क्या गोडेल की अपूर्णता प्रमेय, हॉल्टिंग समस्या और सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों के बीच कोई ठोस संबंध है?


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मैंने हमेशा अस्पष्ट रूप से सोचा है कि उपरोक्त प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित पंक्तियों के साथ सकारात्मक था। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय और रुकने की समस्या दोनों की अनिर्णयता के बारे में नकारात्मक परिणाम हैं और विकर्ण तर्कों (और 1930 के दशक) द्वारा स्थापित हैं, इसलिए उन्हें किसी भी तरह से समान मामलों को देखने के दो तरीके होने चाहिए। और मुझे लगा कि ट्यूरिंग ने एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन का उपयोग किया है, जिससे यह पता चलता है कि हॉल्टिंग समस्या अकल्पनीय है। ( यह गणित भी देखें । प्रश्न।)

लेकिन अब वह (कम्प्यूटेशनल में एक कोर्स पढ़ाना) मैं इन मामलों में करीब से देखता हूं, मैं जो पाता हूं उससे घबरा जाता हूं। इसलिए मैं अपने विचारों को सीधा करने में कुछ मदद करना चाहूंगा। मुझे लगता है कि एक तरफ गोडेल के विकर्ण तर्क बहुत ही सूक्ष्म है: एक अंकगणितीय कथन के निर्माण के लिए बहुत काम की आवश्यकता होती है, जिसकी व्याख्या इस बारे में की जा सकती है कि यह अपनी व्युत्पत्ति के बारे में कुछ कहे। दूसरी ओर मुझे यहाँ मिली रुकने की समस्या की अनिश्चयता का प्रमाण अत्यंत सरल है, और ट्यूरिंग मशीनों का स्पष्ट रूप से उल्लेख भी नहीं करता है, केवल सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों के अस्तित्व को।

यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीनों के बारे में एक व्यावहारिक सवाल यह है कि क्या यह किसी भी महत्व का है कि एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन की वर्णमाला ट्यूरिंग मशीनों के समान हो जो इसे अनुकरण करती है। मैंने सोचा था कि एक उचित विकर्ण तर्क (मशीन खुद को अनुकरण करने वाले) को मनमाने के लिए आवश्यक होगा, लेकिन मुझे इस सवाल पर कोई ध्यान नहीं मिला है, जो सार्वभौमिक मशीनों के विवरणों के दिलकश संग्रह में था जो मुझे नेट पर मिला था। यदि रुकने की समस्या के लिए नहीं, तो क्या सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनें किसी भी विकर्ण तर्क में उपयोगी हैं?

अंत में मैं इसके आगे के खंड से भ्रमित हूंउसी WP लेख में, जो कहता है कि गोडेल की अपूर्णता का एक कमजोर रूप हॉल्टिंग समस्या से निम्नानुसार है: "प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सभी कथनों का एक पूर्ण, सुसंगत और ध्वनि स्वयंसिद्ध होना अस्वीकार्य है" जहां "ध्वनि" को कमजोर करना माना जाता है। मुझे पता है कि एक सिद्धांत सुसंगत है यदि कोई एक विरोधाभास प्राप्त नहीं कर सकता है, और प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक पूर्ण सिद्धांत का अर्थ यह प्रतीत होगा कि प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सभी सच्चे कथन इसमें प्राप्त किए जा सकते हैं; मुझे पता है कि गोडेल कहते हैं कि ऐसा कोई सिद्धांत मौजूद नहीं है, लेकिन मैं यह देखने में विफल रहता हूं कि इस तरह के काल्पनिक जानवर संभवतः ध्वनि करने में विफल कैसे हो सकते हैं, अर्थात, प्राकृतिक संख्याओं के लिए गलत कथन भी व्युत्पन्न करते हैं: इस तरह के बयान की उपेक्षा सही होगी , और इसलिए पूर्णता भी व्युत्पन्न होती है, जो स्थिरता के विपरीत होगी।

मैं इनमें से किसी एक बिंदु पर किसी भी स्पष्टीकरण की सराहना करूंगा।


आपके पास एक वैचारिक समस्या है: एल्गोरिथम डिसिडेबिलिटी (हॉल्टिंग समस्या) और व्युत्पन्नता सम्मान। उकसावे (लॉजिक्स) दो बहुत अलग अवधारणाएँ हैं; आप दोनों के लिए "गिरावट" का उपयोग करते हैं।
राफेल

