दोहराए गए उपाय ANOVA गोलाकार क्यों मानते हैं?

गोलाकारता से मेरा तात्पर्य यह है कि समूहों के बीच सभी जोड़ीदार अंतरों का विचरण समान होना चाहिए।

विशेष रूप से, मुझे यह समझ में नहीं आता है कि यह धारणा क्यों होनी चाहिए और यह नहीं कि देखे गए समूह अंकों के परिवर्तन स्वयं समान हों।

— user1205901 - मोनिका को बहाल करें
स्रोत

जैसा कि मैंने यहां टिप्पणी की है , क्योंकि आरएम स्तरों के बीच अंतर चर उनके मूल, गोलाकार से बंधे हैं, तो इसका मतलब है कि उनके पास समान संस्करण हैं।

— ttnphns

उत्तर देने से पहले यह जानना उपयोगी होगा कि क्या आप समझते हैं कि स्वतंत्र उपायों में एनोवा को सजातीयता की एकरूपता की धारणा क्यों है।

— जॉन

@ जॉन मेरी समझ यह है कि आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 81914/ पर दिया गया उत्तर सही ढंग से उस प्रश्न का उत्तर देता है।

— user1205901 -

@ttnphns दुर्भाग्य से मैं आपके उत्तर को काफी नहीं समझता। क्या आप या कुछ अन्य पोस्टर इसे अधिक विस्तृत प्रतिक्रिया में स्पिन करने के लिए इच्छुक होंगे?

— user1205901 -

जवाबों:

गोलाकार धारणा के पीछे अंतर्ज्ञान

आम, गैर दोहराया उपायों की मान्यताओं में से एक, एनोवा सभी समूहों में समान रूप से भिन्न है।

(हम इसे समझ सकते हैं क्योंकि समान भिन्नता, जिसे होमोसिस्टैस्टिकिटी के रूप में भी जाना जाता है , को रेखीय प्रतिगमन में ओएलएस अनुमानक के लिए BLUE होने की आवश्यकता होती है और संबंधित टी-परीक्षणों को मान्य होने के लिए, गॉस-मार्कोव प्रमेय देखें और एनोवा को रैखिक के रूप में लागू किया जा सकता है। प्रतिगमन।)

तो चलिए गैर-आरएम मामले को RM-ANOVA मामले को कम करने का प्रयास करते हैं। सादगी के लिए, मैं (किसी भी बीच-विषय प्रभाव के बिना) एक कारक RM-एनोवा के साथ काम किया जाएगा है कि में दर्ज विषयों आर एम की स्थिति। $n$ $k$

प्रत्येक विषय का अपना विषय-विशिष्ट ऑफसेट या अवरोधन हो सकता है। यदि हम अन्य सभी समूहों के मूल्यों में से एक समूह में मूल्यों को घटाते हैं, तो हम इन अवरोधों को रद्द कर देंगे और उस स्थिति में पहुंच जाएंगे जब हम परीक्षण करने के लिए गैर-आरएम-एनोवा का उपयोग कर सकते हैं यदि ये समूह अंतर सभी शून्य हैं। इस परीक्षण को मान्य होने के लिए, हमें इन मतभेदों के समान रूपांतरों की धारणा की आवश्यकता है । $k-1$ $k-1$

अब हम अन्य सभी समूहों से समूह # 2 को घटा सकते हैं, फिर से अंतर पर पहुंच सकते हैं जिसमें समान संस्करण भी होने चाहिए। से प्रत्येक समूह के लिए, संबंधित अंतर के समान होने चाहिए। यह जल्दी से इस प्रकार है कि सभी संभावित अंतर समान होना चाहिए। $k-1$ $k$ $k-1$ $k(k-1)/2$

जो वास्तव में गोलाकार धारणा है।

समूह भिन्नताओं को स्वयं के बराबर क्यों नहीं होना चाहिए?

