गैर-नियतात्मक ऑटोमेटा के लिए रुकने की समस्या को परिभाषित करना

Question

ट्यूरिंग मशीन (टीएम) की प्राथमिक परिभाषा, कम से कम मेरे स्वयं के संदर्भ पाठ्यपुस्तक (हॉपक्रॉफ्ट + उलेमन 1979) में नियतात्मक है।

इसलिए हॉल्टिंग समस्या के बारे में मेरी अपनी समझ मुख्य रूप से निर्धारक टीएम के लिए है, हालांकि मैं जानता हूं कि इसे अन्य प्रकार के ऑटोमेटा के लिए माना जा सकता है।

मैंने यह भी देखा कि जिस तरह से लोग अक्सर टीएम या हॉल्टिंग की समस्या का जिक्र करते हैं, उसमें नियतत्ववाद कम या ज्यादा निहित होता है। रुकने की समस्या पर विकिपीडिया पृष्ठ इसका एक अच्छा उदाहरण है।

लेकिन, इस तरह की सीमा का कोई कारण नहीं है। यह देखते हुए एक परिवार ऑटोमेटा कि, गैर नियतात्मक हो सकता है के लिए हॉल्टिंग समस्या का के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:$\mathcal F$$\mathcal F$

क्या एक समान निर्णय प्रक्रिया है, जैसे कि एक ऑटोमेटन और एक इनपुट , यह तय कर सकता है कि इनपुट पर की एक रुकने की गणना है या नहीं ।$A\in\mathcal F$$x$$A$$x$

(यह कहने के लिए समान नहीं है कि इनपुट साथ की गणना समाप्त हो जाएगी।)$A$$x$

दरअसल, ऐसा लगता है कि लाइनर बाउंडेड ऑटोमेटा (एलबीए) के लिए समस्या को हल करने के लिए कुछ अर्थ देने का एकमात्र तरीका है जो मुख्य रूप से गैर-नियतात्मक ऑटोमेटा हैं।

तो मेरा प्रश्न यह है कि क्या मैं सही हूं, और क्या गैर-नियतात्मक ऑटोमेटा के लिए हॉल्टिंग समस्या के स्पष्ट रूप से द्वितीय श्रेणी के इलाज के लिए एक कारण (और कौन सा कारण) है।

Comments

यदि आपको लगता है कि इस प्रश्न में कुछ गलत है, तो क्या आप यह बताने के लिए दयालु होंगे कि यह क्या है, ताकि हम सभी आपके ज्ञान से लाभ उठा सकें और सभी उपयोगकर्ताओं के लिए पोस्ट को बेहतर बना सकें। धन्यवाद।

— बाबू जूल

Answer 1

कुछ कारणों से मुझे लगता है कि हम गैर-नियतात्मक मॉडल के लिए हॉल्टिंग समस्या में कम प्रयास करते हैं।

पहला यह है कि वास्तव में, एनडी मॉडल के लिए दो प्रासंगिक रुकने की समस्याएं हैं। एक इनपुट और एक गैर-नियतात्मक मशीन M को देखते हुए :$x$$M$

• क्या एक्स पर का एक वैध रन मौजूद है जो रुकता है?$M$$x$
• क्या एक्स पर का एक वैध रन मौजूद है जो रुका नहीं है? यानी सभी वैध रन रुकते हैं?$M$$x$

नियतात्मक मशीनों के लिए, ये समान हैं, क्योंकि इनपुट एक्स पर बिल्कुल एक वैध रन है । लेकिन गैर-नियतात्मक मशीनों के लिए, कई रन हो सकते हैं। आप किसमें रुचि रखते हैं यह आपके आवेदन पर निर्भर करता है।$M$$x$

दूसरे, गैर-नियतात्मक मॉडल पहले से ही अवास्तविक हैं: वे मानते हैं कि आपके पास या तो एक जादुई बॉक्स है जो आपको बताता है कि कौन सा रास्ता लेना है, या कि आपके पास अनंत समानता का कोई रूप है। चूंकि गैर-नियतात्मक और नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन सत्ता में बराबर हैं, इसलिए ज्यादातर मामलों में आप मशीन को केवल एक निर्धारित में बदल देते हैं इससे पहले कि आप रुकने की चिंता करें।

