधानों के लिए निषेधात्मक रूप से बड़ी जगह (मैट्रिक्स को संग्रहीत करने के लिए) या क्वेरी समय (सबसे कम समय का एल्गोरिथ्म चलाने के लिए) की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, हम सन्निकटन की अनुमति देते हैं।ओ ( 1 ) ओ ( एम + एन लॉग एन $1$$O(1)$$O(m + n\log n)$

सामान्य रेखांकन के लिए, अत्याधुनिक थोरुप और ज़्विक की दूरी का आभूषण है , जो किसी भी दिए गए सन्निकटन , इष्टतम स्थान की आवश्यकता है। यह आपको एक अच्छा स्थान-सन्निकटन ट्रेड-ऑफ भी देता है।$k$

विरल रेखांकन के लिए, एक अधिक सामान्य स्थान-सन्निकटन-समय व्यापार-बंद दिखाया जा सकता है ।

Answer 4

हम अक्सर एक ग्राफ में सबसे छोटा रास्ता खोजने, एक सेट में अद्वितीय तत्वों की संख्या खोजने जैसी सरल समस्याओं के लगभग समाधान की तलाश करते हैं। यहां अड़चन यह है कि इनपुट बड़ा है और हम डेटा पर एक पास का उपयोग करके लगभग समस्या को हल करना चाहते हैं। कई "स्ट्रीमिंग" एल्गोरिदम हैं जिन्हें रैखिक / निकट-रैखिक समय में अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

$O(nm)$$n$$m$

Answer 5

अधिकतम मिलान के लिए तेजी से सन्निकटन एल्गोरिदम ज्ञात हैं। कम से कम मेरे दिमाग में आने वाला कम से कम http://arxiv.org/pdf/1112.0790v1.pdf है ।

Answer 6

$P$

Comments

यह सन्निकटन के लिए एक और बड़ी प्रेरणा है। यह बात बताने के लिए धन्यवाद!

— anelguindy

Answer 7

मुझे लगता है कि इस दिशा में डेटा स्ट्रीमिंग और सब-लीनियर एल्गोरिदम का पूरा क्षेत्र एक प्रयास है। डेटा स्ट्रीमिंग में, ध्यान o (n) और आदर्श रूप से O (बहुवचन) (n) स्पेस में समस्याओं को हल करने पर है, जबकि उप-रैखिक एल्गोरिदम में आप ओ (एन) रनिंग टाइम के साथ एल्गोरिदम प्राप्त करने का प्रयास करते हैं। दोनों ही मामलों में, किसी को अक्सर यादृच्छिक सन्निकटन एल्गोरिथ्म होने के साथ समझौता करने की आवश्यकता होती है।

आप इस पृष्ठ और इस पर सामग्री के साथ शुरू कर सकते हैं ।

Answer 8

$\epsilon$$\epsilon$। लीनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं के विशेष मामलों को हल करने पर कई पेपर होते हैं जैसे कि मल्टीकोमोडिटी फ्लो (और आमतौर पर एलपी को पैकिंग और कवर करना)। P बनाम समस्याओं के लिए अलग-अलग सिद्धांत नहीं है जो कि NP में हैं (हम नहीं जानते कि P, NP के बराबर है या नहीं)। समस्याओं के एक निश्चित वर्ग के लिए एक निश्चित तकनीक के बारे में बात की जा सकती है। उदाहरण के लिए, सामान्य तकनीकों को जाना जाता है जो लीनियर प्रोग्राम्स और कुछ वेरिएंट्स को हल करने और कवर करने के लिए जानी जाती हैं।

Answer 9

दिमित्रिस में फूरियर रूपांतरणों का अनुमान लगाया गया है। जेपीईजी एल्गोरिथ्म में उदाहरण के लिए छवि संपीड़न में इसका व्यापक उपयोग है। [१] हालाँकि मैंने एक ऐसा कागज़ देखा है जो इस पर ज़ोर देता है, यह कुछ मायने में एक हानिपूर्ण संपीड़न लगता है [2] (व्युत्पन्न सीमा के साथ) को P- समय सन्निकटन एल्गोरिथ्म के रूप में भी लिया जा सकता है। सन्निकटन के पहलू अत्यधिक विकसित और परिमित / विशिष्ट होते हैं, इस अर्थ में कि उन्हें अनुकूलित किया जाता है ताकि उन्हें मानव दृष्टि से न समझा जा सके, अर्थात एन्कोडिंग कलाकृतियों की मानवीय धारणा (लगभग सन्निकटन और दोषरहित संपीड़न के बीच अंतर के रूप में परिभाषित) को कम से कम किया जाता है।

यह इस बारे में सिद्धांतों से संबंधित है कि मानव आंख कैसे मानती है या स्वयं कुछ एल्गोरिथम जैसी प्रक्रिया के माध्यम से "एन्कोडिंग" रंग एन्कोडिंग करता है। दूसरे शब्दों में सैद्धांतिक अनुमान योजना / एल्गोरिथ्म वास्तव में जानबूझकर भौतिक / जैविक सन्निकटन योजना / एल्गोरिथ्म से मेल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है (मानव दृश्य प्रणाली में जैविक जानकारी प्रसंस्करण यानी न्यूरॉन्स द्वारा एन्कोडेड)।

तो, संपीड़न को कसकर युग्मन के साथ जोड़ा जाता है। जेपीईजी में फूरियर ट्रांसफॉर्म को डीसीटी द्वारा अलग किया जाता है, असतत कोसाइन ट्रांसफॉर्म [3]। इसी तरह के सिद्धांतों को एमपीईजी वीडियो संपीड़न मानक के लिए कई फ़्रेमों पर नियोजित किया गया है। [४]

[१] jpeg संपीड़न, विकिपीडिया

[२] हानिपूर्ण संपीड़न, विकिपीडिया

[३] डीसीटी, असतत कोसाइन रूपांतरण, विकिपीडिया

[४] एमपीईजी, विकिपीडिया

Answer 10

हो सकता है कि यह आपके प्रश्न का सटीक उत्तर न हो, क्योंकि वर्तमान में मैं केवल कुछ अनुमानों को याद कर सकता हूं, लेकिन मुझे यकीन है कि कुछ अनुमान हैं, क्योंकि मैंने उन्हें पहले देखा था।

$O(f(k)*|G|^\alpha)$$f(k)$ समस्या और इसके बाद के सन्निकटन / अनुमान (साधारण Google के परिणाम 2010, 2011 में प्रदर्शित होते हैं), या ग्राफ के पेड़ के अपघटन को खोजने के लिए एल्गोरिदम।

Answer 11

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020019002003939

डोरथा ड्रेक और स्टीफन हाउगार्डी द्वारा भारित मिलान समस्या को कवर करते हुए लेख "भारित मिलान समस्या के लिए एक सरल सन्निकटन एल्गोरिथ्म" की एक कड़ी है।