जब हम RM-ANOVA के बारे में सोचते हैं, तो हम आमतौर पर फॉर्म के के एक साधारण एडिटिव मिक्स्ड-मॉडल-स्टाइल मॉडल के बारे में हैं जहां विषय प्रभाव होते हैं, स्थिति प्रभाव हैं, और ।

y_{i j} = μ + α_{i} + β_{j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij},$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{j}

$\beta_j$

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$

इस मॉडल के लिए, समूह मतभेद का पालन करेंगे , यानी सभी एक ही विचरण करना होगा , इसलिए गोलाई रखती है। लेकिन प्रत्येक समूह और variances साधनों के साथ गाऊसी के मिश्रण का पालन करेगा , जो कि कुछ भिन्न वितरण विचरण जो कि समूहों में निरंतर है। $\mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2)$ $2\sigma^2$ $n$ $\alpha_i$ $\sigma^2$ $V(\vec \alpha, \sigma^2)$

तो इस मॉडल में, वास्तव में, समूह संस्करण भी समान हैं। समूह सहसंयोजक भी समान हैं, जिसका अर्थ है कि यह मॉडल यौगिक समरूपता का अर्थ है । यह गोलाकार की तुलना में अधिक कठोर स्थिति है। शो के ऊपर मेरे सहज तर्क के रूप में, RM-ANOVA अधिक सामान्य स्थिति में ठीक काम कर सकता है, जब ऊपर लिखा गया एडिटिव मॉडल पकड़ में नहीं आता है ।

सटीक गणितीय कथन

मैं यहाँ Huynh & Feldt, 1970 $F$ से कुछ जोड़ने जा रहा हूँ , बार-बार मापी जाने वाली माप डिज़ाइन में किस मीन स्क्वायर अनुपात के तहत स्थितियाँ सटीक -Distributions हैं ।

गोलाकार टूटने पर क्या होता है?

जब गोलाकारता पकड़ में नहीं आती है, तो हम शायद RM-ANOVA से (i) के लिए फुलाए गए आकार (अधिक प्रकार की त्रुटियां) की उम्मीद कर सकते हैं, (ii) ने शक्ति में कमी (अधिक प्रकार II त्रुटियाँ) की हैं। सिमुलेशन द्वारा यह पता लगाया जा सकता है, लेकिन मैं इसे यहां नहीं करने जा रहा हूं।

— एक सलि का जन्तु
स्रोत

यह पता चला है, कि गोलाकार का उल्लंघन करने का प्रभाव शक्ति का नुकसान होता है (यानी एक टाइप II त्रुटि की संभावना बढ़ जाती है) और एक परीक्षण सांख्यिकीय (एफ-अनुपात) जो एफ-वितरण के सारणीबद्ध मूल्यों की तुलना में नहीं किया जा सकता है। एफ-टेस्ट बहुत उदार हो जाता है (यानी शून्य परिकल्पना के सत्य होने पर शून्य परिकल्पना के अस्वीकार का अनुपात अल्फा स्तर से बड़ा है।

इस विषय की सटीक जांच बहुत शामिल है, लेकिन सौभाग्य से बॉक्स एट अल ने इसके बारे में एक पत्र लिखा: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177728786

संक्षेप में, स्थिति इस प्रकार है। पहले, मान लें कि हमारे पास एस विषयों और एक प्रायोगिक उपचार के साथ एक कारक दोहराया माप डिजाइन है इस मामले में, स्वतंत्र चर के प्रभाव को एफ स्टेटिस्टिक कंप्यूटिंग द्वारा परीक्षण किया जाता है, जिसका अर्थ औसत वर्ग द्वारा प्रभाव वर्ग के अनुपात के रूप में गणना की जाती है। विषय कारक और स्वतंत्र चर के बीच की बातचीत। जब गोलाकार होता है, तो इस आंकड़े में स्वतंत्रता के और डिग्री के साथ फिशर वितरण होता है । $\upsilon_{1}=A-1$ $\upsilon_{2}=(A-1)(S-1)$

ऊपर लेख में बॉक्स से पता चला, जब गोलाई विफल रहता है, स्वतंत्रता की डिग्री की सही संख्या हो जाता है कि एफ अनुपात की गोलाई पर निर्भर करता है की तरह तो: $\upsilon_{1}$ $\epsilon$