इसके विस्तार के रूप में, हम परवाह नहीं करते हैं क्योंकि एक गैर-नियतात्मक मशीन के बारे में कुछ साबित करना कम से कम उतना ही कठिन है जितना कि एक समान निर्धारक मशीन के बारे में कुछ साबित करना। हम पहले से ही जानते हैं कि नियतात्मक हॉल्टिंग समस्या का कोई समाधान नहीं है, इसलिए यह वास्तव में उपयोगी है जो अन्य समस्याओं को कम करने के लिए अनिर्दिष्ट है। और यह हमेशा नियतात्मक पड़ाव समस्या को कम करने के लिए कम काम होने वाला है, क्योंकि यह गैर-नियतात्मक समकक्ष की तुलना में आसान है।

Comments

आप कहते हैं: " लेकिन गैर-नियतात्मक मशीनों के लिए, कई रन हो सकते हैं। आपको अपने आवेदन पर निर्भर होने में कौन सी दिलचस्पी है। " क्या आप एक उदाहरण के साथ उस कथन का वर्णन कर सकते हैं? फिर आप कहते हैं कि " आप मशीन को केवल एक नियतकालिक में परिवर्तित करें इससे पहले कि आप रुकने की चिंता करें "। यह एक LBA के लिए कैसे किया जाता है?

— Babou

LBA गैर-नियतात्मक ट्यूरिंग मशीनों का एक सबसेट है, इसलिए उन्हें हमेशा सामान्य विधि का उपयोग करके नियतात्मक ट्यूरिंग मशीनों में परिवर्तित किया जा सकता है। मुझे संदेह है कि विशेष निर्माण है जिसका उपयोग विशिष्ट गुणों वाली मशीन में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है, इसलिए हम आईबीए से प्राप्त अतिरिक्त तर्क क्षमता रख सकते हैं। मुझे लगता है कि यह एक बैकग्राउंड एल्गोरिथ्म की तरह दिखने वाला है जहां रैखिक स्थान का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि कॉल स्टैक संभावित रूप से बड़ा हो सकता है (मुझे यकीन नहीं है, मुझे इसे देखना होगा)।

— 21

कई रास्तों के लिए, दो मशीनों , एक जो हमेशा इनपुट एक्स पर रुकता है , और एक जो एक्स के लिए कभी नहीं करता है । हम एक नया एलबीए एम बना सकते हैं जो गैर-निर्धारक द्वारा बूलियन मूल्य चुनने से शुरू होता है। यदि यह सही चुनता है, तो यह इनपुट 1 पर M 1 चलाता है । यदि यह गलत चुनता है, तो यह X पर M 2 चलाता है । सच्चे और झूठे की प्रत्येक पसंद एक अलग "रन" है। क्या यह मशीन एक्स के लिए रुकी है ? एक पथ मौजूद है जहाँ यह x पर रुकता है , लेकिन यह x पढ़ने वाले सभी रास्तों के लिए रुका नहीं है । $M_1, M_2$$x$$x$$M$$M_1$$M_2$$x$$x$$x$$x$

— जेमाइट

@ हेंड्रिकजान ऐसा लगता है कि एनएलबीए को रोकने के बजाय सैविच के प्रमेय को संबोधित किया जाता है । लेकिन यह रैखिक को एक द्विघात में बदल देता है।

— बाबू जूल

@ राफेल मेरा इससे मतलब यह है कि, समस्या को कम करने के लिए अनिर्णायक दिखाने के लिए, आप दिखाते हैं कि आप P का उपयोग किसी अन्य अनिर्दिष्ट समस्या का अनुकरण करने के लिए कर सकते हैं । चूंकि DTMs से NTMs के लिए एक तुच्छ इंजेक्शन मानचित्रण है, NTM रुकने से किसी भी कमी DTM पड़ाव से एक कमी है। आमतौर पर DTM रुकने से कम करने के लिए यह कम काम होगा, क्योंकि यह एक कम कठिन समस्या है जिसे आप अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं। $P$$P$

— 16

Answer 2

हॉल्टिंग समस्या सर्वोत्कृष्ट है , -Complete समस्या के बाद से यह के रूप में कहा जा सकता है:$\Sigma_1$

।$H(P,x) \leftrightarrow \exists c \, \text{ s. t. $c$ is a halting computing of $P$ on $x$}$

इससे पता चलता है कि आपकी परिभाषा सही है। सामान्य तौर पर, हर -Complete परिभाषा "सही" है।$\Sigma_1$

