मैंने हमेशा अस्पष्ट रूप से सोचा है कि उपरोक्त प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित पंक्तियों के साथ सकारात्मक था। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय और रुकने की समस्या दोनों की अनिर्णयता के बारे में नकारात्मक परिणाम हैं और विकर्ण तर्कों (और 1930 के दशक) द्वारा स्थापित हैं, इसलिए उन्हें किसी भी तरह से समान मामलों को देखने के दो तरीके होने चाहिए। और मुझे लगा कि ट्यूरिंग ने एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन का उपयोग किया है, जिससे यह पता चलता है कि हॉल्टिंग समस्या अकल्पनीय है। ( यह गणित भी देखें । प्रश्न।)
लेकिन अब वह (कम्प्यूटेशनल में एक कोर्स पढ़ाना) मैं इन मामलों में करीब से देखता हूं, मैं जो पाता हूं उससे घबरा जाता हूं। इसलिए मैं अपने विचारों को सीधा करने में कुछ मदद करना चाहूंगा। मुझे लगता है कि एक तरफ गोडेल के विकर्ण तर्क बहुत ही सूक्ष्म है: एक अंकगणितीय कथन के निर्माण के लिए बहुत काम की आवश्यकता होती है, जिसकी व्याख्या इस बारे में की जा सकती है कि यह अपनी व्युत्पत्ति के बारे में कुछ कहे। दूसरी ओर मुझे यहाँ मिली रुकने की समस्या की अनिश्चयता का प्रमाण अत्यंत सरल है, और ट्यूरिंग मशीनों का स्पष्ट रूप से उल्लेख भी नहीं करता है, केवल सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों के अस्तित्व को।
यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीनों के बारे में एक व्यावहारिक सवाल यह है कि क्या यह किसी भी महत्व का है कि एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन की वर्णमाला ट्यूरिंग मशीनों के समान हो जो इसे अनुकरण करती है। मैंने सोचा था कि एक उचित विकर्ण तर्क (मशीन खुद को अनुकरण करने वाले) को मनमाने के लिए आवश्यक होगा, लेकिन मुझे इस सवाल पर कोई ध्यान नहीं मिला है, जो सार्वभौमिक मशीनों के विवरणों के दिलकश संग्रह में था जो मुझे नेट पर मिला था। यदि रुकने की समस्या के लिए नहीं, तो क्या सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनें किसी भी विकर्ण तर्क में उपयोगी हैं?
अंत में मैं इसके आगे के खंड से भ्रमित हूंउसी WP लेख में, जो कहता है कि गोडेल की अपूर्णता का एक कमजोर रूप हॉल्टिंग समस्या से निम्नानुसार है: "प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सभी कथनों का एक पूर्ण, सुसंगत और ध्वनि स्वयंसिद्ध होना अस्वीकार्य है" जहां "ध्वनि" को कमजोर करना माना जाता है। मुझे पता है कि एक सिद्धांत सुसंगत है यदि कोई एक विरोधाभास प्राप्त नहीं कर सकता है, और प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक पूर्ण सिद्धांत का अर्थ यह प्रतीत होगा कि प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सभी सच्चे कथन इसमें प्राप्त किए जा सकते हैं; मुझे पता है कि गोडेल कहते हैं कि ऐसा कोई सिद्धांत मौजूद नहीं है, लेकिन मैं यह देखने में विफल रहता हूं कि इस तरह के काल्पनिक जानवर संभवतः ध्वनि करने में विफल कैसे हो सकते हैं, अर्थात, प्राकृतिक संख्याओं के लिए गलत कथन भी व्युत्पन्न करते हैं: इस तरह के बयान की उपेक्षा सही होगी , और इसलिए पूर्णता भी व्युत्पन्न होती है, जो स्थिरता के विपरीत होगी।
मैं इनमें से किसी एक बिंदु पर किसी भी स्पष्टीकरण की सराहना करूंगा।