सशर्त समरूपता बनाम विषमलैंगिकता

से अर्थमिति , फ़ुमिओ हयाशि द्वारा (Chpt 1):

बिना शर्त होमोसेक्शुअलिटी:

त्रुटि शब्दों E (εᵢ²) का दूसरा क्षण अवलोकनों में स्थिर है
कार्यात्मक रूप E (x | xi) अवलोकनों में स्थिर है

सशर्त समरूपता:

प्रतिबंधों में निरंतर त्रुटि E (is) के दूसरे क्षण का प्रतिबंध हटा दिया जाता है
- इस प्रकार सशर्त दूसरे क्षण ई (x | xi) xᵢ पर संभव निर्भरता के माध्यम से टिप्पणियों में भिन्न हो सकते हैं।

तो फिर, मेरा सवाल:

सशर्त Homoskedasticity Heteroskedasticity से कैसे भिन्न होती है?

मेरी समझ यह है कि जब दूसरे क्षण में अवलोकनों (x across) में अंतर होता है, तो विषमलैंगिकता होती है।

— एलेक
स्रोत

हो सकता है कि इस वसीयत मदद: www2.econ.iastate.edu/classes/econ674/falk/...

— whuber

इसमें एक मामूली सी बात यह है कि इकोनोमेट्रिक्स की किताब के विरोधाभासी में "इसलिए, सशर्त समरूपता का अर्थ बिना शर्त समरूपता है"। वे विभिन्न चीजों पर कंडीशनिंग करने लगते हैं।

— हेनरी

@ हेनरी वर्तमान प्रश्न से यह बताना मुश्किल है कि कौन सी परिभाषाएँ सटीक हैं और कौन सी नहीं - उनमें से कुछ पाठ्यपुस्तक के संदर्भ से समझ में नहीं आती हैं। कुछ स्पष्टीकरण का स्वागत किया जाएगा।

— whuber

मैं हयाशी के हवाले से शुरू करूंगा किसी और की मदद करने के लिए जो टिप्पणी करना चाहेगा। मैंने स्वरूपण और मूल समीकरण संख्या को संरक्षित करने की कोशिश की है।

हयाशी पृष्ठ 126, खंड 2.6 से उद्धरण शुरू करें:

सशर्त बनाम बिना शर्त Homoskedasticity

सशर्त समरूपता धारणा है:

अनुमान 2.7 (सशर्त समरूपता): start इस धारणा का तात्पर्य है कि बिना शर्त दूसरे क्षण कुल अपेक्षाओं के कानून द्वारा बराबर है । बिना शर्त और सशर्त समरूपता के बीच के अंतर के बारे में स्पष्ट होने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें [उदाहरण 2.6 (बिना शर्त समरूपतावादी लेकिन सशर्त रूप से विषमलैंगिक त्रुटियां) ...]

\begin{aligned} (2.6.1) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$

E (ϵ_{i}^{2})

$E(\epsilon_i^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

अंतिम उद्धरण।

हयाशी पृष्ठों से कुछ प्रासंगिक समीकरण ११ (४ (धारा १.१):

\begin{aligned} (1.1.12) & E (ϵ_{i}^{2} | X) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, \dots, n) \\ (1.1.17) & E (ϵ_{i}^{2} | x_{i}) = σ^{2} > 0 (i = 1, 2, . \dots, n) . \end{aligned}

$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$

पृष्ठ 12 पर रैंडम "रैंडम रिग्रेशन मॉडल फ़ॉर रैंडम सैंपल" में नमूने के आईआईडी होने के निहितार्थों पर चर्चा की गई है। हयाशी पेज 12-13 से उद्धृत करते हुए: "यादृच्छिक नमूने के समान वितरण पहलू का निहितार्थ यह है कि का संयुक्त वितरण पर निर्भर नहीं करता है । इसलिए बिना शर्त दूसरा क्षण भर में स्थिर है (इस रूप में निर्दिष्ट है बिना शर्त homoskedasticity और) सशर्त दूसरे पल के कार्यात्मक रूप में एक जैसा है । धारणा 1.4 हालांकि --- कि मूल्य $(\epsilon_i,\mathbf x_i)$ $i$ $E(\epsilon_i^2)$ $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ सशर्त दूसरे क्षण पार एक ही है --- का पालन नहीं करता है। इसलिए, एक यादृच्छिक नमूने के मामले में अनुमान 1.4 प्रतिबंधात्मक है; इसके बिना, सशर्त दूसरे क्षण पर इसकी संभावित निर्भरता के माध्यम से अलग-अलग हो सकता है । भेद पर जोर देने के लिए, सशर्त दूसरे क्षणों पर प्रतिबंध, (1.1.12) और (1.1.17) को सशर्त समरूपता कहा जाता है । " $i$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$ $i$ $\mathbf x_i$

[हयाशी से आगे कोई उद्धरण नहीं, बस इस बिंदु के बाद मेरी समझ।]

मुझे लगता है कि मूल प्रश्न 12-13 पेज पर उपरोक्त चर्चा के बारे में था। उस स्थिति में, मुझे लगता है कि "कंडिशनल होमोसकेडसिटी" के तहत पहली गोली तकनीकी रूप से सही नहीं है (हालांकि मैं समझता हूं कि आपका क्या मतलब है): हयाशी का कहना है (1.1.17) "सशर्त समरूपता" है, और यदि , तब , के रूप में Hayashi नोट | पृष्ठ १२६ पर (जो सशर्त समरूपता का अर्थ कुल व्यय की विधि द्वारा बिना शर्त समरूपता है)। $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

इसलिए मुझे लगता है कि इस मुद्दे का हिस्सा हयाशी के बयानों की व्याख्या हो सकती है। सशर्त समरूपता (१.१.१ even) भी अलग-अलग के लिए है, का विचरण एक ही स्थिर । बिना शर्त समरूपता एक कमजोर कथन है, जिसमें आप लेकिन ; उदाहरण 2.6 (पृष्ठ 127) यह दिखाता है। यह शायद होमो- और विषमलैंगिकता के बीच ओवरलैप के सवाल का भी जवाब देता है: यह एक उदाहरण देता है जहां बिना शर्त समरूपता के साथ-साथ सशर्त विषमलैंगिकता भी होती है। $\mathbf x_i$ $\epsilon_i$ $\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$

ये भ्रमित करने वाली अवधारणाएँ हैं, विशेष रूप से सशर्त अपेक्षाओं / वितरण के साथ बहुत अधिक अनुभव के बिना, लेकिन उम्मीद है कि इसमें कुछ स्पष्टता (और भविष्य की चर्चा के लिए स्रोत सामग्री) शामिल है।

— डेविड एम कपलान
स्रोत

यह उन उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करने में मदद कर सकता है जो इन भ्रामक अवधारणाओं के बीच अंतर को पूरी तरह से स्पष्ट करते हैं।

— गंग - मोनिका