निर्धारक modulo m

अवशेषों के साथ एक पूर्णांक मैट्रिक्स के एक निर्धारक की गणना करने के लिए ज्ञात कुशल एल्गोरिदम क्या हैं , अवशेषों की अंगूठी modulo । संख्या अभाज्य नहीं हो सकती है, लेकिन समग्र (इसलिए अभिकलन रिंग में किए जाते हैं, न कि फ़ील्ड)। $\mathbb{Z}_m$ $m$ $m$

जहां तक मुझे पता है (नीचे पढ़ें), अधिकांश एल्गोरिदम गॉसियन उन्मूलन के संशोधन हैं। सवाल इन प्रक्रियाओं की कम्प्यूटेशनल दक्षता के बारे में है।

अगर ऐसा हुआ कि कुछ अलग दृष्टिकोण है, तो मैं इसके बारे में भी उत्सुक हूं।

अग्रिम में धन्यवाद।

अपडेट करें:

मुझे इस प्रश्न का स्रोत समझाएं। मान लें, एक अभाज्य संख्या है। So एक फील्ड है। और इस मामले में हम से कम संख्याओं का उपयोग करके सभी संगणनाएँ कर सकते हैं , इसलिए हमारे पास संख्याओं पर सभी परिचालनों में कुछ अच्छी ऊपरी सीमाएँ हैं: इसके अलावा, गुणन और व्युत्क्रम --- गौसियन उन्मूलन को चलाने के लिए सभी आवश्यक संचालन। $m$ $\mathbb{Z}_m$ $m$

दूसरी ओर हम मामले में कुछ संख्या के लिए उलट प्रदर्शन नहीं कर सकते नहीं एक प्रमुख। इसलिए हमें निर्धारक की गणना करने के लिए कुछ तरकीबें चाहिए। $m$

और अब मैं उत्सुक हूं कि नौकरी करने के लिए कौन-सी जानी-मानी तरकीबें हैं और क्या इस तरह की तरकीबें और किताबों के कागजात में मिल सकती हैं।

— वेलेरी सोकोलोव
स्रोत

`` कुशल '' से आपका क्या तात्पर्य है?

में समस्या स्पष्ट रूप से है ।

P

$P$

— डेविड

क्या

एक स्थिर है? यह कैसे दिया जाता है?

m

$m$

— माइकल ब्लोंडिन

छोटे से आपका क्या मतलब है? क्या वे एकात्मक में लिखे जा सकते थे?

— माइकल ब्लोंडिन

मुझे अभी भी सवाल समझ नहीं आ रहा है। एक पूर्णांक मैट्रिक्स के निर्धारक को बहुपद समय में गणना की जा सकती है, इसलिए आप बस इस मान modulo

ले सकते हैं । कोई ज़रूरत नहीं में डिवीजनों प्रदर्शन करने के लिए

या के गुणन को खोजने के

।

m

$m$

Z_{m}

$Z_m$

m

$m$

— डेविड

@ValeriySokolov: यह बुनियादी रैखिक बीजगणित है। उदाहरण के लिए, क्राइस्टोस एच। पापादिमित्रिउ द्वारा कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी की समस्या 11.5.3 की जांच करें ।

— ०२ पर त्सुयोशी इतो

जवाबों:

आप के गुणन पता है आप प्रत्येक सापेक्ष गणना कर सकता है अलग से और फिर चीनी remaindering का उपयोग कर परिणामों को जोड़ सकते। तो , तो कंप्यूटिंग सापेक्ष के बाद से इस क्षेत्र है आसान, है। बड़ा के लिए , आप Hensel उठाने का उपयोग कर सकते हैं। $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$ $p_i^{e_i}$ $e_i = 1$ $p_i^{e_i}$ $e_i$

— मार्कस ब्लैसर
स्रोत

धन्यवाद! यह कुछ ऐसा है, जिसकी मुझे तलाश थी। क्या यह निर्धारकों के लिए एक आम बात है? (संदर्भों का स्वागत है)।

— वेलेरी सोकोलोव

ये कॉमप्यूटर बीजगणित की मानक तकनीकें हैं। वॉन ज़ुर गाथेन और गेरहार्ड या कंप्यूटर बीजगणित पर किसी अन्य पुस्तक द्वारा आधुनिक कंप्यूटर बीजगणित पर एक नज़र डालें। अपनी विशिष्ट समस्या के लिए, पैन, यू एंड स्टीवर्ट धूमकेतु .lehman.cuny.edu

— मार्कस ब्लेसर

महाजन और विनय द्वारा एक कॉम्बीनेटरियल एल्गोरिदम है जो कम्यूटेटिव रिंग्स पर काम करता है: http://cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

— साशो निकोलोव
स्रोत

बहुत दिलचस्प पेपर के लिंक के साथ आपके जवाब के लिए धन्यवाद।

— वलेरी सोकोलोव

इसके अलावा, मेरा मानना है कि इस पेपर के लेखक अधिक सामान्य समस्या (किसी भी कम्यूटेटिव रिंग के लिए) हल कर चुके हैं।

