अगर

9

: निम्नलिखित की स्थापना मान लें
Let । इसके अलावा । इसके अलावा अर्थात संबंधित समर्थन की सीमाओं का एक उत्तल संयोजन है। सभी के लिए आम बात है । $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ $k_i$ $c$ $i$

मुझे लगता है कि मेरे पास का वितरण सही है: यह एक मिश्रित वितरण है । इसमें एक निरंतर भाग, और फिर एक असतत हिस्सा और एक असतत हिस्सा है संभाव्यता द्रव्यमान केंद्रित होता है: $Z_i$

X_{i} \in [a_{i}, k_{i}), Z_{i} = X_{i} \Rightarrow Pr (Z_{i} \leq z_{i}) = \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$

Pr (Z_{i} = k_{i}) = Pr (X_{i} > k_{i}) = 1 - Pr (X_{i} \leq k_{i})

$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$

= 1 - \frac{k_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} = 1 - \frac{(1 - c) (b_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} = c

$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$

तो सभी

F_{Z_{i}} (z_{i}) = {\begin{cases} 0 z_{i} < a_{i} \\ \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} a_{i} \leq z_{i} < k_{i} \\ 1 k_{i} \leq z_{i} \end{cases}

$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$

जबकि मिश्रित "असतत / निरंतर" द्रव्यमान / घनत्व फ़ंक्शन के लिए, यह अंतराल के बाहर , इसमें एक निरंतर भाग होता है जो एक समान , का घनत्व होता है लेकिन , और यह सकारात्मक संभाव्यता द्रव्यमान को पर । $0$ $[a_i, k_i]$ $U(a_i, b_i)$ $\frac {1}{b_i-a_i}$ $a_i\le z_i<k_i$ $c >0$ $z_i = k_i$

सभी में, यह वास्तविकताओं पर एकता के लिए बोता है।

मैं यादृच्छिक चर के रूप में के वितरण, और / या कुछ क्षणों के बारे में प्राप्त करने, या कहने में सक्षम होना । $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ $n\rightarrow \infty$

कहते हैं, यदि का स्वतंत्र है, तो यह को रूप में दिखता है । क्या मैं उस हिस्से को "अनदेखा" कर सकता हूं, यहां तक कि एक सन्निकटन के रूप में भी? फिर मुझे एक यादृच्छिक चर के साथ छोड़ दिया जाएगा जो अंतराल में होता है , सेंसर वर्दी की राशि की तरह लग रही है, उनके रास्ते पर "संयुक्त राष्ट्र सेंसर" बनने के लिए, और इसलिए शायद कुछ केंद्रीय सीमा प्रमेय ... लेकिन मैं शायद यहाँ परिवर्तित करने के बजाय विचलन कर रहा हूं, तो, कोई सुझाव? $X_i$ $\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

पुनश्च: यह प्रश्न प्रासंगिक है, सेंसर किए गए चरों के योग के वितरण को व्युत्पन्न करना, लेकिन @Glen_b का उत्तर वह नहीं है जिसकी मुझे आवश्यकता है-मुझे इस बात को विश्लेषणात्मक रूप से काम करना है, यहां तक कि सन्निकटन का उपयोग करना। यह शोध है, इसलिए कृपया इसे होमवर्क की तरह मानें -सामान्य सुझाव या साहित्य के संदर्भ काफी अच्छे हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

आपको लगता है कि जरूरत है, के वितरण लिखने के रूप में , एक उपयुक्त साथ जिसमें एक बोरेल सेट है।

Z_{i}

$Z_i$

μ_{Z_{i}} (B) = P (Z_{i} \in B) = \int_{B} g (t) d t + c I_{B} (k_{i})

$\mu_{Z_i}(B)=P(Z_i\in B)=\int_B g(t)\,dt +c\,I_B(k_i)$

g

$g$

B

$B$

— ज़ेन

@ जब मैंने पहले ही प्रश्न में लिखा था कि वितरण बंद है। साथ ही का RHS यह स्पष्ट करता है कि यह में घनत्व के लिए है , लेकिन -and के लिए प्रायिकता के लिए मैं कॉम्पैक्ट नोटेशन पसंद करता हूँ।

f

$f$

f

$f$

[a_{i}, k_{i})

