रुकने की समस्या, अविश्वसनीय सेट: सामान्य गणितीय प्रमाण?

Question

यह ज्ञात है कि एल्गोरिदम के एक गणनीय सेट (एक Gödel संख्या द्वारा विशेषता) के साथ, हम गणना नहीं कर सकते हैं (द्विआधारी एल्गोरिथ्म का निर्माण जो संबंधित जांच करता है) एन के सभी सबसेट।

एक सबूत को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: यदि हम कर सकते हैं, तो एन के सभी सबसेट का सेट काउंटेबल होगा (हम एल्गोरिथ्म के गॉडल नंबर को सबटेट कर सकते हैं जो इसे गणना करता है)। जैसा कि यह गलत है, यह परिणाम साबित करता है।

यह एक प्रमाण है जो मुझे पसंद है क्योंकि यह दर्शाता है कि समस्या एन के सबसेट के बराबर है जो कि गिनने योग्य नहीं है।

अब मैं यह साबित करना चाहूंगा कि केवल एक ही परिणाम (एन सबसेट की बेशुमारता) का उपयोग करके हॉल्टिंग समस्या हल नहीं की जा सकती है, क्योंकि मुझे लगता है कि वे बहुत करीबी समस्या हैं। क्या इस तरह से इसे साबित करना संभव है?

Comments

स्पष्ट रूप से एक ही तकनीक (विकर्ण) का उपयोग करके दोनों परिणाम साबित किए जा सकते हैं। हालांकि, मुझे नहीं लगता है कि केवल by के सबसेट के परिवार की बेशुमारता का उपयोग करके हॉल्टिंग समस्या की अनिर्वायता को साबित करना संभव है, क्योंकि पूर्व आरई और आर के बीच तुलना के बारे में है , जो दोनों काउंटेड परिवार हैं के सबसेट।

— त्सुकोशी इतो

केवल कई कार्यक्रम हैं, जो एक बार फिर गोडेल नंबर की विशेषता है। हालाँकि, इस गिनती के सेट के बीच रुकने की समस्या IS है।

— डेविड हैरिस

Answer 1

हॉल्टिंग प्रमेय, कैंटर की प्रमेय (एक सेट और उसकी शक्तियाँ का गैर-समरूपतावाद), और गोएडेल की अपूर्णता प्रमेय लॉविएट फिक्स्ड पॉइंट प्रमेय के सभी उदाहरण हैं, जो किसी भी कार्टेजियन बंद श्रेणी के लिए कहते हैं, अगर कोई एपिमोर्फिक मैप तब प्रत्येक से एक निश्चित बिंदु होता है।$e : A \to (A \Rightarrow B)$$f : B \to B$

• लॉवरे, एफ विलियम। विकर्ण तर्क और कार्तीय बंद श्रेणियां । गणित में व्याख्यान नोट्स, 92 (1969), 134-145।

इन विचारों के एक अच्छे परिचय के लिए, आप इस ब्लॉग बाउर पोस्ट को देखें ।

Comments

यह बहुत साफ है। मुझे महसूस नहीं हुआ कि उन्हें एकीकृत करने वाला एक वास्तविक औपचारिक तर्क था।

— सुरेश वेंकट

मैंने अब तक संदेह करना सीख लिया है कि, यदि यह समान दिखता है और उसी की गंध आती है, तो इस अर्थ के बारे में एक स्पष्ट तर्क है जिसमें यह समान है।

— विजय डी

IMO, Lawvere की प्रमेय के बारे में दो बहुत अच्छी बातें यह है कि (ए) यह एक नकारात्मक कथन के बजाय एक सकारात्मक कथन है, और (b) इसका प्रमाण साधारण लंबोदर गणना की आधा दर्जन पंक्तियां हैं।

— नील कृष्णस्वामी

जैसा कि मैंने प्रश्न पढ़ा, मैंने अपने आप से सोचा कि किसी को लॉवेर्स के निर्धारित बिंदु प्रमेय का उल्लेख करना चाहिए। जब मैं जवाब पढ़ता हूं तो मेरी खुशी का अंदाजा लगाइए :-)

— Andrej Bauer

ई एपिमोर्फिक होना सही स्थिति नहीं है। आपको बिंदु-सर्जिटिविटी की आवश्यकता है, जो न तो तात्पर्य है और न ही एपिमोर्फिक होने की स्थिति से निहित है। देखें रिमार्क 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— fhyve