लड़कियों बनाम लड़कों के जन्म की संख्या की अपेक्षित संख्या

Question

मैं आलोचनात्मक सोच के लिए जॉब इंटरव्यू एप्टीट्यूड टेस्ट में एक सवाल ले आया हूं। यह कुछ इस तरह है:

Zorganian गणराज्य के कुछ बहुत ही अजीब रिवाज हैं। जोड़े केवल महिला बच्चों की इच्छा रखते हैं क्योंकि केवल महिलाएं परिवार के धन को प्राप्त कर सकती हैं, इसलिए यदि उनके पास एक पुरुष बच्चा है तो वे तब तक अधिक बच्चे पैदा करते रहेंगे जब तक कि उनके पास एक लड़की न हो। अगर उनके पास लड़की है, तो वे बच्चे पैदा करना बंद कर देते हैं। ज़ागोनिया में लड़कों के मुकाबले लड़कियों का अनुपात क्या है?

मैं प्रश्न लेखक द्वारा दिए गए मॉडल उत्तर से सहमत नहीं हूं, जो लगभग 1: 1 है। औचित्य किसी भी जन्म हमेशा पुरुष या महिला होने का 50% मौका होगा।

क्या आप मुझे अधिक गणितीय जोरदार उत्तर के साथ मना सकते हैं : E [ B ] यदि G लड़कियों की संख्या है और B देश में लड़कों की संख्या है?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Comments

आप मॉडल उत्तर के साथ अपनी असहमति में सही हैं क्योंकि एम: एफ जन्म का अनुपात बच्चों के एम: एफ अनुपात से अलग है। वास्तविक मानव समाजों में, जो जोड़े केवल महिला बच्चों की इच्छा रखते हैं, वे पुरुष बच्चों से छुटकारा पाने के लिए भ्रूण हत्या या विदेशी गोद लेने जैसे साधनों का सहारा लेंगे, जिसके परिणामस्वरूप M: F अनुपात 1: 1 से कम होगा।

— गाबे

@Gabe प्रश्न में शिशुहत्या का कोई जिक्र नहीं है, यह एक गणितीय उभार है जैसा कि एक वास्तविक देश के गंभीर विश्लेषण के विपरीत है जहाँ हत्या आम बात है। समान रूप से लड़कियों के लिए लड़कों के जन्म का वास्तविक अनुपात 51:49 के करीब है (सामाजिक कारकों की अनदेखी)

— रिचर्ड टिंगल

उत्तर के लिए धन्यवाद अब मुझे समझ में आया कि अनुपात 1: 1 क्यों होगा, जो मूल रूप से मेरे लिए सहज लगता है। मेरे अविश्वास और भ्रम का एक कारण यह है कि, मुझे पता है कि चीन के गांवों में बहुत अधिक लड़कों की विपरीत समस्याएं हैं: लड़कियों का अनुपात। मैं देख सकता हूं कि वास्तविक रूप से, जोड़े तब तक अनिश्चित काल के लिए जारी नहीं रख पाएंगे, जब तक उन्हें अपने बच्चे का लिंग नहीं मिल जाता। चीन में कानून केवल 2 बच्चों को ग्रामीण क्षेत्रों में रहने वाले लोगों के लिए अधिकतम अनुमति देता है, इसलिए उस स्थिति में यह अनुपात 1: 1 से 3: 2 के करीब होगा।

— मोबिअस पिज़्ज़ा

@MobiusPizza: नहीं, अनुपात 1: 1 है, चाहे आपके कितने भी बच्चे हों! चीन के अलग-अलग अनुपात के कारण है जैसे कि शिशुहत्या, यौन-चयनात्मक गर्भपात और विदेशी गोद लेने जैसे सामाजिक कारक।

— गाबे

@newmount सिमुलेशन अच्छे हैं, लेकिन उनका मतलब केवल उतना ही है जितना कि उनमें निर्मित धारणाएं। बिना किसी स्पष्टीकरण के केवल कोड प्रदर्शित करना, लोगों के लिए उन मान्यताओं को पहचानना मुश्किल बनाता है। इस तरह के कुछ औचित्य और स्पष्टीकरण की अनुपस्थिति में, सिमुलेशन आउटपुट की कोई भी राशि यहां प्रश्न को संबोधित नहीं करेगी। जहां तक ​​"वास्तविक दुनिया" जाती है, उस दावे को बनाने वाले किसी व्यक्ति को मानव जन्म के बारे में डेटा के साथ समर्थन करना होगा।

— whuber

Answer 1

बिना बच्चों के शुरू करें

दोहराएँ कदम

{

अभी भी बच्चे पैदा करने वाले हर जोड़े में एक बच्चा है। आधे जोड़ों में पुरुष होते हैं और आधे जोड़ों में महिलाएं होती हैं।

जिन जोड़ों में मादा होती है वे बच्चे पैदा करना बंद कर देते हैं

}

प्रत्येक चरण में आपको पुरुषों और महिलाओं की समान संख्या मिलती है और बच्चों की संख्या वाले जोड़ों की संख्या आधे से कम हो जाती है (यानी जिनके पास महिलाएँ थीं, उनके अगले चरण में कोई बच्चे नहीं होंगे)