Comments

दुर्भाग्य से, मैं अंकगणितीय पदानुक्रम के बारे में कुछ भी नहीं जानता हूं। मैं समझ है कि में सही कर रहा हूँ अर्द्ध डिसाइडेबल समस्याओं का प्रतिनिधित्व करता है? क्या बारे में: कश्मीर ( पी , एक्स ) ↔ ∀ ग , ग  की एक कंप्यूटिंग है  पी  पर  $\Sigma_1$। मैं पूछ रहा हूं क्योंकि अस्तित्वगत और सार्वभौमिक मात्राएं अलग-अलग वर्गों में समाप्त होती दिख रही हैं, लेकिन यह मेरे लिए सब कुछ धुंधला है। Kअर्ध-विक्षेपक भी है। $K(P,x)\leftrightarrow\forall c, c\text{ is a computing of $P$ on $x\implies c$ is halting.}$$K$

— बबौ

यही कारण है कि मुझे डर था कि आप जवाब देंगे। मैंने पूछा क्योंकि मुझे लगता है कि मेरे पास इसके लिए एक अर्ध-निर्णय प्रक्रिया है। इसलिए या तो मेरा प्रमाण गलत है, या मैंने अपनी समस्या को गलत रूप दिया। मूल रूप से यह जेमाइट का सुझाव है कि इनपुट पर गैर-नियतात्मक पड़ाव को परिभाषित किया जा सकता है, जिसे एक्स हॉल्ट पर सभी संगणनाओं की आवश्यकता होती है । और मुझे विश्वास था कि अब तक मैंने उसके लिए एक अर्ध-निर्णय लिया था। $x$$x$

— बबौ

वास्तव में आपकी परिभाषा दूसरे कारण से अच्छी नहीं है: " हैल्टिंग" से आपका क्या मतलब है ? या तो आप का मतलब है कि सी , जो कि ए-प्रायरी केवल एक अधूरी गणना है, वास्तव में पूर्ण है। उस स्थिति में, K ( P , x ) कभी भी सत्य नहीं है, क्योंकि आप खाली गणना करने के लिए c ले सकते हैं । किसी भी अन्य मामले में, यह स्पष्ट नहीं है कि सी का वर्णन परिमित है, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि विधेय " सी रुक रहा है" गणना योग्य है। $c$$c$$K(P,x)$$c$$c$$c$

— युवल फिल्मस

तो वास्तव में समस्या लेकिन शायद com 1- अपूर्ण नहीं है। $\Pi_1$$\Pi_1$

— युवल फिल्मस

धन्यवाद, और मेरे भोले पढ़ने के लिए खेद है। मैंने सोचा था कि आपके द्वारा उपयोग किया गया "पूर्ण" संगणना के लिए खड़ा था, जो स्पष्ट रूप से डोमेन की मात्रा पर एक त्रुटि है। मुझे लगता है कि कोई केवल काउंटेबल डोमेन का उपयोग कर सकता है और एक नॉनडेर्मिनिस्टिक टीएम के गैर-रुकने वाले कंप्युटेशन के सेट को योग्य नहीं बनाता है। इसके अलावा, मुझे लगता है कि मात्रात्मकता हमें बताती है कि संगणना कितनी खराब हो सकती है, लेकिन कोई गारंटी नहीं देता है कि यह उतना बुरा है। इसलिए ऐसा लगता है कि जेमाइट का प्रस्ताव आसानी से आवश्यक "प्रारूप" में सीधे तरीके से व्यक्त नहीं किया गया है, लेकिन मेरी अर्ध-निर्णय प्रक्रिया सही हो सकती है। $c$

— Babou

Answer 3

आप कहते हैं कि nondeterministic मशीनों के लिए रुकने की समस्या का "स्पष्ट दूसरा वर्ग उपचार" है। ऐसा प्रतीत होता है कि नियतात्मक टीएम के निर्माण के बाद लंबे समय तक नॉनडेटर्मिनिज़्म को ऐतिहासिक रूप से नहीं माना गया था और इस क्षेत्र में अनुसंधान फोकस के साथ कुछ करना हो सकता है। हालांकि यहाँ मुख्य बिंदु यह है कि nondeterministic समस्या आसानी से निर्धारक समस्या को कम किया जा सकता है, इसलिए किसी को केवल "सामान्यता की हानि के बिना" निर्धारक समस्या का अध्ययन करने की आवश्यकता है।