υ_{1} = ϵ (A - 1)

$\upsilon_{1} = \epsilon(A-1)$

υ_{2} = ϵ (A - 1) (S - 1)

$\upsilon_{2} = \epsilon(A-1)(S-1)$

इसके अलावा बॉक्स ने गोलाकार सूचकांक पेश किया, जो जनसंख्या सहसंयोजक मैट्रिक्स पर लागू होता है । अगर हम कहते हैं इस एक्सा तालिका के प्रविष्टियों, तो सूचकांक है $\xi_{a,a}$

ϵ = \frac{{(\sum_{a}^{} ξ_{a, a})}^{2}}{(A - 1) \sum_{a, a^{'}}^{} ξ_{a, a^{'}}^{2}}

$\epsilon = \frac{\left ( \sum_{a}^{ }\xi_{a,a} \right )^{2}}{\left ( A-1 \right )\sum_{a,a'}^{ }\xi_{a,a'}^{2}}$

गोलाकार का बॉक्स सूचकांक एक सहसंयोजक मैट्रिक्स के प्रतिजन के संबंध में सबसे अच्छा समझा जाता है। याद रखें कि कोविरियस मैट्रिसेस सकारात्मक अर्ध-निश्चित मेट्रिसेस के वर्ग से संबंधित हैं और इसलिए हमेशा अशक्त eigenvalues के सकारात्मक हैं। इस प्रकार, एक क्षेत्र के बराबर सभी eigenvalues होने के बराबर गोलाकार स्थिति।

इसलिए, जब गोलाकार का उल्लंघन किया जाता है, तो हमें अपने एफ आँकड़ों के लिए कुछ सुधार लागू करने चाहिए, और इस सुधार के सबसे उल्लेखनीय उदाहरण हैं ग्रीनहाउस-गीज़र और ह्येन-फेल्ड, उदाहरण के लिए

बिना किसी सुधार के आपके परिणाम पक्षपाती और इतने अविश्वसनीय हो जाएंगे। उम्मीद है की यह मदद करेगा!

— विशाल शिक्षाविद
स्रोत

+1। मैं बाद में अधिक टिप्पणी करूंगा, लेकिन अभी के लिए आपका पहला पैराग्राफ शक्ति और परीक्षण के आकार को एक साथ मिलाता है। गोलाकार का उल्लंघन होने पर क्या बिगड़ा है? प्रकार मैं शून्य के तहत त्रुटि दर? या शक्ति? अथवा दोनों? आप शायद दोनों का मतलब रखते हैं, लेकिन सूत्रीकरण बहुत स्पष्ट नहीं है (मुझे लगता है)। इसके अलावा, यह "बॉक्स एट अल" नहीं है, यह केवल बॉक्स है :)

— अमीबा

मुझे लगता है कि शक्ति ज्यादातर क्षीण होगी, क्योंकि जैसा कि बॉक्स ने दिखाया, जब गोलाकार का उल्लंघन किया जाता है तो हमें पूरी तरह से अलग सांख्यिकीय (स्वतंत्रता के एक और डिग्री के साथ) पर भरोसा करना होगा। यदि हम उस पर भरोसा नहीं करते हैं, तो इस बात पर निर्भर करता है कि हमारा उल्लंघन कितना मजबूत है, हमारे पास अशक्त परिकल्पना को खारिज करने का बड़ा अनुपात होगा।

— विशाल शिक्षाविद

क्षमा करें, अभी भी उलझन में है, अब आपकी टिप्पणी से: "नल के अस्वीकार का बड़ा अनुपात" - आपका मतलब है कि जब नल वास्तव में सच है? लेकिन इसका सत्ता से कोई लेना-देना नहीं है, यह टाइप I एरर रेट है।

— अमीबा

10। मैं इस जवाब के लिए अपनी अमानत देता हूं: यह अच्छा है और यह एकमात्र उत्तर है जो बाउंटी अवधि में दिखाई दिया। मैं आपके उत्तर (अभी तक?) से पूरी तरह से संतुष्ट नहीं हूं और मैंने अपना उत्तर लिखना शुरू कर दिया (वर्तमान में अपूर्ण, लेकिन पहले से ही पोस्ट किया हुआ), लेकिन मुझे अंतर्निहित गणित की आंशिक समझ है। आपके उत्तर ने निश्चित रूप से मदद की और बॉक्स 1954 का संदर्भ बहुत उपयोगी है।