इसलिए, किसी भी समय आपके पास पुरुषों और महिलाओं की समान संख्या होती है और कदम से कदम रखने वाले जोड़ों की संख्या आधे से गिर रही है। जैसा कि अधिक जोड़ों को एक ही स्थिति के लिए बनाया जाता है और सभी अन्य चीजें समान होती हैं, जनसंख्या में समान संख्या में पुरुष और महिलाएं शामिल होंगी

Comments

मुझे लगता है कि यह एक कठोर गणितीय प्रमाण पर भरोसा किए बिना संभाव्यता वितरण की व्याख्या करने का एक उत्कृष्ट तरीका है।

— LBushkin

मुझे जो पसंद है, वह यह भी बताता है कि आपके अंतर्ज्ञान की अपेक्षा से अधिक लड़कियों के साथ क्या हुआ है: अतिरिक्त लड़कियां माता-पिता द्वारा वांछित हैं (वे माता-पिता हैं जो फिर से कोशिश करते हैं), लेकिन उन माता-पिता (पूरी तरह से) कभी भी सफलतापूर्वक अधिकता पैदा नहीं करते हैं लड़कियाँ।

— बेन जैक्सन

आप "फिर से कदम {कोई यह तय करता है कि कोई बच्चा है या नहीं}" कहकर और भी सरल बना सकता है। जिन नियमों से वे तय करते हैं वे पूरी तरह से अप्रासंगिक हैं बशर्ते कि हर कोई एक ही संभावना के साथ लड़कों और लड़कियों को स्वतंत्र रूप से पैदा करता है। यह उस संभावना के लिए एक मूल्य मानने के लिए भी आवश्यक नहीं है, आप बस कह सकते हैं कि जनसंख्या में आवृत्ति जन्म के समय आवृत्ति के समान होगी।

— स्टीव जेसोप

@martino मुझे विश्वास नहीं है कि यह मामला है, हालांकि मुझे आश्चर्य नहीं होगा अगर इस आशय का कुछ बहुत ही ठोस गणित था। मेरा मानना ​​है कि यह परिदृश्य अनुपातों की हमारी धारणा को तोड़ता है, क्योंकि प्रति परिवार बच्चों की अपेक्षित संख्या अनंत है। आपको अपने उत्तर के बारे में संदेह होना चाहिए क्योंकि सामान्यता के साथ लोगों ने आपके प्रश्न का उत्तर इस धागे में दिया है।

— 1927 को jlimahaverford

@ मार्टिनो मज़े के लिए मैंने बस उस रोक कसौटी के साथ एक सिमुलेशन चलाया। 10,000 परिवारों में 0.9999377735896915 के अनुपात के लिए कुल 160,693,469 लड़के (और वह संख्या प्लस 10,000 अधिक लड़कियाँ) थे। सुंदर अविश्वसनीय सामान।

— jlimahaverford

Answer 2

बता दें कि एक परिवार में लड़कों की संख्या है। जैसे ही उनकी कोई लड़की होती है, वे रुक जाते हैं, इसलिए$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

अगर संभावना है कि एक बच्चे एक लड़का है और लिंग के बच्चों के बीच स्वतंत्र हैं, संभावना है कि होने तक एक परिवार के सिरों कश्मीर लड़कों है पी ( एक्स = कश्मीर ) = पी कश्मीर ⋅ ( 1 - पी ) , यानी की संभावना होने कश्मीर लड़कों और फिर एक महिला है। अपेक्षित संख्या लड़कों की है ई एक्स = ∞ Σ कश्मीर = 0 कश्मीर पी कश्मीर ⋅ ( 1 - पी ) $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ यह देखते हुए कि ∞ Σ कश्मीर = 0 कश्मीरपीकश्मीर= ∞ Σ कश्मीर = 0 (कश्मीर+1)पीकश्मीर+1पर हम पाते हैं ∞ Σ कश्मीर = 0 कश्मीरपीकश्मीर- ∞ Σ कश्मीर = 0 $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ जहां हम इस्तेमाल किया है किΣ ∞ कश्मीर = 0 पीकश्मीर=1/(1-पी)जब0<p<1(देखेंज्यामितीय श्रृंखला)। $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ $\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

अगर , हम उस राशि ई एक्स = 0.5 / 0.5 । यानी औसत परिवार में 1 लड़का है। हम पहले से ही जानते हैं कि सभी परिवारों 1 महिला है तो अनुपात समय भी बाहर से अधिक होने का होगा 1 / 1 = 1 ।$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

$X$

Comments

बेशक, यह मानता है कि pसभी परिवारों के लिए समान है। यदि इसके बजाय हम यह मानते हैं कि कुछ जोड़ों को दूसरों की तुलना में लड़के होने की अधिक संभावना है ( अर्थात , उनकी pसंख्या अधिक है) तो परिणाम बदल जाता है, भले ही औसत मूल्य pअभी भी 0.5 हो। (फिर भी, यह बुनियादी अंतर्निहित आँकड़ों की एक उत्कृष्ट व्याख्या है।)

— बेन हॉकिंग

@ आपकी टिप्पणी में एक महत्वपूर्ण विचार है। मेरे साथ भी ऐसा ही हुआ था, इसलिए मैंने इस अधिक यथार्थवादी स्थिति के विश्लेषण को शामिल करने के लिए अपने प्रश्न को संपादित किया है। यह दर्शाता है कि सीमित अनुपात है नहीं जरूरी 1: 1।