इसके अलावा, यहां "द्वितीय श्रेणी" के विचार का मुकाबला करने के लिए कम से कम एक रेफरी / पेपर है जो नॉन्डेटेरमिनिस्टिक मशीनों के लिए हॉल्टिंग समस्या का अध्ययन करता है और उपयोगी / गहरे कनेक्शन पाता है। लाइनों के साथ कुछ परिस्थितिजन्य साक्ष्य, जो सीएस अनुसंधान इतना विशाल / विशिष्ट है, कभी-कभी कुछ शुरुआती शोध ज्यादातर क्षेत्रों में किए गए हैं, यहां तक ​​कि प्रतीत होता है कि संकीर्ण है, और यह उनके महत्व में विभिन्न समस्याओं को रैंक करने के लिए लगभग अर्थहीन या हेयरस्प्लिंग कर सकता है। और इसके विपरीत, nondeterminism CS में एक बहुत गहरी / सर्वव्यापी / क्रॉसकिटिंग अवधारणा (पी बनाम एनपी जैसे प्रमुख खुले प्रश्न हैं) लगता है और यह पहलू भविष्य में लंबे समय तक जारी रहने की संभावना है।

• एक पैरामीटर हैल्टिंग समस्या / चेन, फ्लम

सार। पैरामीटर की गई समस्या p-Halt इनपुट के रूप में एक nondeterministic ट्यूरिंग मशीन M और एक प्राकृतिक संख्या n के रूप में लेती है, M का आकार पैरामीटर है। यह पूछता है कि क्या खाली इनपुट टेप पर एम के प्रत्येक स्वीकार रन को एन चरणों से अधिक लिया जाता है। यह समस्या वर्ग XPuni में है, वर्ग "वर्दी XP", अगर वहाँ एक एल्गोरिथ्म यह तय है, जो तय मशीन एम के लिए समय बहुपद n में चलाता है। यह पता चला है कि सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों की विभिन्न खुली समस्याएं संबंधित हैं या यहां तक ​​कि पी-हाल्ट uni XPuni के बराबर हैं। इस प्रकार यह कथन एक पुल बनाता है जो विभिन्न क्षेत्रों (प्रमाण सिद्धांत, जटिलता सिद्धांत, वर्णनात्मक जटिलता,) के बयानों के बीच तुल्यता प्राप्त करने की अनुमति देता है।) जो पहली नज़र में असंबंधित लगते हैं। जैसा कि हमारी प्रस्तुति दिखाती है,

Answer 4

संक्षेप में

ऐसा प्रतीत होता है कि सेटिंग में रुकने की समस्या को नजरअंदाज करने का कोई अच्छा कारण नहीं है, जो कि नियतात्मक ट्यूरिंग मशीनों में से एक भी नहीं है, इस तथ्य के अलावा कि शास्त्रीय रुकने की समस्या कुछ प्रमुख गणितीय प्रश्नों (जैसे कि एन्सेचिडुंगस्प्रोस्म ) का उत्तर देती है, जबकि केवल वेरिएंट हैं दिलचस्प (?) तकनीकी मुद्दे, लेकिन नींव पर कम प्रभाव के साथ।

पिछले उत्तरों में दिए गए कुछ तर्कों की समीक्षा करने के बाद, मैं nondeterministic automata के मामले में " nondeterministic " पड़ाव की संभावित परिभाषा के लिए jmite द्वारा दो प्रस्तावों का विश्लेषण और तुलना करता हूं । मुद्दा यह परिभाषित करने के लिए नहीं है कि एक संगणना के लिए पड़ाव का क्या अर्थ है, लेकिन किसी दिए गए इनपुट x पर किसी नॉनडेटर्मिनिस्टिक ऑटोमेटन ए के संभावित अभिकलन के सेट के लिए इसका क्या अर्थ होना चाहिए । इसके बाद नोंडेटर्मिनिस्टिक ऑटोमेटा पर हाल्टिंग समस्या को परिभाषित करने के लिए एक आधार के रूप में काम कर सकते हैं।$A$$x$

जेमाइट के उत्तर के अनुसार, इस nondeterministic पड़ाव को कम से कम एक हाल्टिंग संगणना ( अस्तित्वगत पड़ाव ) के अस्तित्व के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है , या वैकल्पिक रूप से यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी संभव संगणना ( सार्वभौमिक पड़ाव ) को रोक दिया जाए । ये दो परिभाषाएँ नॉनडेटर्मिनिस्टिक हॉल्टिंग समस्या की दो भिन्न परिभाषाओं से मेल खाती हैं।