— अमीबा

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ξ

$\xi$

A \times A

$A\times A$

$y_{ijk}$ $i=1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K.$

आई-वें समूह का नमूना मतलब है

{\bar{y}}_{i . .} = \frac{1}{J K} \sum_{j = 1}^{J} \sum_{k = 1}^{K} y_{i j k}

$\bar{y}_{i..} = \frac{1}{JK}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

और जो कि ij-th विषय है

{\bar{y}}_{i j .} = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} y_{i j k}

$\bar{y}_{ij.} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

विषयों के बीच स्वतंत्रता ग्रहण करने से, दो समूह साधनों के बीच अंतर का विचलन होता है

V a r ({\bar{y}}_{i . .} - {\bar{y}}_{i^{'} . .}) = \frac{1}{J^{2}} \sum_{j = 1}^{J} V a r ({\bar{y}}_{i j .}) + \frac{1}{J^{2}} \sum_{j^{'} = 1}^{J} V a r ({\bar{y}}_{i^{'} j^{'} .})

$Var(\bar{y}_{i..} - \bar{y}_{i'..}) = \frac{1}{J^2}\sum_{j=1}^JVar(\bar{y}_{ij.}) + \frac{1}{J^2}\sum_{j'=1}^JVar(\bar{y}_{i'j'.})$

$Var(\bar{y}_{ij.})$ $\sigma^{2}/K$ $\sigma^{2}$ $Var(\bar{y}_{ij.})$

अब, गोलाकार प्रश्न जो उठाया गया था।

$\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}$

{\bar{y}}_{. . k} = \frac{1}{I J} \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} y_{i j k} .

$\bar{y}_{..k} = \frac{1}{IJ}\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}{y_{ijk}}.$

y_{i j k}

$y_{ijk}$

y_{i j k^{'}}

$y_{ijk'}$

V a r ({\bar{y}}_{. . k} - {\bar{y}}_{. . k^{'}}) = \frac{1}{(I J)^{2}} \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} V a r (y_{i j k} - y_{i j k^{'}})

$Var(\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}) = \frac{1}{(IJ)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JVar(y_{ijk} - y_{ijk'})$

इसलिए, सभी जोड़ीदार अंतरों की निरंतर भिन्नता मानकर एक बार सामान्य परीक्षण का अनुमान लगाने के बाद यह एक टी-टेस्ट करने के लिए मान्य होता है। यह धारणा, प्रत्येक अवलोकन के निरंतर विचरण के साथ, इसका तात्पर्य है कि माप के किसी भी जोड़े के बीच सहसंयोजक सभी जोड़े में स्थिर है - सर्जियोइस विषय पर एक महान पोस्ट है। इसलिए मान्यताओं को एक मैट्रिक्स के रूप में प्रत्येक विषय के बार-बार माप के लिए एक विचरण-सहसंयोजक संरचना प्रदान की जाती है, जिसमें एक तिरछे तिरछे और एक अन्य निरंतर रूप से तिरछे होते हैं। जब ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां सभी शून्य होती हैं, तो यह ऑल-इंडिपेंडेंट मॉडल (जो कई बार-बार माप अध्ययन के लिए अनुपयुक्त हो सकता है) को कम कर देता है। जब विकर्ण प्रविष्टियाँ विकर्ण के समान होती हैं, तो बार-बार माप किसी विषय के लिए पूरी तरह से सहसंबद्ध होते हैं, जिसका अर्थ है कि कोई भी माप प्रत्येक विषय के लिए सभी मापों जितना ही अच्छा है। अंतिम नोट - जब हमारे सरल विभाजन प्लॉट डिजाइन में K = 2 है, तो गोलाकार स्थिति स्वचालित रूप से पूरी हो जाती है।

— टी लिन
स्रोत