— whuber

$p$$1/2$

Answer 3

सारांश

सरल मॉडल जो सभी जन्मों में स्वतंत्र रूप से लड़कियों के होने का 50% मौका है, अवास्तविक है और, जैसा कि यह असाधारण है। जैसे ही हम आबादी के बीच परिणामों में भिन्नता के परिणामों पर विचार करते हैं, इसका उत्तर यह है कि लड़की: लड़के का अनुपात 1: 1 से अधिक नहीं होने का कोई भी मूल्य हो सकता है । (वास्तव में यह संभावना अभी भी 1: 1 के करीब होगी, लेकिन यह निर्धारित करने के लिए डेटा विश्लेषण के लिए एक मामला है।)

क्योंकि ये दोनों परस्पर विरोधी उत्तर जन्म परिणामों की सांख्यिकीय स्वतंत्रता मानकर प्राप्त किए जाते हैं, स्वतंत्रता की अपील एक अपर्याप्त व्याख्या है। इस प्रकार यह प्रतीत होता है कि भिन्नता (महिला जन्म की संभावना में) विरोधाभास के पीछे महत्वपूर्ण विचार है।

परिचय

एक विरोधाभास तब होता है जब हमें लगता है कि हमारे पास कुछ विश्वास करने के लिए अच्छे कारण हैं, लेकिन इसके विपरीत एक ठोस दिखने वाले तर्क के साथ सामना किया जाता है।

एक विरोधाभास का संतोषजनक समाधान हमें यह समझने में मदद करता है कि दोनों सही थे और दोनों तर्कों के बारे में क्या गलत हो सकता है । जैसा कि प्रायः प्रायिकता और सांख्यिकी में होता है, दोनों तर्क वास्तव में मान्य हो सकते हैं: संकल्प उन मान्यताओं के बीच अंतर पर टिका होगा, जो अंतर्निहित हैं। इन अलग-अलग धारणाओं की तुलना करने से हमें यह पता लगाने में मदद मिल सकती है कि स्थिति के कौन से पहलू अलग-अलग जवाब देते हैं। इन पहलुओं की पहचान करना, मैं बनाए रखता हूं, हमें सबसे अधिक मूल्य देना चाहिए।

मान्यताओं

$1/2$

1. $i$$p_i$

2. किसी भी रोक नियम के अभाव में, जनसंख्या में महिला जन्मों की अपेक्षित संख्या पुरुष जन्मों की अपेक्षित संख्या के करीब होनी चाहिए।

3. सभी जन्म परिणाम (सांख्यिकीय) स्वतंत्र हैं।

$p_i$

विश्लेषण

$2N$$2/3$$1/3$

$N$

$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• $pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• $(1-p)N$$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

समाधान के साथ

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

रोक नियम लड़कों के पक्ष में है!

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

संकल्प

यदि आपका अंतर्ज्ञान यह है कि पहली लड़की के साथ रोकना आबादी में अधिक लड़कों का उत्पादन करने के लिए चाहिए , तो आप सही हैं, जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है। सही होने के लिए आप सभी की जरूरत यह है कि परिवारों में लड़की को जन्म देने की संभावना अलग-अलग हो (यहां तक ​​कि सिर्फ थोड़ी सी)।

"आधिकारिक" उत्तर, कि अनुपात 1: 1 के करीब होना चाहिए, कई अवास्तविक मान्यताओं की आवश्यकता होती है और उनके लिए संवेदनशील है: यह मानता है कि परिवारों के बीच कोई भिन्नता नहीं हो सकती है और सभी जन्म स्वतंत्र होना चाहिए।

टिप्पणियाँ

इस विश्लेषण द्वारा मुख्य विचार यह है कि जनसंख्या के भीतर भिन्नता के महत्वपूर्ण परिणाम हैं। जन्मों की स्वतंत्रता - यद्यपि यह इस धागे में प्रत्येक विश्लेषण के लिए उपयोग की जाने वाली एक सरल धारणा है - विरोधाभास का समाधान नहीं करता है , क्योंकि (अन्य मान्यताओं के आधार पर) यह आधिकारिक उत्तर और इसके विपरीत दोनों के अनुरूप है।

$p_i$$p_i$$p_i$

यदि हम लिंग को कुछ अन्य आनुवंशिक अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम प्राकृतिक चयन का एक सरल सांख्यिकीय विवरण प्राप्त करते हैं : एक नियम जो अपने आनुवंशिक मेकअप के आधार पर संतानों की संख्या को सीमित करता है, अगली पीढ़ी में उन जीनों के अनुपात को व्यवस्थित रूप से बदल सकता है। जब जीन सेक्स-लिंक्ड नहीं होता है, तो भी एक छोटा सा प्रभाव लगातार पीढ़ियों के माध्यम से गुणा किया जाएगा और तेजी से काफी हद तक एकीकृत हो सकता है।

