क्या पेड़ों पर एनपी-हार्ड की समय सीमा के तहत यह इष्टतम यात्रा समस्या है?

Question

मेरे एक मित्र ने मुझसे पेड़ पर निम्नलिखित शेड्यूलिंग समस्या के बारे में पूछा। मुझे लगता है कि यह बहुत साफ और दिलचस्प है। क्या इसका कोई संदर्भ है?

समस्या: एक पेड़ , प्रत्येक किनारे पर 1 की सममित यात्रा लागत है । प्रत्येक वर्टेक्स v i के लिए , एक कार्य है जिसे इसकी समय सीमा d i से पहले किए जाने की आवश्यकता है । कार्य के रूप में भी प्रदर्शित किया जाता है वी मैं । प्रत्येक कार्य का एकसमान मूल्य होता है। प्रत्येक कार्य के लिए प्रसंस्करण समय 0 होता है , अर्थात, किसी कार्य का दौरा करने से पहले उसकी समय सीमा समाप्त हो जाती है। सामान्यता के नुकसान के बिना, v 0 को मूल को निरूपित करें और मान लें कि कोई कार्य v 0 पर स्थित नहीं है । वी 0 पर एक वाहन है$T(V,E)$$v_i$$d_i$$v_i$$v_0$$v_0$$v_0$इसके अलावा समय 0. में, हम मान लेते हैं कि हर शिखर के लिए$d_i \ge dep_i$ , की गहराई के लिए खड़ा है वी मैं । यह स्व-स्पष्ट है, इसकी गहराई से कम समय सीमा के साथ शीर्ष को बाहरी रूप में लिया जाना चाहिए। समस्या एक शेड्यूलिंग को खोजने के लिए कहती है जो अधिक से अधिक कार्यों को पूरा करती है।$dep_i$$v_i$

प्रगति:

1. यदि पेड़ एक पथ पर प्रतिबंधित है, तो यह गतिशील प्रोग्रामिंग के माध्यम से में है।$\mathsf{P}$
2. यदि पेड़ को एक ग्राफ के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, तो यह अपूर्ण में है।$\mathsf{NP}$
3. मेरे पास एक बहुत ही सरल लालची एल्गोरिथ्म है जो माना जाता है कि 3-कारक एपोरोक्सीमेशन है। मैंने इसे पूरी तरह से साबित नहीं किया है। ठीक है, मैं एनपी-कठिन परिणामों के बारे में अधिक रुचि रखता हूं। :-)

आपके सुझाव के लिए धन्यवाद।

Comments

एक पूर्ण ग्राफ पर, कार्य आसान होगा? बस एक साधारण लालची एल्गोरिथ्म का उपयोग करें ...

— जो

@Joe: हाँ। क्योंकि प्रत्येक किनारे को 1 यूनिट यात्रा की आवश्यकता होती है, इसलिए "चौराहे" के बीच कोई वरीयता नहीं है। क्या आप अभी भी इस समस्या में रुचि रखते हैं, यदि हाँ। शायद हम ईमेल के माध्यम से बात कर सकते हैं। :-)

— पेंग झांग

क्या होगा यदि सभी समय सीमाएं समान हैं और / या हम केवल पूछते हैं कि क्या सभी कार्य समाप्त हो सकते हैं?

— डोमोटर

@domotorp: यदि यह एक समय सीमा के साथ सभी कार्यों को पूरा करने के लिए कहता है, तो इसका उत्तर हां है यदि और केवल एक समान समय सीमा । पहले गहराई से खोजे। मामले पर इष्टतम समस्या के लिए d < | वी | , मुझे नहीं पता कि यह आसान है। इस समस्या के बारे में कई प्रकार हैं, जैसे कि क्या विचार है कि यदि समय सीमा एक निर्धारित सीमा से मान लेती है तो कार्डिनिटी एक स्थिर है? आपकी टिप्पणी के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। $d\ge |V|$$d< |V|$

— पेंग झांग

मैं कहूंगा कि एनपी-हार्ड शेड्यूलिंग चिड़ियाघर को देख सकता है , सिवाय इसके कि अगर मैंने आपकी समस्या को गलत समझा।