मैं बताता हूं कि, ट्यूरिंग मशीनों के लिए, दो परिभाषाएँ मशीन को निर्धारित करके दो अलग-अलग तरीकों से मेल खाती हैं। इस बात से, मुझे अनुमान है कि नॉनडेटर्मिनिस्टिक हॉल्टिंग समस्या के दो प्रकार दोनों ट्यूरिंग शास्त्रीय नियतात्मक हॉल्टिंग समस्या के बराबर हैं ।

हालांकि, मैं यह भी बताता हूं कि रुकने की इन परिभाषाओं में से प्रत्येक सीधे ट्यूरिंग मशीन द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा की एक संबंधित परिभाषा से संबंधित है, और इस संबंध को लगातार परिभाषाएं चुनने की शर्त पर व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, एक nondeterministic automaton द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा की सामान्य परिभाषा को देखते हुए, nondeterministic पड़ाव की प्राकृतिक परिभाषा अस्तित्वगत ठहराव है, जैसा कि मूल प्रश्न में प्रस्तावित है।

इस विश्लेषण में से अधिकांश स्वाभाविक रूप से अन्य प्रकार के ऑटोमेटा तक फैले हुए हैं, हालांकि मशीनों के मुकाबले कम शक्तिशाली परिवारों के भीतर अक्सर निर्माण कार्य उपलब्ध नहीं हैं।

परिचय

मैं इसे एक उत्तर के रूप में लिख रहा हूं क्योंकि यह आंशिक रूप से इसके बारे में अधिक विचारों के बाद मेरे प्रश्न का उत्तर देता है, मौजूदा उत्तरों को ध्यान में रखता है। साथ ही, इस मामले में तीन उत्तरों के बाद मेरे प्रश्न को संपादित करना मुद्दों को भ्रमित कर सकता है, और मैं इससे बचने के लिए मूल रूप से लिखे गए प्रश्न को छोड़ दूंगा।

मैं पहले दिए गए उत्तरों के साथ अपनी कुछ असहमतियों पर चर्चा करता हूं। यह बिंदु मेरे प्रश्न (सभी उत्तरों के लिए मेरा धन्यवाद) के जवाब में उचित प्रयासों को अस्वीकार करने के लिए नहीं है, बल्कि तकनीकी बिंदुओं पर चर्चा या विवाद करके मुद्दों की तह तक जाने के लिए है।

मुझे लगता है कि मूल प्रश्न को संदर्भ या प्रेरणा की आवश्यकता है। हॉल्टिंग समस्या एक प्रमुख सवाल है जो हम एक ओर ऑटोमेटा के बारे में पूछते हैं, और दूसरी तरफ कई ऑटोमेटा की एक बहुत ही सामान्य और उपयोगी विशेषता है। इसके अलावा, नॉनडेटर्मिनिज़्म केवल साक्ष्य को सरल बनाने के लिए एक सामान्य सैद्धांतिक उपकरण नहीं है, लेकिन ऑटोमेटा के कुछ परिवारों की एक अनिवार्य विशेषता, जैसे कि रैखिक बाध्य ऑटोमेटन (एलबीए), कम से कम इस लेखन के समय।

इसलिए यह आश्चर्य करना काफी स्वाभाविक है कि क्या हॉल्टिंग समस्या का अर्थ है, या एक पसंदीदा अर्थ है, जो और क्यों, नॉन्डेटेरमिनिस्टिक ऑटोमेटा के मामले में।

क्या nonderterministic रुक समस्या को अच्छी तरह से संबोधित किया जाता है?

मेरा सवाल है कि क्यों nondeterministic automata के लिए हॉल्टिंग समस्या द्वितीय श्रेणी के उपचार को प्राप्त करती है , जिसने एक डाउनवोट और vzn द्वारा उत्तर दिया। Vzn से जवाब है, जो वास्तव में अधिक एक लंबे टिप्पणी है, का कहना है कि " nondeterminism एक बहुत गहरी / सर्वव्यापी / crosscutting सीएस में अवधारणा लगता है", जिस पर मुझे कभी संदेह नहीं हुआ। यह नॉनडेटर्मिनिस्टिक मशीनों के लिए रुकने पर कुछ फिर से खोज करने के लिए एक संदर्भ देता है, जो आश्चर्य की बात नहीं है, लेकिन वास्तव में मेरी बात को संबोधित नहीं करता है। मेरी बात यह है कि मुझे याद नहीं है कि वास्तव में हल करने की समस्या की परिभाषा को देखना है। nondeterministic मशीनों में, हालांकि मैंने क्षेत्र में कुछ कूड़े को पढ़ा था। यह मेरे संदर्भ पाठ्यपुस्तक (Hopcroft + Ullman 1979) में AFAIK को संबोधित नहीं किया गया है। यह अक्सर लोगों के मन में निहित लगता है कि वे नियतात्मक ऑटोमेटा पर विचार कर रहे हैं, आमतौर पर ट्यूरिंग। मशीनें, जिनकी संदर्भ परिभाषा नियतात्मक है।