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मूल उत्तर

प्रत्येक बच्चे का जन्म क्रम होता है: पहला जन्म, दूसरा जन्म, और इसी तरह।

पुरुष और महिला के जन्म की समान संभावनाओं और लिंग के बीच कोई संबंध नहीं मानते हुए, बड़ी संख्या के कमजोर कानून का दावा है कि पुरुषों के लिए पहली 1: 1 का अनुपात महिलाओं के करीब होगा । उसी कारण से पुरुषों के लिए जन्म लेने वाली महिलाओं के 1: 1 अनुपात के करीब होगा, और इसी तरह। क्योंकि ये अनुपात लगातार 1: 1 हैं, कुल मिलाकर अनुपात 1: 1 होना चाहिए, भले ही जन्म आदेशों की सापेक्ष आवृत्तियों जनसंख्या में हो।

Comments

दिलचस्प; ऐसा इसलिए लगता है क्योंकि हालाँकि कोई भी नियम प्राकृतिक अनुपात से अनुपात को नहीं बदल सकता है, लेकिन इसके परिणामस्वरूप बच्चों की संख्या में परिवर्तन हो सकता है और बच्चों की संख्या प्राकृतिक अनुपात पर निर्भर है। इसलिए आपके उदाहरण में आपके पास माता-पिता की दो आबादी है और वे अलग तरह से प्रभावित होते हैं। (यह कहा कि यह एक काल्पनिक देश के दायरे के बाहर की स्थिति जैसा लगता है जो गणितीय अभ्यास से अधिक है)

— रिचर्ड टिंगल

$p_i$$1/2$$1$

न ही आपको माफी मांगनी चाहिए, यह एक बहुत ही दिलचस्प परिणाम है (जब मैंने इसे पढ़ा तो मुझे वास्तव में वाह नहीं लगा)। मैं इसे केवल "मूल परिणाम", "अधिक यथार्थवादी स्थिति" के रूप में पसंद करूंगा। जिस तरह से यह लिखा गया है वह धोखा देने जैसा लगता है (जो कि अनुचित है क्योंकि जैसा कि मैं कहता हूं कि यह बहुत दिलचस्प है) क्योंकि मैं आसानी से कह सकता हूं "वैसे जाहिर है कि यह 1: 1 नहीं है क्योंकि पुरुष जन्म अधिक सामान्य हैं" (मेरा मानना ​​है कि हमारे ऐतिहासिक कार्यकाल के कारण सशस्त्र संघर्ष में मरने के लिए)

— रिचर्ड टिंगल

$p_i$$0.51$

@ मुखर जानकारीपूर्ण उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे समझ में नहीं आता है कि आपकी गणना में आप लड़कियों को जन्म देने की अलग-अलग संभावना वाले 2 परिवारों में जनसंख्या को क्यों विभाजित करते हैं। आपके मॉडल धारणा के बिंदु 1 के अनुसार, p_i सभी परिवारों के लिए समान होना चाहिए। तो, आपने आबादी को 2 तरह के परिवारों में क्यों विभाजित किया?

— मोबिअस पिज्जा

Answer 4

प्रत्येक बच्चे का जन्म एक लड़के के लिए पी = 0.5 और एक लड़की के लिए पी = 0.5 के साथ एक स्वतंत्र घटना है । अन्य विवरण (जैसे परिवार के फैसले) केवल आपको इस तथ्य से विचलित करते हैं। उत्तर, फिर, यह है कि अनुपात 1: 1 है ।

इस पर खुलासा करने के लिए: कल्पना करें कि बच्चे होने के बजाय, आप "सिर" प्राप्त होने तक एक उचित सिक्का (पी (सिर) = 0.5) फ्लिप कर रहे हैं। मान लीजिए कि परिवार A सिक्के को फड़फड़ाता है और [पूंछ, पूंछ, सिर] का क्रम प्राप्त करता है। फिर फैमिली बी सिक्का उछालता है और एक पूंछ प्राप्त करता है। अब, क्या संभावना है कि अगला प्रमुख होगा? फिर भी 0.5 , क्योंकि यही स्वतंत्र अर्थ है। यदि आप 1000 परिवारों के साथ ऐसा करते थे (जिसका मतलब है कि 1000 सिर आए), पूंछ की कुल संख्या 1000 है, क्योंकि प्रत्येक फ्लिप (घटना) पूरी तरह से स्वतंत्र थी।

कुछ चीजें स्वतंत्र नहीं हैं , जैसे कि एक परिवार के भीतर अनुक्रम: अनुक्रम की संभावना [प्रमुख, सिर] 0 है, [पूंछ, पूंछ] (0.25) के बराबर नहीं। लेकिन चूंकि सवाल इस बारे में नहीं पूछ रहा है, इसलिए यह अप्रासंगिक है।

Comments

जैसा कि कहा गया है, यह गलत है। यदि लिंग बिना शर्त के स्वतंत्र होते, तो दीर्घकाल में परिवारों में जन्मों-जन्मों के कई लड़के-लड़की होते, जैसे लड़के-लड़के-क्रम होते। बाद के कई और पूर्व के कभी नहीं हैं । स्वतंत्रता का एक रूप है, लेकिन यह जन्म के आदेश पर सशर्त है ।