$[a_i,k_i)$

k_{i}

$k_i$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

जहाँ तक मुझे पता है, साथ यह नोटिफिकेशन एक pdf और एक pmf मौजूद नहीं है; और हमारे पास मिश्रित वितरण का सटीक वर्णन करने के लिए उचित गणितीय भाषा है। मुझे संदेह है कि जब आप अपना शोध प्रकाशित करेंगे तो यह धारणा स्वीकार की जाएगी। जाहिर है बस मेरी राय। आपको हमेशा इसे वैसे ही करना चाहिए जैसे आप इसे पसंद करते हैं।

f

$f$

— झेन

@ ज़ेन पब्लिशिंग एक लंबा रास्ता है और वास्तव में, समीक्षकों को जब वे गैर-स्थापित संकेतन देखते हैं, तो वे भौंकते हैं। यह केवल एक आशुलिपि है जब कोई कई पंक्तियों में चरणबद्ध वितरण का वर्णन करना चाहता है। इसके पक्ष में कोई "तर्क" नहीं है और स्थापित संकेतन के खिलाफ, उदाहरण के लिए जिसे आपने पिछली टिप्पणी में इस्तेमाल किया था।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

5

मैं हेनरी की टिप का पालन करूंगा और ल्यपुनोव को साथ जांचूंगा । तथ्य यह है कि वितरण मिश्रित हैं, एक समस्या नहीं होनी चाहिए, जब तक कि का और का व्यवहार ठीक से न हो जाए। उस विशेष मामले का अनुकरण जिसमें , , प्रत्येक दिखाया गया है कि सामान्यता ठीक है। $\delta=1$ $a_i$ $b_i$ $a_i=0$ $b_i=1$ $k_i=2/3$ $i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

CLT

— जेन
स्रोत

वास्तव में बहुत सामान्य है। जानकार अच्छा लगा। सीएलटी के लिए सामान्य स्थितियां कभी भी एक मुद्दा नहीं थीं, मेरा सवाल यह था कि क्या अन्य, शायद सूक्ष्म मुद्दे थे जो एसिम्प्टोटिक परिणाम को बदल देते थे और एक संशोधित सीएलटी की आवश्यकता होती थी। आपका अनुकार बताता है कि वास्तव में असतत असंतोष प्रायिकता में नगण्य हो जाता है क्योंकि अधिक चर राशि में प्रवेश करते हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

कुछ खास नहीं, लेकिन वे किसी भी समस्या का सामना नहीं करते हैं। उनमें से लगता है कि रूप में अच्छी तरह परिमित संख्या, सूचकांक के स्वतंत्र व्यवहार किया । जैसे ही बढ़ता (कोई विशिष्ट नियम) नहीं बढ़ता या घट सकता है , और उनमें से कोई भी दूसरों की तुलना में अधिक नहीं है ... वे फिर भी "तुलनीय" संस्थाओं के आकार में अंतर का प्रतिनिधित्व करते हैं। लिंडबर्ग की स्थिति सबसे निश्चित रूप से रखती है

i

$i$

i

$i$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

अच्छा लगा। अगले कदमों के साथ शुभकामनाएँ। एक दिलचस्प समस्या की तरह लग रहा है।

— ज़ेन

3

संकेत:

यह मानते हुए कि निश्चित है और स्वतंत्र हैं, तो आप प्रत्येक के माध्य और प्रसरण की गणना कर सकते हैं : उदाहरण के लिए और आप जानते हैं । $c$ $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2$ $Z_i$ $\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i$

फिर, और प्रदान करना बहुत तेज़ी से नहीं बढ़ता है, आप इस निष्कर्ष के साथ केंद्रीय सीमा प्रमेय लागू करने के लिए ल्यपुनोव या लिंडबर्ग शर्तों का उपयोग कर सकते हैं कि एक मानक सामान्य में वितरण में परिवर्तित होता है, या एक हाथ में भावना लगभग सामान्य रूप से वितरित किया जाता है और विचरण । $a_i$ $b_i$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$ $\sum_1^n Z_i$ $\sum_1^n \mu_i$ $\sum_1^n \sigma_i^2$