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@ राफेल: मैं बहुत अच्छी तरह से जानता हूं कि अपूर्णता प्रमेय के कथनों और हॉल्टिंग समस्या की अनिच्छा के बीच एक बड़ा वैचारिक अंतर है। हालांकि अपूर्णता का नकारात्मक रूप: एक पर्याप्त रूप से शक्तिशाली औपचारिक प्रणाली दोनों सुसंगत और पूर्ण नहीं हो सकती है, एक अशोभनीय बयान में अनुवाद करता है: चूंकि एक औपचारिक प्रणाली में प्रमेयों का सेट निर्माण द्वारा अर्ध-निर्णय योग्य है, पूर्णता गैर का सेट बना देगा -अतिरिक्त अर्द्ध-पर्णपाती (साथ ही प्रमेयों की अवहेलना, संगति मानकर, या फिर खाली सेट के रूप में), इसलिए अवनति।
मार्क वैन लीउवेन

हां वास्तव में दो प्रमाण वैचारिक रूप से बेहद समान हैं और वास्तव में इसे देखने का एक तरीका यह है कि गोडेल ने अंकगणित में एक प्रकार के ट्यूरिंग-पूर्ण तर्क का निर्माण किया। ऐसी कई किताबें हैं जो इस वैचारिक समानता को इंगित करती हैं। जैसे Godel Escher Bach द्वारा hofstadter या सम्राटों द्वारा नया दिमाग, कलम से ....
vzn

कुछ हद तक संबंधित ... मैं हमेशा हॉफस्टैटर के पराबेल को गलत तरीके से देखता हूं जहां कछुआ समस्या को लागू करने के लिए कछुओं के रिकॉर्ड खिलाड़ी को तोड़ता रहता है। वास्तव में, मैंने अपने भ्रम को खोजते हुए (पुनः) इस सूत्र को पाया। मुझे अभी भी लगता है कि पराबेल अधिक स्वाभाविक रूप से और सीधे हॉल्टिंग समस्या में अनुवाद करती है, लेकिन यह किसी भी प्रमेय की गहरी समझ के बिना है।
माइकल्स

जवाबों:


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मैं आपको सलाह देता हूं कि स्कॉट आरोनसन के ब्लॉग पोस्ट को ट्यूरिंग मशीनों और रोसेर के प्रमेय के माध्यम से अपूर्णता प्रमेय के प्रमाण पर जांच करें । अपूर्णता प्रमेय का उनका प्रमाण अत्यंत सरल और अनुसरण करने में आसान है।


इस लिंक के लिए धन्यवाद, मैं अभी के लिए स्वीकार करता हूं क्योंकि यह मेरी चिंताओं के सबसे करीब आता है। पहले तो मैं काफी परेशान था, हालांकि: मैंने गलत समझा "पूर्ण" का मतलब है "हर सत्य एक व्युत्पन्न है" (ध्वनि के लिए एक विपरीत) "अगर व्युत्पन्न नहीं है, तो है" (सुसंगत करने के लिए एक संकेत )। स्कॉट आरोनसन लगता है कि "पूर्ण" का अर्थ दर्शकों के लिए स्पष्ट है, हालांकि वह एक तर्कवादी दर्शकों (जो मैं निश्चित रूप से नहीं हूं) को ग्रहण नहीं करता है; मेरी गलतफहमी के साथ वह जो लिखता है उसका कोई मतलब नहीं है। अपनी त्रुटि पाकर, मुझे यह पोस्ट काफी रोचक लगी। ¬ पीP¬P
मार्क वैन लीउवेन 15

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संगणना के बारे में अध्याय में द नेचर ऑफ कम्प्यूटेशन ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) पुस्तक में एक समान नस में एक और प्रमाण है । वहां, लेखक रोसेर के प्रमेय के उपयोग से बचते हैं और केवल सार्वभौमिक मशीनों (यानी, चर्च-ट्यूरिंग थीसिस) के अस्तित्व को मानते हैं। इसका सटीक संदर्भ खंड 7.2.5 पृष्ठ 238 है।
मार्कोस विलगरा