— whuber

@ जब भी हमें पूछा जाता है कि वहां कितने लडक़े-लडक़ी सीक्वेंस हैं। केवल लड़कियों का अनुपात लड़कों से। मैंने यह नहीं कहा कि एक व्यक्ति की माँ द्वारा जन्म का क्रम स्वतंत्र घटनाओं की एक श्रृंखला है, जैसे कि सिक्का झलकता है। केवल यह कि प्रत्येक जन्म, व्यक्तिगत रूप से, एक स्वतंत्र घटना है।

— टिम एस।

आपको इसके बारे में अधिक स्पष्ट होने की आवश्यकता होगी। मैंने स्वतंत्रता की कमी को प्रदर्शित करने के लिए दृश्यों का उल्लेख किया है, इसलिए बोझ आप पर है कि वास्तव में "स्वतंत्रता" किस कठोर अर्थ में है।

— whuber

@whuber उसी तरह से स्वतंत्र हैं जैसे कि सिक्के के फ़्लिप होते हैं। मैंने अपने उत्तर में इस पर विस्तार किया है।

— टिम एस।

यदि आप सभी जन्मों को एक पंक्ति में रखते हैं, तो लड़की-लड़की के क्रम बदल जाते हैं; एक जोड़े के बाद आदि में अगले जाने के बाद खत्म होता है

— रिचर्ड टिंगल

Answer 5

एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने की कल्पना करें जब तक आप एक सिर का निरीक्षण नहीं करते। आप कितने टॉस करते हैं?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

पूंछ की अपेक्षित संख्या 1 होने के लिए आसानी से गणना की जाती है *।

सिर की संख्या हमेशा 1 होती है।

* यदि यह आपके लिए स्पष्ट नहीं है, तो यहां 'प्रमाण की रूपरेखा' देखें

Answer 6

बिल्कुल एक लड़की और कोई लड़का नहीं के साथ जोड़े सबसे आम हैं

इसका कारण यह है कि यह सब इसलिए होता है क्योंकि एक परिदृश्य जिसमें लड़कियों की संख्या अधिक होती है वह उन परिदृश्यों की तुलना में अधिक होती है जहां अधिक लड़के होते हैं। और जिन परिदृश्यों में बहुत अधिक लड़के हैं उनकी संभावनाएँ बहुत कम हैं। जिस तरह से यह अपने आप काम करता है नीचे सचित्र है

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

आप बहुत कुछ देख सकते हैं कि यह इस बिंदु पर कहाँ जा रहा है, लड़कियों और लड़कों की कुल संख्या दोनों को एक में जोड़ना है।

एक जोड़े से अपेक्षित लड़कियां${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{भेड़िया से समाधान सीमित करें}

कोई भी जन्म, जो भी परिवार है, उसमें लड़का या लड़की होने की 50:50 संभावना है

यह सब आंतरिक समझ में आता है क्योंकि (जोड़े के रूप में प्रयास करें) आप एक विशिष्ट जन्म की संभावना को नियंत्रित नहीं कर सकते हैं एक लड़का या लड़की होने के नाते। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई बच्चा किसी ऐसे बच्चे के साथ पैदा हुआ है जिसके बच्चे नहीं हैं या सौ लड़कों का परिवार है; मौका 50:50 है, इसलिए यदि प्रत्येक व्यक्ति के जन्म में 50:50 का मौका है, तो आपको हमेशा आधे लड़कों और आधी लड़कियों को प्राप्त करना चाहिए। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप परिवारों के बीच जन्मों को कैसे फेरबदल करते हैं; आप इसे प्रभावित नहीं करने जा रहे हैं।

यह किसी भी ¹ नियम के लिए काम करता है

किसी भी जन्म के लिए 50:50 की संभावना के कारण अनुपात 1: 1 के रूप में समाप्त हो जाएगा किसी भी (उचित ¹ ) नियम के साथ आप आ सकते हैं। उदाहरण के लिए इसी तरह के नियम नीचे भी काम करते हैं

जोड़े के बच्चे होने पर बच्चे पैदा करना बंद कर देते हैं, या उनके दो बच्चे हो जाते हैं

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

इस मामले में कुल अपेक्षित बच्चे अधिक आसानी से गणना किए जाते हैं

एक जोड़े से अपेक्षित लड़कियां${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ जैसा कि मैंने कहा कि यह किसी भी उचित नियम के लिए काम करता है जो वास्तविक दुनिया में मौजूद हो सकता है। एक अनुचित नियम वह होगा जिसमें प्रति युगल अपेक्षित बच्चे अनंत थे। उदाहरण के लिए "माता-पिता केवल तब ही बच्चे पैदा करना बंद कर देते हैं जब उनके पास लड़कियों की तुलना में दोगुने लड़के होते हैं", हम उपरोक्त तकनीकों का उपयोग करके दिखा सकते हैं कि यह नियम अनंत बच्चों को देता है:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

फिर हम बच्चों की सीमित संख्या के साथ माता-पिता की संख्या का पता लगा सकते हैं

परिमित बच्चों के साथ माता-पिता की अपेक्षित संख्या${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{भेड़िया से समाधान सीमित करें}

तो इससे हम यह स्थापित कर सकते हैं कि 82% माता-पिता की अनंत संतान होगी; शहर के नियोजन के दृष्टिकोण से, यह शायद कठिनाइयों का कारण होगा और दिखाता है कि यह स्थिति वास्तविक दुनिया में मौजूद नहीं हो सकती है।