— हेनरी
स्रोत

धन्यवाद। के और साथ कोई समस्या नहीं है , वे सूचकांक के साथ नहीं बढ़ते हैं, वे बस चारों ओर उतार-चढ़ाव करते हैं। तो आप अनिवार्य रूप से कह रहे हैं कि सीएलटी मिश्रित वितरण के साथ यादृच्छिक चर भी कवर कर सकता है?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

यदि उदाहरण के लिए और तय किए गए थे, तो आपके पास एक परिमित विचरण के साथ स्वतंत्र रूप से वितरित यादृच्छिक चर होंगे, इसलिए केंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होगा। यह मिश्रण वितरण है या नहीं, इस परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। मैं जो कह रहा हूं वह यह है कि आप इसे उन मामलों तक बढ़ा सकते हैं जहां यादृच्छिक चर स्वतंत्र नहीं हैं, लेकिन पहचान के आधार पर वितरित नहीं किए गए हैं, बशर्ते कि साधन और संस्करण उचित रहें।

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— हेनरी

2

इस सवाल में मेरी मुख्य चिंता यह थी कि क्या मैं उस मामले में सीएलटी "हमेशा की तरह" लागू कर सकता था जिस मामले में मैं जांच कर रहा हूं। उपयोगकर्ता @ हेनरी ने कहा कि एक उपयोगकर्ता, उपयोगकर्ता @ ज़ेन ने एक सिमुलेशन के माध्यम से दिखाया। इस प्रकार प्रोत्साहित किया, अब मैं इसे विश्लेषणात्मक रूप से साबित करूंगा।

मैं जो पहले करने जा रहा हूं, वह यह सत्यापित करना है कि मिश्रित वितरण वाले इस चर में "सामान्य" पल उत्पन्न करने वाला कार्य है। निरूपित की उम्मीद मूल्य , इसके मानक विचलन, और की केंद्रित और बढ़ाया संस्करण द्वारा । परिवर्तन के-चर सूत्र लागू हम पाते हैं कि निरंतर हिस्सा है के क्षण पैदा समारोह होना चाहिए $\mu_i$ $Z_i$ $\sigma_i$ $Z_i$ $\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$

f_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = σ_{i} f_{Z} (z_{i}) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$

{\tilde{Z}}_{i}

$\tilde Z_i$

{\tilde{M}}_{i} (t) = E (e^{{\tilde{z}}_{i} t}) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{{\tilde{z}}_{i} t} d F_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = \int_{{\tilde{a}}_{i}}^{{\tilde{k}}_{i}} \frac{σ_{i} e^{{\tilde{z}}_{i} t}}{b_{i} - a_{i}} d z_{i} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$

\Rightarrow {\tilde{M}}_{i} (t) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}} \frac{e^{{\tilde{k}}_{i} t} - e^{{\tilde{a}}_{i} t}}{t} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$ with

{\tilde{k}}_{i} = \frac{k_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}, {\tilde{a}}_{i} = \frac{a_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}

$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$

व्युत्पत्ति को निरूपित करने के लिए primes का उपयोग करना, अगर हमने क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को सही ढंग से निर्दिष्ट किया है, तो हमें प्राप्त करना चाहिए बाद से एक केंद्रीकृत और स्केल किया हुआ यादृच्छिक चर है। और वास्तव में, डेरिवेटिव की गणना करके, कई बार L'Hopital के नियम को लागू करते हुए , (चूंकि शून्य पर MGF के मूल्य की सीमा के माध्यम से गणना की जानी चाहिए), और बीजीय जोड़तोड़ करते हुए, मैंने पहले दो समानताएं सत्यापित की हैं। तीसरी समानता बहुत थकाऊ साबित हुई, लेकिन मुझे विश्वास है कि यह धारण करती है।

{\tilde{M}}_{i} (0) = 1, {\tilde{M}}_{i}^{'} (0) = E (\tilde{Z}) = 0 \Rightarrow {\tilde{M}}_{i}^{″} (0) = E ({\tilde{Z}}_{i}^{2}) = Var ({\tilde{Z}}_{i}) = 1

