क्या संभावना है कि एक सट्टेबाज फुटबॉल के खेल पर बाधाओं को गलत कर रहा है?

एक अंग्रेजी फुटबॉल टीम अलग-अलग क्षमता के विभिन्न विरोधियों के खिलाफ कई मैच खेलती है। एक सट्टेबाज प्रत्येक मैच के लिए ऑड्स प्रदान करता है कि क्या यह घरेलू जीत होगी, जीत होगी या ड्रा होगी। सीज़न के माध्यम से, टीम ने मैच खेले हैं और उनमें से खींची है, जो उम्मीद से कहीं अधिक है। $n$ $k$

क्या संभावना है कि सट्टेबाज सिर्फ बदकिस्मत होने के बजाय इन मैचों पर ऑड-ईवन का गलत इस्तेमाल कर रहा है? यदि सट्टेबाज टीम के शेष मैचों की कीमत इसी तरह से जारी रखता है, और मैं शर्त लगाता हूं कि प्रत्येक एक ड्रॉ होगा, तो मेरी उम्मीद वापसी क्या है? $\$1$

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— रोड्रिगो डी अजेवेडो
स्रोत

पहले math.stackexchange.com/q/31871/18398

— जोएल रेयेस नोचे

आपके प्रश्न का उत्तर इस बात पर निर्भर करता है कि आप किन सूचनाओं और मान्यताओं का उपयोग करने जा रहे हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि खेल का परिणाम एक असाधारण जटिल प्रक्रिया है। यह आपके बारे में जानकारी के आधार पर मनमाने ढंग से जटिल हो सकता है:

विशेष टीम में खिलाड़ी - शायद खिलाड़ियों के विशेष संयोजन भी प्रासंगिक हो सकते हैं।
अन्य टीमों में खिलाड़ी
लीग का पिछला इतिहास
टीम के खिलाड़ी कितने स्थिर हैं - क्या खिलाड़ी चुने जाते हैं और गिराए जाते हैं, या यह वही 11 है।
वह समय जो आप अपना दांव लगाते हैं (खेल के दौरान? पहले? कितना पहले? क्या जानकारी दिन से पहले दांव लगाने से हार जाती है?)
फुटबॉल की कुछ अन्य प्रासंगिक विशेषता जो मैंने छोड़ दी है।

पुस्तक-निर्माता जो ऑड-ईवन देता है, वह बुक-मेकर्स ऑड्स का प्रतिबिंब नहीं है। यदि वे संभाव्य हैं तो असंभव है। जब कोई ड्रॉ पर दांव लगाता है, और कोई नॉन-ड्रॉ पर दांव लगाता है, तो बुक-मेकर नीचे ऑड्स को समायोजित करेगा। इस प्रकार, ऑड्स जुआरी (जो पुस्तक-निर्माता का उपयोग करते हैं) का एक प्रतिबिंब हैं। तो यह सट्टेबाज नहीं है जो मिस-प्राइसिंग प्रति एसई है, यह जुआ सामूहिक है - या "औसत जुआरी"।

अब अगर आप यह मानने को तैयार हैं कि जो भी "कारण तंत्र" जिसके परिणामस्वरूप होता है, वह पूरे मौसम में स्थिर रहता है (उचित; शायद नहीं ...), तो एक सरल गणितीय समस्या प्राप्त होती है (लेकिन ध्यान दें कि इसका कोई कारण नहीं है। कुछ अन्य सरलीकृत धारणा की तुलना में "अधिक सही" हो। हमें यह याद दिलाने के लिए कि यह प्रयोग किया जा रहा है, संभावनाओं के कंडीशनिंग पक्ष पर एक लगाया जाएगा। इस धारणा के तहत द्विपद वितरण लागू होता है: $A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

और हम निम्नलिखित गणना करना चाहते हैं

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

जहां

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

लिए पीछे है । अब इस मामले में, यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट है कि यह ड्रा के लिए संभव है, और ऐसा नहीं होने के लिए भी संभव है, इसलिए एक समान पूर्व उपयुक्त है (जब तक कि अतिरिक्त जानकारी न हो, हम मौसम के परिणामों से परे शामिल करना चाहते हैं ) और हमने । पीछे तो एक बीटा वितरण (जहां द्वारा दिया जाता है है बीटा समारोह ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

और की संभावना को देखते हुए कि अगला मैच ड्रॉ है, बस इसलिए अभिन्न बन जाता है: $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

और इसलिए संभावना बस है:

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

लेकिन ध्यान दें कि यह पर निर्भर करता है - जो धारणाएं बनाई गई थीं। कुछ अन्य अज्ञात जटिल सूचनाओं पर "प्राइस ऑड्स" को प्रायिकता संबंधी सशर्त कहते हैं, कहते हैं । इसलिए यदि प्रकाशित अंश उपरोक्त अंश से भिन्न हैं, तो यह कहता है कि और अलग-अलग निष्कर्षों की ओर ले जाते हैं, इसलिए दोनों "सही परिणाम" के बारे में सही नहीं हो सकते हैं (लेकिन दोनों प्रत्येक बनाई गई मान्यताओं पर सही सशर्त हो सकते हैं) )। $A$ $B$ $A$ $B$