Comments

यह कि जन्म स्वतंत्र नहीं हैं जन्मों के अनुक्रमों की जांच से स्पष्ट होता है: अनुक्रम लड़की-लड़की कभी नहीं दिखाई देते हैं जबकि लड़का-लड़का क्रम अक्सर होते हैं।

— whuber

@ जब भी मैं आपकी बात देखता हूँ (हालाँकि यकीनन यह उस बच्चे के लिए सब कुछ निर्भर करने वाला निर्णय है जो स्वयं घटना के परिणाम के बजाय आश्रित है) संभवतः यह कहना बेहतर होगा कि "एक लड़के के होने की भावी जन्म की संभावना स्वतंत्र है पिछले सभी जन्मों से "

— रिचर्ड टिंगल

हां, मुझे लगता है कि यहां स्वतंत्रता के उपयोग को बचाने का एक तरीका है। लेकिन यह हो जाता है - मुझे लगता है - मामले के दिल के लिए, इसलिए ऐसा लगता है कि ओपी के "जोरदार" (कठोर?) के अनुरोध का सम्मान करने के लिए इस मुद्दे के बारे में कुछ सावधानीपूर्वक तर्क की आवश्यकता है।

— whuber

@ वाउचर ईमानदार होने के लिए कि पहला पैराग्राफ हाथवाला बिट है, आगे पैराग्राफ (और विशेष रूप से सीमाएं) कठोर बिट माना जाता है

— रिचर्ड टिंगल

कोई तर्क नहीं है - लेकिन बाद वाली सामग्री पहले से ही आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / a / 93833 , सांख्यिकी . stackexchange.com/a/93835 , और आँकड़े. stackexchange.com//93841 पर जवाब में उसी तरह से कवर की गई है। ।

— whuber

Answer 7

आप सिमुलेशन का उपयोग भी कर सकते हैं:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

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सिमुलेशन परिणाम अच्छे हैं कि वे हमें कुछ आराम दे सकते हैं हमने गणितीय व्युत्पत्ति में एक गंभीर गलती नहीं की है, लेकिन वे अनुरोध किए गए कठोर प्रदर्शन से बहुत दूर हैं। विशेष रूप से, जब दुर्लभ घटनाएं जो किसी उम्मीद में बहुत अधिक योगदान देती हैं (जैसे कि एक लड़की के सामने 20 लड़कों वाला परिवार - जो कि सिर्फ 10,000 परिवारों के अनुकरण में उभरने की संभावना नहीं है), तो सिमुलेशन अस्थिर हो सकते हैं या यहां तक ​​कि सिर्फ गलत, कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे कितनी देर तक चलने वाले हैं।

— whuber

परिवार में # लड़कों के ज्यामितीय वितरण को पहचानना इस समस्या का प्रमुख कदम है। कोशिश करें:mean(rgeom(10000, 0.5))

— एडम

Answer 8

इसे मैप करने से मुझे यह देखने में मदद मिली कि जन्म की जनसंख्या का अनुपात (1: 1 माना जाता है) और बच्चों की जनसंख्या का अनुपात दोनों का अनुपात 1: 1 होगा। जबकि कुछ परिवारों में कई लड़के होंगे लेकिन केवल एक लड़की, जिसके कारण मुझे लगता है कि लड़कियों की तुलना में अधिक लड़के होंगे, उन परिवारों की संख्या 50% से अधिक नहीं होगी और प्रत्येक अतिरिक्त बच्चे के साथ आधे से कम हो जाएगी, जबकि एक-लड़की-केवल परिवारों की संख्या 50% होगी। इस प्रकार लड़के और लड़कियों की संख्या एक-दूसरे को संतुलित कर देगी। 175 के योग को सबसे नीचे देखें।

Answer 9

आपको जो मिला वह सबसे सरल और सही उत्तर था। यदि एक नवजात बच्चे के लड़का होने की संभावना p है, और गलत लिंग के बच्चे दुर्भाग्यपूर्ण दुर्घटनाओं से नहीं मिलते हैं, तो यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि माता-पिता बच्चे के लिंग के आधार पर अधिक बच्चे होने के बारे में निर्णय लेते हैं। यदि बच्चों की संख्या N और N है, तो आप p * N लड़कों के बारे में अपेक्षा कर सकते हैं। अधिक जटिल गणना की कोई आवश्यकता नहीं है।

निश्चित रूप से अन्य प्रश्न हैं, जैसे "क्या संभावना है कि बच्चों के साथ परिवार का सबसे छोटा बच्चा एक लड़का है", या "क्या संभावना है कि बच्चों के साथ परिवार का सबसे पुराना बच्चा एक लड़का है"। (इनमें से एक का सरल सही उत्तर है, दूसरे का सरल गलत उत्तर है और एक सही उत्तर प्राप्त करना मुश्किल है)।

Answer 10

चलो

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

नमूना स्थान और जाने दो

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

सामान्य रूप से, लड़कियों का अपेक्षित मूल्य 1. है, इसलिए अनुपात 1 भी है।

Answer 11

यह एक ट्रिकी सवाल है। अनुपात समान रहता है (1: 1)। सही उत्तर यह है कि यह जन्म के अनुपात को प्रभावित नहीं करता है, लेकिन यह प्रति परिवार औसतन 2 जन्मों के सीमित कारक वाले बच्चों की संख्या को प्रभावित करता है।