$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$

इसलिए हमारे पास उचित एमजीएफ है। यदि हम इसका दूसरा क्रम टेलर विस्तार शून्य के आसपास लेते हैं, तो हमारे पास है

\tilde{M} (t) = \tilde{M} (0) + {\tilde{M}}^{'} (0) t + \frac{1}{2} {\tilde{M}}^{″} (0) t^{2} + o (t^{2})

$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$

\Rightarrow \tilde{M} (t) = 1 + \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$

इसका तात्पर्य यह है कि विशेषता फ़ंक्शन (यहाँ काल्पनिक इकाई को दर्शाता है) । $i$

\tilde{ϕ} (t) = 1 + \frac{1}{2} (i t)^{2} + o (t^{2}) = 1 - \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$

विशेषता फ़ंक्शन के गुणों से , हमारे पास यह है कि की विशेषता फ़ंक्शन के बराबर है $\tilde Z/\sqrt n$

{\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z} / \sqrt{n}} (t) = {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = 1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n)

$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$

और जब से हमारे पास स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, की है $\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$

{\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = \prod_{i = 1}^{n} {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n))

$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$

फिर

lim_{n \to \infty} {\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t^{2}}{2 n})}^{n} = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$

द्वारा कैसे नंबर का प्रतिनिधित्व करती है $e$ । ऐसा होता है कि अंतिम शब्द मानक सामान्य वितरण की विशेषता है, और लेवी की निरंतरता प्रमेय द्वारा , हमारे पास है:

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$

जो सीएलटी है। इस तथ्य पर ध्यान दें कि -चर को पहचान से वितरित नहीं किया जाता है, "उनके गायब होने के बाद" गायब हो जाने के बाद जब हमने उनके केंद्रित और स्केल किए गए संस्करणों पर विचार किया और उनके MGF / CHF के दूसरे क्रम के टेलर विस्तार पर विचार किया: सन्निकटन के उस स्तर पर, ये कार्य समान हैं, और सभी भिन्नताएँ शेष शब्दों में संकुचित हो जाती हैं जो असमान रूप से गायब हो जाती हैं। $Z$

यह तथ्य कि व्यक्तिगत स्तर पर सभी व्यक्तिगत तत्वों से अज्ञात व्यवहार , फिर भी गायब हो जाता है जब हम औसत व्यवहार पर विचार करते हैं, मेरा मानना है कि मिश्रित वितरण वाले यादृच्छिक चर की तरह एक बुरा प्राणी का उपयोग करके इसे बहुत अच्छी तरह से दिखाया गया है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

वास्तव में अच्छा, एलेकोस। मेरी भावना यह है कि तर्क को के और के s पर अधिक विशिष्ट स्थितियों पर निर्भर होना चाहिए । उदाहरण के लिए: क्या प्रूफ टूटता है जल्दी से? (मुझे पता है कि आपके आवेदन में ऐसा नहीं होता है।) आपको क्या लगता है?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

(b_{i} - a_{i}) ↓ 0

$(b_i-a_i)\downarrow 0$

— ज़ेन

@Zen स्वतंत्र लेकिन गैर-पहचान वाले वितरित आरवी के संस्करण के बारे में एक बहुत ही सूक्ष्म है, मुझे नहीं लगता कि मैं अभी भी इसे स्पष्ट रूप से समझता हूं। ज्ञात लयापुणोव या लिंडबर्ग स्थितियां केवल सीएलटी के लिए पर्याप्त हैं। ऐसे मामले हैं जहां सीएलटी रखती है भले ही ये स्थितियां न हों। इसलिए मुझे लगता है कि यदि हम परिवर्तन को बाध्य नहीं करते हैं, तो एक भी उत्तर नहीं है, और समस्या पूरी तरह से विशिष्ट हो जाती है। यहां तक कि बिलिंग्सले की किताब भी इस मामले पर स्पष्ट नहीं है। सवाल यह है कि शेष क्या दिखाई देगा, और हम इसके बारे में क्या बता सकते हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस