ईज़िंग मॉडल के लिए गिब्स का नमूना

Question

होमवर्क प्रश्न:

1-डी ईज़िंग मॉडल पर विचार करें।

चलो $x = (x_1,...x_d)$ । -1 या +1 है$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

लक्ष्य वितरण से लगभग नमूने उत्पन्न करने के लिए एक gibbs नमूनाकरण एल्गोरिथ्म डिज़ाइन करें ।$\pi(x)$

मेरा प्रयास:

वेक्टर को भरने के लिए बेतरतीब ढंग से मान (या तो -1 या 1 । तो शायद । तो यह ।एक्स = ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , । । । , 1 ) x $x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

इसलिए अब हमें इस पर आगे बढ़ने और पहली यात्रा करने की जरूरत है। हमें x के लिए 40 अलग x के लिए अलग से को ड्रा करना होगा । इसलिए...$x^1$

ड्रा करें from π ( एक्स 1 | x 0 2 , । । । , x 0 40$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

को से आकर्षित करें π ( x 2 | x 1 1 , x 0 3 , । । । , x 0 40$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

को से ड्रा करें।$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

आदि..

तो वह हिस्सा जो मुझे ट्रिप कर रहा है, हम वास्तव में सशर्त वितरण से कैसे आकर्षित होते हैं। कैसे खेल में आता है? हो सकता है कि एक ड्रा का उदाहरण चीजों को साफ कर दे।$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Answer 1

पहले इस मामले को देखें। उन शर्तों को छोड़ना जो पर निर्भर नहीं हैं , हमारे पास हैं। π ( एक्स 1 | x 2 , ... , एक्स घ ) = π ( एक्स 1 , x 2 , ... , एक्स डी$x_1$पी(एक्स1=-1|एक्स2=एक्स2,...,एक्सएन=एक्सएन)=ई - एक्स

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

$x_2,\dots,x_{40}$

क्या आप अपने सिमुलेशन की जांच करने के लिए ईज़िंग के विश्लेषणात्मक परिणामों का उपयोग कर सकते हैं ?

Comments

$x_1$$x_2$$x_{23}$$x_{24}$$x_{40}$$i=1$

$x_2$$x_{39}$$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$ $\propto$ $\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$$x_i=\pm1$