यह एक तरह का प्रश्न है जो आपको एक तर्क परीक्षा में मिल सकता है। जवाब जन्म अनुपात के बारे में नहीं है। यह एक व्याकुलता है।

यह एक संभाव्यता प्रश्न नहीं है, बल्कि एक संज्ञानात्मक तर्कपूर्ण प्रश्न है। भले ही आपने 1: 1 अनुपात का उत्तर दिया हो, फिर भी आप परीक्षण में असफल रहे।

Comments

मैंने हाल ही में अपने उत्तर को यह दिखाने के लिए संपादित किया है कि समाधान आवश्यक रूप से 1: 1 नहीं है, जो स्पष्ट रूप से आपके कथनों को स्पष्ट करता है।

— whuber

मैंने आपका जवाब पढ़ा। आपने एक विधेय प्रस्तुत किया है जो समस्या में नहीं बताया गया है (महिलाओं की जन्म दर में परिवर्तन)। समस्या में ऐसा कुछ भी नहीं है जो कहता है कि Zorganian गणराज्य मानव आबादी या यहां तक ​​कि मनुष्यों का प्रतिनिधि है।

— एंड्रयू - OpenGeoCode

यह सही है - लेकिन समान रूप से अच्छी तरह से ऐसा कुछ भी नहीं है जो ओवरसिम्प्लीफाइड धारणा को सही ठहराता है कि सभी जन्म संभावनाएं समान हैं। एक उद्देश्य, दोषपूर्ण उत्तर प्रदान करने के लिए मान लिया जाना चाहिए ताकि कम से कम एक अच्छा उत्तर उन मान्यताओं के बारे में स्पष्ट हो जाए जो उन मान्यताओं के लिए समर्थन प्रदान करते हैं। दावा करना "यह एक संभावना प्रश्न नहीं है" मुद्दों को संबोधित नहीं करता है, लेकिन उन्हें पूरी तरह से अनदेखा करता है।

— whuber

@whuber - इस समस्या में जन्म का अनुपात एक अपरिवर्तनीय है। समस्या में भिन्नता प्रति परिवार जन्मों की संख्या है। सवाल एक व्याकुलता है, यह समस्या का हिस्सा नहीं है। <br/> पार्श्व सोच, रचनात्मक रूप से सोचने की क्षमता है, या "बॉक्स के बाहर" जैसा कि कभी-कभी व्यापार में संदर्भित किया जाता है, अप्रत्याशित दृष्टिकोण से उन्हें देखकर समस्याओं को हल करने के लिए आपकी प्रेरणा और कल्पना का उपयोग करने के लिए। पार्श्व सोच में स्पष्ट रूप से त्यागना, विचार के पारंपरिक तरीकों को पीछे छोड़ना और पूर्व धारणाओं को शामिल करना शामिल है। [fyi> मैं लैब में एक प्रमुख वैज्ञानिक हूं]

— एंड्रयू - OpenGeoCode 16'14

फिर, आपने मेरे उत्तर में एक प्रमुख बिंदु को नजरअंदाज कर दिया है: इसकी मान्यताओं में 1: 1 पर एक महिला के जन्म के लिए जनसंख्या-औसतन संभावना भी रहती है (एक विशिष्ट तरीके से जो मुझे आशा है कि स्पष्ट रूप से वर्णित किया गया था)। मैं यह सुनिश्चित करूंगा कि किसी भी विरोधाभास के किसी भी संकल्प में पर्याप्त "पार्श्व सोच" शामिल है जिसमें मान्यताओं की गंभीर रूप से जांच की जाती है: यह कल्पना और अच्छे विश्लेषणात्मक कौशल की आवश्यकता है कि कोई पहली बार में धारणा बना रहा है। किसी भी प्रश्न को केवल "चाल" के रूप में एकमुश्त खारिज करना, जैसा कि आप यहाँ करते हैं, ऐसी सोच को बढ़ावा देने या जश्न मनाने के लिए विरोधाभासी प्रतीत होगा।

— whuber

Answer 12

मैं 'MATLAB' सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके एक मोंटे कार्लो सिमुलेशन (500x1000 परिवारों) के लिए लिखे गए कोड को दिखा रहा हूं। कृपया कोड की जांच करें ताकि मैंने कोई गलती न की हो।

परिणाम उत्पन्न होता है और नीचे प्लॉट किया जाता है। यह दर्शाता है कि नकली लड़की के जन्म की संभावना स्वाभाविक प्राकृतिक संभावना की एक सीमा के लिए रोक नियम की परवाह किए बिना अंतर्निहित प्राकृतिक जन्म संभावना के साथ बहुत अच्छा समझौता है।

कोड के साथ चारों ओर खेलना एक बिंदु को समझना आसान है जो मैंने पहले नहीं किया था --- दूसरे के बिंदु के रूप में, रोक नियम एक विकर्षण है। रोक नियम केवल निश्चित आबादी को दिए गए परिवारों की संख्या को प्रभावित करता है, या किसी अन्य दृष्टिकोण से निश्चित संख्या में परिवारों को दिए गए बच्चे के जन्म की संख्या को प्रभावित करता है। लिंग पूरी तरह से पासा रोल द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसलिए अनुपात या संभावना (जो बच्चों की संख्या से स्वतंत्र है) पूरी तरह से प्राकृतिक लड़के पर निर्भर करेगा: लड़की जन्म rato।

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

Answer 13

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

अपेक्षित मूल्यों की गणना के लिए जन्मों की स्वतंत्रता अप्रासंगिक है।

---

Apropos @ whuber का उत्तर, अगर परिवारों में सीमांत संभाव्यता में भिन्नता है, तो अनुपात लड़कों की तुलना में तिरछा हो जाता है, कम संभावना वाले परिवारों की तुलना में लड़कों की अधिक संभावना वाले परिवारों में अधिक बच्चे होने के कारण, जिससे इसमें वृद्धि का प्रभाव पड़ता है। लड़कों के लिए अपेक्षित मूल्य योग।

Answer 14

मैंने स्वतंत्र रूप से मैटलैब में एक सिमुलेशन प्रोग्राम किया, यह देखने से पहले कि दूसरों ने क्या किया है। कड़ाई से यह कहना एमसी नहीं है क्योंकि मैं केवल एक बार प्रयोग करता हूं। लेकिन एक बार परिणाम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। यहाँ मेरा अनुकरण क्या पैदावार है। मैं जन्मों की संभावना पर एक स्टैंड नहीं लेता पी = 0.5 एक आदिम के रूप में। मैं जन्म की संभावना को Pr (लड़के = 1) = 0.25: 0.05: 0.75 की सीमा में बदलता हूं।

मेरे परिणाम बताते हैं कि जैसे संभावना p = 0.5 से भटकती है, लिंग अनुपात 1 से भिन्न होता है: अपेक्षा में लिंग अनुपात केवल एक लड़के के जन्म की संभावना के अनुपात में लड़की के जन्म की संभावना है। यही है, यह एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर है जैसा कि पहले @ månst द्वारा पहचाना गया था। यह वही है जो मैं मानता हूं कि मूल पोस्टर अंतर्ज्ञान था।

मेरे परिणाम बारीकी से नकल करते हैं कि माटलब कोड के साथ उपरोक्त पोस्टर ने 0.45, 0.50 और 0.55 संभावनाओं पर सेक्स अनुपात का मिलान किया है कि एक लड़का पैदा हुआ है। मैं अपना पेश करता हूं क्योंकि मैं तेजी से कोड के साथ परिणाम प्राप्त करने के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण लेता हूं। तुलना को पूरा करने के लिए मैंने कोड अनुभाग vec = vec (randperm (s, N)) को छोड़ दिया है क्योंकि s उनके कोड में परिभाषित नहीं है और मुझे इस चर के मूल इरादे का पता नहीं है (यह कोड खंड भी अतिश्योक्तिपूर्ण लगता है - मूल रूप से कहा गया है)।

मैं अपना कोड पोस्ट करता हूं

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

निम्नलिखित ग्राफ में बड़ी संख्या के मजबूत कानून की उम्मीद की जाती है। मैं इसे पुन: पेश करता हूं, लेकिन जो ग्राफ मायने रखता है वह दूसरा ग्राफ है।

यहां, किसी बच्चे के लिंग के जन्म के लिए 0.5 से अधिक की आबादी की संभावना समग्र आबादी में लिंग अनुपात को बदल देगी। यह मानते हुए कि जन्म स्वतंत्र हैं (लेकिन पुनरुत्पादन रखने का विकल्प नहीं), सशर्त प्रजनन के प्रत्येक दौर में जनसंख्या संभावना लड़के और लड़की के जन्म के परिणामों के समग्र रूप से नियंत्रित होती है। जैसा कि अन्य लोगों ने उल्लेख किया है, समस्या में रोक नियम जनसंख्या के परिणाम के लिए असंगत है, जैसा कि पोस्टर द्वारा उत्तर दिया गया था जिसने इसे ज्यामितीय वितरण के रूप में पहचाना था।

पूर्णता के लिए, जो रोक नियम को प्रभावित करता है वह आबादी में प्रजनन के दौर की संख्या है। चूंकि मैं केवल एक बार प्रयोग चलाता हूं, इसलिए ग्राफ थोड़ा दांतेदार है। लेकिन अंतर्ज्ञान वहाँ है: किसी दिए गए जनसंख्या के आकार के लिए, चूंकि एक लड़की के जन्म की संभावना बढ़ जाती है, हम देखते हैं कि परिवारों को अपनी वांछित लड़की को प्राप्त करने के लिए प्रजनन के कम दौर की आवश्यकता होती है, इससे पहले कि पूरी आबादी प्रजनन करना बंद कर दे (जाहिर है कि राउंड की संख्या निर्भर करेगी) जनसंख्या का आकार, चूंकि यह यंत्रवत् इस संभावना को बढ़ाता है कि एक परिवार होगा, उदाहरण के लिए, 49 लड़के अपनी पहली लड़की पाने से पहले)

मेरी गणना की गई सेक्स अनुपात के बीच तुलना:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

और पिछले पोस्टर से matlab कोड के साथ:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

वे बराबर परिणाम हैं।

Answer 15

यह परिवारों की संख्या पर निर्भर करता है।

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$