उदाहरण के लिए, इस सवाल में कि एलबीए के लिए हॉल्टिंग समस्या क्यों है? , युवल फिल्मस अपने जवाब में भूल गए कि LBAs nondeterministic डिवाइस हैं - लेकिन शानदार ढंग से 4 शब्दों की टिप्पणी के साथ अपने उत्तर को बचाया ।

इस तथ्य के अंतिम गवाह के रूप में कि इस मुद्दे को सामान्य रूप से संबोधित नहीं किया गया है (कुछ विशेष शोध के बावजूद), मैं इस तथ्य को कॉल करूंगा कि इस मुद्दे पर यहां चर्चा की जानी है।

Jmite से जवाब केवल एक ही है कि वास्तव में समझाने के लिए क्यों यह अच्छी तरह से नहीं हो सकता है संबोधित प्रयास करता है। उनका पहला तर्क यह है कि दो संभावित परिभाषाएँ हैं, लेकिन मेरा मानना ​​है कि इस स्थिति को और अधिक विश्लेषण को प्रोत्साहित करना चाहिए ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त होगी। मैं नीचे ऐसा करने का प्रयास करता हूं।

वह यह भी सुझाव देते हैं कि, चूंकि एक nondeterministic TM को हमेशा एक समान निर्धारक में बदला जा सकता है, इसलिए nondeterministic मामले में रुकने के मुद्दे के बारे में चिंता करने का कोई मतलब नहीं है। मैं पूरी तरह से आश्वस्त नहीं हूं, लेकिन इसे कई लोगों द्वारा एक अच्छा कारण माना जा सकता है। हालाँकि, यह तर्क Linear Bounded Automata (LBA) पर लागू नहीं होता है, क्योंकि यह अभी भी एक खुली समस्या है कि क्या निर्धारक LBA nondeterministic LBA के बराबर है। और ऑटोमेटा के अन्य परिवार हैं, जिसके लिए निर्धारक उपसमुच्चय कमजोर है जो पूरे नोंडेमेर्टिस्टिक परिवार (उदाहरण के लिए पीडीए) है।

मैं अंतिम बिंदु से भी असहमत हूं, यह कहते हुए कि हमें nondeterministic पड़ाव से चिंतित नहीं होना चाहिए क्योंकि निर्धारक मशीनों के साथ प्रमाण आसान हैं। राफेल ने एक टिप्पणी में इस पर आपत्ति जताई : " मुझे आमतौर पर कठिन समस्याओं को कम करना आसान लगता है "। दरअसल, कई प्रकार के ऑटोमेटा के लिए, नॉनडेटर्मिनिस्टिक संस्करण मुख्य रूप से सबूत को सरल बनाने का काम करता है, जैसे कि उस प्रकार के ऑटोमेटन में कमी। पड़ाव के दो रूपों के अतिरिक्त, जिनका उपयोग खुद जेमाइट द्वारा सुझाया गया है, को भी एक फायदा माना जा सकता है क्योंकि यह समस्याओं को दूर करने के लिए अधिक लचीलापन देता है।

Nondeterministic पड़ाव समस्या की परिभाषा पर

_{नोट: निम्नलिखित पाठ में "सार्वभौमिक" शब्द का उपयोग सार्वभौमिक परिमाणीकरण को संदर्भित करता है , न कि सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों को}

Jmite से जवाब सबसे विस्तृत है।

यह उत्तर बताता है कि nondeterministic automata को रोकने की समस्या पर कम प्रयास को बढ़ावा देता है क्योंकि इसे दो अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है (शब्दावली मेरी है):