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नील कृष्णास्वामी का हाल्टिंग समस्या का जवाब , अविश्वसनीय सेट: सामान्य गणितीय प्रमाण? श्रेणी के सिद्धांत की छतरी के नीचे उपरोक्त परिणामों को जोड़ने वाले संदर्भों पर CSTheory अंक।


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इस पत्र का उल्लेख cstheory उत्तर में नहीं किया गया है (लेकिन उत्तर से लेडी बाउर के ब्लॉग पोस्ट की टिप्पणियों में है ), लेकिन संभवतः एक अच्छा अवलोकन भी है।
आर्टेम काज़नाचेव

यह परिणामों के बीच निहितार्थ के बजाय प्रमाणों की समानता पर आधारित एक कनेक्शन है, है ना?
राफेल

1
खैर, आर्टेम के लिंक में जो दृश्य है, वह यह है कि ये सभी एक श्रेणी-सिद्धांत संबंधी तथ्य की अभिव्यक्ति हैं।
सुरेश

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(यह सुरेश के जवाब के लिए एक टिप्पणी माना जाता है, लेकिन यह बस वहां फिट होने के लिए बहुत लंबा है। इसलिए मैं पहले से माफी मांगता हूं कि यह वास्तव में मार्क के सवाल का जवाब नहीं देता है।)

मुझे लगता है कि नील का उत्तर हाल्टिंग समस्या, अविश्वसनीय सेट: सामान्य गणितीय प्रमाण है? CSTheory और Andrej Bauer के ब्लॉग पर दो कारणों से असंतोषजनक पोस्ट

सबसे पहले, हमें कनेक्शन की व्याख्या करने के लिए आमतौर पर सभी श्रेणी-सिद्धांतिक शब्दजाल की आवश्यकता नहीं होती है। एक असंदिग्ध भाषा का अस्तित्व कैंटर के प्रमेय द्वारा निहित है , जिसका एक बहुत ही विकर्ण प्रमाण है। कारण यह है कि कार्यक्रमों का सेट बराबर है । दूसरी ओर, चूंकि प्रत्येक भाषा को सबसेट के रूप में देखा जा सकता है , और इस प्रकार सभी भाषाओं का सेट _ बराबर है । कैंटर के प्रमेय के अनुसार, पर से कोई आपत्ति नहीं है , और इस प्रकार हम जानते हैं कि एक अपरिहार्य भाषा मौजूद होनी चाहिए।एन पी ( एन ) एन पी ( एन )NNP(N)NP(N)

दूसरा, उपरोक्त प्रमाण असंतोषजनक है क्योंकि हम भी एक उचित अवांछनीय भाषा का "देखना" चाहते हैं। उपरोक्त प्रमाण को गिनती के तर्क के रूप में देखा जा सकता है और इस प्रकार वास्तव में उस अर्थ में "रचनात्मक" नहीं है। ट्यूरिंग ने इस तरह के उदाहरण के रूप में रुकने की समस्या की खोज की।


+1 यह एक अधिक सरल तरीका है, लेकिन मुझे अभी भी इस बारे में संदेह है: "और इस तरह हम जानते हैं कि एक अयोग्य भाषा मौजूद होनी चाहिए।" क्या आप अनिर्दिष्ट भाषा और अशिष्ट समस्या के बीच अंतर निर्दिष्ट कर सकते हैं?
हरनाना_चाहे

1
@ हर्नान_ई वास्तव में कोई "अंतर" नहीं है। अभिकलन सिद्धांत में एक निर्णय समस्या को इनपुट के सेट पर किसी भी हां-या-कोई प्रश्न के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है । इस प्रकार, हम प्रत्येक निर्णय समस्या को सेट पर दे सकते हैं जिसके लिए उत्तर हां है। सेट समस्या द्वारा परिभाषित भाषा है । पी एल Σ * एल पीxΣPLΣLP
दाई

समझ गए, आप बहुत स्पष्ट हैं, मैं मानता हूं कि गिनती तर्क पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है, लेकिन उदाहरण के बिना भी, मुझे लगता है कि शायद सबसे खराब हिस्सा यह है कि अनंत है, फिर वहाँ कहने में कोई बड़ी आश्चर्य की बात नहीं है अनिर्वचनीय भाषाएं हैं, एक परिमित मामले के लिए तर्क को बेहतर ( सीमित करने के लिए बेहतर कहा गया ) होगा, (मैं एक अनिर्णायक समस्या का उदाहरण नहीं पूछ रहा हूं), लेकिन एक समान प्रमाण (या अयोग्य) एक परिमित सेट के लिए मान्य है। इनपुट के बजायएनLΣN
प्रशंसा की

लेकिन विकर्ण तर्क वास्तव में एक रचनात्मक प्रमाण है। कैंटर की प्रमेय में आपकी कमी के साथ, अशिष्ट भाषा उन सभी मशीनों का सेट है जिनकी एन्कोडिंग इसकी स्वीकृत भाषा में नहीं है।
विल्ड झान

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यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीनें कुछ विकर्ण तर्कों के लिए उपयोगी होती हैं, जैसे समय या स्थान की जटिलता के पदानुक्रम में कुछ वर्गों के अलगाव में : सार्वभौमिक मशीन का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जाता है कि में निर्णय समस्या है लेकिन । (बेहतर लेख WP लेख में पाया जा सकता है)DTIME ( f ( n / 2 ) )DTIME(f(n)3)DTIME(f(n/2))

हालांकि, पूरी तरह से ईमानदार होने के लिए, यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो सार्वभौमिक मशीन का उपयोग 'नकारात्मक' भाग में नहीं किया जाता है: सबूत मानता है कि एक मशीन जो हॉल्टिंग समस्या के समय-सीमित संस्करण को हल करेगी और फिर निर्माण करने के लिए आगे बढ़ती है। । (यहां कोई सार्वभौमिक मशीन नहीं है) सार्वभौमिक मशीन का उपयोग बड़ी मात्रा में हॉल्टिंग समस्या के समय-सीमित संस्करण को हल करने के लिए किया जाता है।¬ कश्मीर कश्मीरK¬KK


पर्याप्त रूप से गैर-संकेंद्रित f (n) के लिए।
योनातन एन

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"यदि हॉल्टिंग समस्या के लिए नहीं, तो क्या यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीनें किसी भी विकर्ण तर्क में उपयोगी हैं?"

चावल की प्रमेय अनिवार्य रूप से ट्यूरिंग मशीनों के खिलाफ विकर्ण का सामान्यीकरण है। यह दर्शाता है कि ट्यूरिंग मशीनों के बारे में बिल्कुल कोई संपत्ति नहीं है कि आप सभी ट्यूरिंग मशीनों के लिए एक ही एल्गोरिथ्म के साथ तय कर सकते हैं जब तक कि सभी ट्यूरिंग मशीनों या कोई ट्यूरिंग मशीनों के लिए संपत्ति न हो। इस तथ्य पर ध्यान दें कि सभी ट्यूरिंग मशीनों या नो ट्यूरिंग मशीनों के लिए संपत्ति रखने वाले तिरछे ऑब्जेक्ट को ट्यूरिंग मशीन होने से रोकती है, इसलिए यह संपत्ति के बारे में निर्णय के विपरीत पहली सूची में नहीं हो सकता है। वास्तव में यह एकमात्र हैबात यह है कि विकर्ण वस्तु को सूची में शामिल होने से रोकें और संपत्ति के बारे में निर्णय का खंडन करें, जो कि ट्यूरिंग मशीनों के सभी गुण अनिर्दिष्ट हैं। विकर्ण वस्तु का यह पैटर्न उन चीजों की सूची का एक सदस्य होने की जरूरत है, जिनके बारे में आप निर्णय लेने की कोशिश कर रहे हैं, और फिर भी निर्णय को नकारना है, यह महत्वपूर्ण अमूर्तता है जो लॉवेर्स प्रमेय (सुरेश के उत्तर में लिंक में संदर्भित) को पकड़ती है। विकर्णीकरण की धारणा को पूरी तरह से सामान्य बनाने के लिए। अब, जब से हम अनुभव से जानते हैं कि लगभग हर विकर्ण के पास गणितीय तर्क में कुछ अत्यंत महत्वपूर्ण परिणाम के लिए अग्रणी संपत्ति है, जो लॉवेर्स प्रमेय को काफी दिलचस्प उपकरण बनाता है।

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