किला कम है

इस उदाहरण से पता चला कि आपके प्रश्न का उत्तर यह तय करने के लिए उकसाया गया था कि क्या फ़ुटबॉल खेल के यांत्रिकी का वर्णन करने में , तुलना में "अधिक सटीक" था । यह इस बात की परवाह किए बिना होगा कि प्रस्ताव क्या होता है । हम हमेशा यह पूछने के सवाल को उबालेंगे कि "किसकी धारणाएँ सही हैं, जुआ सामूहिक की या मेरी?" यह अंतिम प्रश्न एक मूल रूप से अचूक प्रश्न है जब तक कि आप यह नहीं जानते कि प्रस्ताव क्या है (या कम से कम इसकी कुछ प्रमुख विशेषताएं हैं)। आप किसी ऐसी चीज़ की तुलना कैसे कर सकते हैं जो किसी ऐसी चीज़ से जानी जाती है जो नहीं है? $A$ $B$ $A$ $B$

अद्यतन: एक वास्तविक जवाब :)

जैसा कि @whuber ने स्पष्ट रूप से कहा है, मैंने वास्तव में यहां अपेक्षित मूल्य नहीं दिया है - इसलिए यह हिस्सा बस मेरे उत्तर के हिस्से को पूरा करता है। अगर किसी को यह मान लेना था कि , की कीमत के साथ सही है , तो आप अगले गेम में प्राप्त करने की उम्मीद करेंगे $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

अब यदि आप मान लेते हैं कि का मूल्य आपके जैसे ही मॉडल पर आधारित है तो हम भविष्यवाणी कर सकते हैं कि भविष्य में कैसे बदल जाएगा। मान लीजिए कि एक समान पहले से एक पर आधारित था, , तो संबंधित संभावना है $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

की उम्मीद वापसी के साथ

\frac{क्यू (क + α_{क्यू}) - n - α_{क्यू} - β_{क्यू}}{n + α_{क्यू} + β_{क्यू}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

अब अगर हम "पूर्व वजन" बनाते हैं, जहां सीजन की लंबाई है (यह "मिस-प्राइसिंग" को सीजन के शेष भाग में जारी रखने की अनुमति देगा) और हमें प्राप्त शून्य पर अपेक्षित वापसी सेट करें: $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{क्यू} = \frac{2 n + एन}{2 क्यू} - क

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(नोट: जब तक कि इस वास्तविक मॉडल है, पर निर्भर करेगा यह गणना किया गया था, के रूप में यह इस पर निर्भर करता जो समय के साथ अलग अलग होंगे)। अब हम यह अनुमान लगाने में सक्षम हैं कि भविष्य में को कैसे समायोजित किया जाएगा, यह प्रत्येक मैच के लिए भाजक में जोड़ देगा , और यदि मैच ड्रॉ था तो अंश तक। तो पहले मैच के बाद अपेक्षित संभावनाएं हैं: $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{क्यू} - क + 1}{क + α_{क्यू}}) \frac{n - क + β_{क्यू}}{n + α_{क्यू} + β_{क्यू}} + (1 + \frac{n + β_{क्यू} - क}{क + α_{क्यू} + 1}) \frac{क + α_{क्यू}}{n + α_{क्यू} + β_{क्यू}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{क्यू} - क}{क + α_{क्यू}} (1 + \frac{2}{(2 n + एन) (क + α_{क्यू} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{क्यू} - क}{क + α_{क्यू}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

यही कारण है कि मौसम में बदलाव ज्यादा नहीं होगा। इस अनुमान का उपयोग करते हुए, हमें शेष सीज़न के रूप में अपेक्षित वापसी मिलती है:

(एन - n) \frac{क्यू (क + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

लेकिन याद रखें कि यह एक ड्रॉ के अत्यधिक सरलीकृत मॉडल पर आधारित है (नोट: इसका मतलब यह नहीं है कि यह "बकवास" पूर्वसूचक होगा)। आपके प्रश्न का कोई अनूठा उत्तर नहीं हो सकता है, क्योंकि कोई निर्दिष्ट मॉडल नहीं है, और कोई निर्दिष्ट पूर्व जानकारी नहीं है (उदाहरण के लिए यह बुकी कितने लोग हैं? बुकी का कारोबार क्या है? मेरे दांव उन बाधाओं को कैसे प्रभावित करेंगे?)। केवल एक चीज जो निर्दिष्ट की गई है, वह एक सीज़न का डेटा है, और यह कि "कुछ अनिर्दिष्ट मॉडल" के लिए संभावनाएं उन लोगों के साथ असंगत हैं जो बाधाओं के मूल्य निर्धारण द्वारा निहित हैं।

— probabilityislogic
स्रोत

सट्टेबाज एक अधिक उपयोग करते हैं, इसलिए वे वास्तव में परवाह नहीं करते हैं कि परिणाम क्या है क्योंकि वे जो भी जीतते हैं। इसीलिए आप कभी किसी गरीब बुकी से न मिलें। अगर कोई सट्टेबाज गलतफहमी कर रहा है तो लाभ कमाने की आपकी क्षमता ड्रॉपर पर निर्भर करती है जो कि सट्टेबाज की पेशकश थी और क्या लाभ उत्पन्न होने वाले समय को खो देंगे।

— Parbury
स्रोत

यह सच हो सकता है, लेकिन ज्यादातर अप्रासंगिक है, क्योंकि सवाल जुआरी की अपेक्षित वापसी के लिए कहता है, न कि सट्टेबाज की अपेक्षित वापसी

— संभावना

@probability तो जुआरी की अपेक्षित वापसी क्या है ? मैं इसे आपके उत्तर में नहीं खोज सका :-)।

— whuber