• $M$$x$

• $M$$x$

एकमात्र परिभाषा जो मैंने पर्याप्त सुझाई थी वह अस्तित्वगत ठहराव है ।

$x$

सबूत : यह आसानी से कोनिग के लेम्मा के साथ साबित होता है , क्योंकि प्रत्येक चरण में संभावित नॉनडेटर्मिनिस्टिक विकल्पों की संख्या किसी दिए गए ऑटोमेटन के लिए बाध्य होती है। यदि असीम रूप से कई रुकने वाले कंप्‍यूटर्स होते हैं, तो हम प्रत्‍येक कॉन्‍फ़िगरेशन को प्रत्‍येक कंप्‍यूटेशनल रास्‍तों पर ले जा सकते हैं, जिससे आगे चलकर कम्‍प्‍यूटेशन ग्राफ बन सके, जिसमें कई नोड्स के साथ कंप्‍यूटी ग्राफ होगा, लेकिन केवल प्रत्येक नोड पर नोंडेटरमिन ​​ब्रांचिंग को परिमित करें। कोनिग के लेम्मा के द्वारा, यह एक गैर कम्प्यूटिंग पथ के अनुरूप एक अनंत कम्प्यूटेशनल पथ के अस्तित्व का तात्पर्य करता है।

(Nondeterministic) ट्यूरिंग मशीनों का मामला

तो अब, चलो nondeterministic ट्यूरिंग मशीन (NTM) के मामले में पड़ाव की जाँच करें।

दो परिभाषाओं का विश्लेषण करने के लिए, सबसे सरल वास्तव में गैर-नियतात्मक मशीनों के निर्धारक संस्करणों पर विचार करना है, जिसे हेंड्रिक जनवरी द्वारा याद किया जा सकता है, सभी संभावित संगणनाओं के विवरण द्वारा।

लेकिन निर्धारककरण के लिए कम से कम दो प्रकार के संगणनात्मक अभिकलन हैं, हालाँकि आमतौर पर केवल एक ही माना जाता है:

• अस्तित्वपूर्ण डाइवेटिंग निर्धारण, जो समानांतर में सभी संगणना का अनुकरण करता है और जब एक संगणित गणना समाप्त हो जाती है तो समाप्त हो जाती है।

• यूनिवर्सल डॉक्युलेटिंग निर्धारण जो समानांतर में सभी संगणना का अनुकरण करता है और केवल तभी समाप्त होता है जब सभी संगणित संगणना समाप्त हो जाती है। लेकिन यह किसी भी तरह से गणना योग्य गणनाओं की गणना कर सकता है या उनकी गणना कर सकता है।

प्रस्ताव 2 :

• $M$$x$$M_\exists$$x$

• $M$$x$$M_\forall$$x$

$M$$x$$M_\forall$$x$

प्रमेय 3 : नियतात्मक TM के लिए रुकने की समस्या, और nondeterministic TM के लिए अस्तित्वगत और सार्वभौमिक रुकने की समस्याएं बराबर हैं।

प्रमाण : यह प्रस्ताव 2 और इस तथ्य से निर्धारित होता है कि नियतात्मक TM, nondeterministic TM का एक सबसेट है, जहाँ दोनों अस्तित्वगत और सार्वभौमिक ठहराव सरल निर्धारक पड़ाव को कम करते हैं।

इसलिए, देखने की एक संगणनात्मक दृष्टि से, और मुझे देखने के बिंदु से एक प्रतीक को कहने के लिए लुभाया जाता है, ऐसा लगता है कि यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सी परिभाषा को चुना गया है, अस्तित्वगत या सार्वभौमिक, nondeterministic रुकने की समस्या के लिए।

NTM रुकने की एक परिभाषा और क्यों चुनें

हालांकि, एक निर्धारण प्रक्रिया के लिए बहुत कुछ है जो मूल ऑटोमेटोन द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा को संरक्षित नहीं करता है?

भाषा मान्यता में nondeterminism के उपयोग का सार यह है कि यह एक ऐसा मान लेता है जो एक सही कम्प्यूटेशनल पथ का अनुमान लगाने वाला होता है जब भी कोई ऐसा होता है जो स्वीकृति के लिए नेतृत्व करेगा, एक मौलिक रूप से अस्तित्वपूर्ण दृष्टिकोण ।