— गोपी

Answer 1

सुनिश्चित नहीं है कि यह आपका उत्तर है (नीचे देखें) लेकिन टिप्पणियों के लिए बहुत लंबा है।

मैं हालांकि अपनी समस्या थी कुछ की तरह: $(P|tree;p_i=1|\Sigma T_i)$ है, जहां:

• समान समरूप प्रोसेसर के लिए खड़ा है,$P$
• "पेड़" एक पेड़ के रूप में पूर्ववर्ती बाधा के लिए खड़ा है,
• कार्य के वजन के लिए खड़ा 1 के बराबर है, और$p_i=1$
• मतलब है कि टार्डनेस का योग (यानी, उनकी समय सीमा के बाद समाप्त होने वाले कार्यों की संख्या)।$\Sigma T_i$

यदि यह मामला है, तो आपकी समस्या एनपी-हार्ड है: आप इसे पूर्ववर्ती बाधाओं के साथ एक मशीन पर कुल टर्डनेस को न्यूनतम करने के सामान्यीकरण के रूप में देख सकते हैं । वास्तव में यह कागज बताता है कि कई रैखिक श्रृंखलाओं के लिए, यह एक एकल प्रोसेसर पर एनपी-हार्ड है। आसान परिवर्तन यह है कि फार्म के पेड़ों को एक जड़ और जड़ से शुरू होने वाली रैखिक श्रृंखलाओं में ले जाना है।

हालाँकि मैं आश्चर्यचकित हूं क्योंकि आप कहते हैं कि एकल रैखिक श्रृंखला के मामले के लिए , आप डायनेमिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करेंगे। मैं यह नहीं देखता कि आपको डीपी की आवश्यकता क्यों होगी, क्योंकि मुझे ऐसा लगता है कि जब एक एकल रैखिक श्रृंखला का निर्धारण करते हैं तो आपके पास पूर्ववर्ती बाधाओं के कारण बहुत अधिक विकल्प नहीं होते हैं: केवल एक ही विकल्प। इसलिए शायद मैंने आपकी समस्या को गलत समझा।

Comments

मेरी समस्या आपसे अलग लगती है। मेरा है, "एक जड़ वाला पेड़, यात्रा की लागत इकाई समय, प्रत्येक कार्य के साथ इसकी समय सीमा के साथ, कार्य को समय से पहले करने की आवश्यकता नहीं है। जड़ से शुरू करके, कितने कार्य समाप्त हो सकते हैं?"। इसलिए कोई पूर्वता नहीं है, किसी कार्य को संसाधित करने के लिए समय की आवश्यकता नहीं है। आपका बहुत बहुत धन्यवाद।

— पेंग झांग

@PengZhang, यदि यह एक जड़ वाला पेड़ है, तो इसकी पूर्वता है? किनारों (पूर्ववर्ती?) या कार्यों पर लागत के लिए, यह मुझे एक ही बात लगती है। मैं वास्तव में दोनों के बीच अंतर नहीं देखता हूं। अंत में, कितने कार्य समाप्त किए जा सकते हैं, यदि आप उनकी समय सीमा के बाद समाप्त होने वाले कार्यों की संख्या को कम करते हैं, तो यह उन कार्यों की संख्या को अधिकतम करने के बराबर है जो समाप्त हो सकते हैं। हो सकता है कि आप उस तस्वीर को खींच सकें जो आप उम्मीद कर रहे हैं?