— वेलेरी सोकोलोव

"द्वारा" क्या आपका मतलब है "ज्ञात" या "अस्तित्व" (लेकिन अभी तक नहीं मिला है)? यह एक उचित अनुमान है, लेकिन मुझे थोड़ा संदेह है कि इंटिगर्स की अंगूठी की संरचना एक छोटे से समग्र संख्या को माप सकती है, जिससे आपको बहुत मदद मिल सकती है। अगर मैं गलत हूं, तो मुझे वह दिलचस्प लगेगा।

— साशो निकोलेव

@ValeriySokolov निष्पक्ष होने के लिए, चूंकि उत्तर आपके प्रश्न का उत्तर देता है, आप इसे स्वीकार करने पर विचार कर सकते हैं (या यदि आप संभवतः बेहतर उत्तर की प्रतीक्षा करना चाहते हैं जो अनुचित नहीं होगा)

— सुरेश वेंकट

@ सशाओनिकोलोव मैंने पाया है कि वोल्फ्राम मैथेमेटिका किसी तरह से इसकी गणना करता है। "इम्प्लीमेंटेशन नोट्स" में वे कहते हैं: डिटेक्ट मॉड्यूलर तरीकों और पंक्ति में कमी का उपयोग करता है, जिसके परिणामस्वरूप चीनी शेष प्रमेय का उपयोग किया जाता है। मैं जानना चाहूंगा कि वे वास्तव में क्या करते हैं, लेकिन एक त्वरित खोज ने मुझे कुछ नहीं दिया। "छोटे मिश्रित

" के रूप में इसका मतलब केवल यह है कि मैं इस अंगूठी में जोड़ और गुणा की जटिलता पर विचार करना चाहता हूं ताकि

।

जैसे सभी कारकों को

माना जाता है ।

m

$m$

O (1)

$O(1)$

O (\log m)

$O(\log m)$

O (1)

$O(1)$

— वेलेरी सोकोलोव

इस समस्या को हल करने के लिए स्मिथ के सामान्य रूपों पर आधारित एक तेज निर्धारक एल्गोरिदम है, जिसकी सबसे खराब स्थिति पूर्णांक modulo पर मैट्रिक्स-गुणा की लागत से ऊपरी-बाध्य है । किसी भी मैट्रिक्स , एल्गोरिथ्म अपने स्मिथ को सामान्य रूप में आउटपुट करता है, जहां से को आसानी से गणना की जा सकती है। $m$ $A$ $\text{det}(A)$

अधिक वस्तुतः, परिभाषित ताकि दो से लिया गुणांक के साथ मैट्रिक्स का उपयोग कर गुणा किया जा सकता बुनियादी पर अंकगणितीय आपरेशनों (पूर्णांक इसके अलावा, गुणा, घातांक, आदि)। फिर, $\omega$ $n \times n$ $\mathbb{Z}_m$ $O(n^{\omega})$ $\mathbb{Z}_m$

एक मैट्रिक्स को देखते हुए , वहाँ एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म कि computes मौजूद का उपयोग कर बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशनों से अधिक [1] । $A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$ $\text{det}(A)$ $O(n^{\omega})$ $\mathbb{Z}_m$

जब यह 1996 में लिखा गया था तो कोई भी समान रूप से तेज विकल्प नहीं था (कागज में एक ही बाध्य के साथ एल्गोरिदम के पूर्व अस्तित्व का उल्लेख है लेकिन मुझे नहीं पता कि कौन से हैं, या क्या वे संभाव्य हैं)।

अद्यतन (17 जुलाई 2013): इस एल्गोरिथ्म का एक अच्छा बोनस विशेषता है कि यह में चलाता है बहुपद समय मनमाना के लिए समग्र प्राइम-nuber जानने के बिना गुणन का ! यह अच्छा है क्योंकि फैक्टरिंग के लिए कोई ज्ञात कुशल (शास्त्रीय) एल्गोरिदम नहीं हैं (निश्चित रूप से, यदि आपके पास क्वांटम कंप्यूटर था, तो आप शोर के एल्गोरिदम को लागू कर सकते हैं )। यदि आपके पास गुणनखंडन है तो एल्गोरिथ्म मार्कस ने सुझाव दिया है कि इसे लागू करना सरल है। $m$ $m$

नोट्स: यदि आप मानक पूर्णांक अंकगणितीय का उपयोग करते हैं , तो कागज में, "बुनियादी अंकगणितीय संचालन" की जटिलता , लेकिन आप तेज तकनीकों के साथ प्राप्त कर सकते हैं । दो -bit पूर्णांक को गुणा करने की लागत को सीमित करता है । के लिए मौजूदा रिकॉर्ड है 2.3727 । $O(\log^2 m)$ $O(M(\log m)\log \log m)$ $M(t)$ $t$ $\omega$

— जुआन बरमेजो वेगा
स्रोत

नहीं है

क्या आम तौर पर निरूपित किया जाता है

θ

$\theta$

ω

$\omega$

— साशो निकोलेव

हो सकता है, मैं इसके लिए सबसे आम संकेतन नहीं जानता।

— जुआन बरमेजो वेगा

मुझे लगता है कि आप सही हैं, मैं इसे "मुख्यधारा" में बदल दूंगा

— जुआन बर्मेजो वेगा