एक nondeterministic संगणना में, हॉल्टिंग और गैर-हॉल्टिंग पर अस्वीकृति के बीच कोई अंतर नहीं है। दोनों मामलों में, कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है। मान्यता प्राप्त भाषा को बदल नहीं दिया जाता है यदि आप एक गैर-रोक अनंत लूप द्वारा रोकने पर अस्वीकृति को प्रतिस्थापित करते हैं, जिसे मैं एनएफए सहित सभी nondeterministic ऑटोमेटा के बारे में सोच सकता हूं, (बस एक लूपिंग जोड़ें)$\epsilon$विफलता पर राज्यों)। यह निर्धारक ऑटोमेटा का भी सच है, बशर्ते इनपुट के अंत को चिह्नित करने वाला एक विशेष प्रतीक है, जैसा कि आमतौर पर एलबीए के लिए किया जाता है।

इस प्रकार हॉल्ट द्वारा स्वीकृति को नोंडेटर्मिनिस्टिक ऑटोमेटा के लिए स्वीकृति के विहित रूप के रूप में देखा जा सकता है।

इस विहित दृष्टिकोण को देखते हुए, मान्यता समस्या के रूप में हॉल्टिंग समस्या को भी समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है :

क्या एक समान प्रक्रिया है, जिसने एक भाषा दी है $L$ ट्यूरिंग मशीन द्वारा मान्यता प्राप्त है $M$, किसी भी शब्द के लिए तय कर सकते हैं $x$ कि क्या $x\in L$?

यह पुनरावर्ती enumerabiliy और हॉल्टिंग समस्या के बीच घनिष्ठ संबंधों का प्रमाण देता है। टीएम को रोकने के बीच यह समानता$M$ इनपुट पर $x$ और की सजा $x$ भाषा में $M$ पहचान नियतात्मक TM दोनों के लिए और nondeterministic वाले के लिए सही है, बशर्ते हम nondeterministic रुकने की अस्तित्वगत परिभाषा पर विचार करें।

हालांकि, मामले में सार्वभौमिक ठहराव, यह करीबी संबंध खो जाता है। इसी तरह का एक बयान दिया जा सकता है, लेकिन एनटीएम (या वैकल्पिक रूप से एक एनटीएम द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा क्या है, इसकी परिभाषा के लिए वैकल्पिक रूप से एनटीएम) द्वारा मान्यता प्राप्त एक से अलग भाषा के लिए)।

एक सिद्धांत विकसित करते समय, निरंतर परिभाषाओं का उपयोग करना आवश्यक है ताकि संरचनाओं को सरल और सबसे आकर्षक रूप में संबंधों पर जोर दिया जा सके। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि वर्तमान मामले में, अन्य परिभाषाओं के साथ संगति यह बताती है कि अस्तित्वगत ठहराव नोंडेटर्मिनिस्टिक ट्यूरिंग मशीनों के लिए रुकने की प्राकृतिक परिभाषा है।

बेशक, किसी को हमेशा सार्वभौमिक ठहराव का विश्लेषण करने में रुचि हो सकती है। इसी तरह, एक आवश्यकता के आधार पर एनटीएम के लिए सार्वभौमिक स्वीकृति का एक सिद्धांत भी विकसित कर सकता है$x$ यदि इनपुट पर सभी संगणना स्वीकार की जाती है $x$रुक जाओ और स्वीकार करो। लेकिन, जाहिर है, ट्यूरिंग मशीनों के सिद्धांत में इसे एक प्रमुख मुद्दा नहीं माना जाता है।

ऑटोमेटा के अन्य परिवारों का मामला

उपरोक्त विश्लेषण के कुछ हिस्सों को नंदेटेरिमिनिस्टिक ऑटोमेटा के अधिकांश परिवारों तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए एक पुश डाउन एटमटन (पीडीए) उन भाषाओं को परिभाषित कर सकता है जिन्हें एक नियतात्मक पीडीए द्वारा मान्यता नहीं दी जा सकती है। वही एलबीए का सच हो सकता है। अन्य भागों को सभी nondeterministic परिवारों तक बढ़ाया जा सकता है।

Nondeterministic पड़ाव की परिभाषा के बारे में, भले ही ट्यूरिंग मशीन मामले में इस्तेमाल किया जाने वाला तर्क प्रयोग करने योग्य नहीं हो सकता है, ऐसा लगता है कि एकमात्र समझदार विकल्प एक परिभाषा को अपनाना है जो कि nondeterministic ट्यूरिंग मशीनों के लिए उपयोग किए जाने वाले संगत है, इसलिए अस्तित्वगत परिभाषा ।

Nondeterministic automata के इन परिवारों के लिए Halting समस्या की परिभाषा इस प्रकार है, और प्रश्न में प्रस्तावित परिभाषा के अनुरूप है।