— गोपी

मैं दो समस्याओं के बीच स्पष्ट संबंध नहीं देखता। मूल समस्या में, अगले नोड पर जाने की लागत इस बात पर निर्भर करती है कि पिछले चरण में किस नोड का दौरा किया गया था। पूर्व-विवश शेड्यूलिंग में, प्रक्रिया के लिए अगली नौकरी की लागत इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि पिछले चरण में कौन सी नौकरी संसाधित की गई थी, जब तक कि पूर्ववर्ती बाधा संतुष्ट नहीं हो जाती।

— योशियो ओकामोटो

$1,2,\cdots, n$$f(t,l,r)$$[l,r]$$t$$l$$g(t,l,r)$$f(t,l,r)$$r$$f(t,l,r)$$\{f(\cdot,l+1,r), g(\cdot,l,r-1)$$t,l,r$

— पेंग झांग

@PengZhang, ठीक है, मुझे लगता है कि मुझे आपके बारे में बेहतर समझ है। मुझे अभी भी विश्वास है कि कोई भी मेरे द्वारा दिए गए कागज को आसानी से अनुकूलित कर सकता है, विशेष पेड़ों पर विचार करके जहां शाखाएं पथ हैं (इसलिए रूट किए गए पथ)।

— गोपी

Answer 2

यह सच हो, इसके लिए हमें कुछ धारणाएँ बनानी होंगी। नीचे टिप्पणी देखें

$t_a$$t_b$

$|V|$

Comments

$f[a, t, t']$$a$$[t,t']$$a$

बिंदु (1) बिंदु (2) के रूप में ज्यादा समस्या नहीं है। मेरे विचार के लिए काम करने के लिए जैसा कि मैंने पहली बार इसकी कल्पना की थी, इसके लिए आवश्यक है कि आप कई बार उप-ट्री से बाहर निकलें और फिर से प्रवेश न करें। यह स्पष्ट नहीं है कि सबसे अच्छा समाधान पेड़ के चारों ओर नहीं कूदता है: एक पत्ती मिलती है, और जड़ के पास कुछ होता है, और एक पत्ती के लिए चलता है, और फिर दूसरे 2 से दूर दूसरे पत्ते पर जाता है, आदि। आप सक्षम हो सकते हैं। इस तथ्य का फायदा उठाने के लिए कि आप किसी भी रास्ते पर सभी नोड्स प्राप्त करेंगे, हालांकि आप चलते हैं। विशेष रूप से अगर किसी बच्चे का दौरा किया गया है, तो माता-पिता पहले से ही दौरा कर रहे हैं।

— जो

: मेरी बात में , बिंदु (1) वास्तव में एक समस्या है । बिंदु (2) के लिए, मैंने बाधा को "नो री-एंट्री" के रूप में "डेप्थ फर्स्ट सर्च" बाधा कहा। DFS बाधा आमतौर पर साहित्य में अपनाई जाती है। और उस बाधा के तहत, मेरी समस्या वास्तव में बहुपद है, जब तक कि पेड़ की अधिकतम डिग्री एक स्थिर है । इसलिए मुझे आश्चर्य है कि मेरा सवाल एनपी-कठिन है। आपका बहुत बहुत धन्यवाद।

— पेंग झांग

डीएफएस बाधा के बारे में, एक उदाहरण का निर्माण करना आसान है जहां इष्टतम अनुक्रम इस बाधा का उल्लंघन करता है। 7 नोड्स के साथ एक पूर्ण, संतुलित बाइनरी ट्री पर विचार करें। बाईं उपरी में 2 पत्तियों की समय सीमा 2 और 12 है, दाईं ओर की उपरी 2 पत्तियों की समय सीमा 8 और 6 है, और आंतरिक नोड्स की समय सीमा 100 है। आप पत्तियों को क्रम में 2,6,8 पर जाकर सभी नोड्स पर जा सकते हैं। , 12; कोई अन्य आदेश कम से कम एक समय सीमा का उल्लंघन करता है।

— mhum

Answer 3

इस मामले के लिए एक निरंतर सन्निकटन प्राप्त करने या इसे एनपी-हार्ड साबित करने की समस्या अभी भी खुली हुई है और कोई भी परिणाम अच्छा प्रकाशन करेगा। कुछ विशेष मामलों को हल किया गया है। मैं, दूसरों के साथ, कुछ आंशिक परिणाम हैं जो मकड़ियों, निरंतर ऊंचाई वाले पेड़ों जैसे विशेष मामलों को हल करते हैं। लेकिन, पेड़ों की सामान्य समस्या अनसुलझी है।