दो सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के बीच यूक्लिडियन दूरी का वितरण क्या है?

मान लें कि आपको दो ऑब्जेक्ट दिए गए हैं जिनके सटीक स्थान अज्ञात हैं, लेकिन ज्ञात मापदंडों के अनुसार सामान्य वितरण के अनुसार वितरित किए जाते हैं (जैसे और । हम यह मान सकते हैं कि इन दोनों द्विचर Normals, ऐसी है कि पदों एक वितरण पर द्वारा वर्णित हैं कर रहे हैं निर्देशांक (यानी और युक्त उम्मीद वैक्टर हैं निर्देशांक के लिए और क्रमशः)। हम यह भी मानेंगे कि वस्तुएँ स्वतंत्र हैं। $a \sim N(m, s)$ $b \sim N(v, t))$ $(x,y)$ $m$ $v$ $(x,y)$ $a$ $b$

क्या किसी को पता है कि इन दो वस्तुओं के बीच वर्गीय यूक्लिडियन दूरी का वितरण एक ज्ञात पैरामीट्रिक वितरण है? या विश्लेषणात्मक रूप से इस फ़ंक्शन के लिए पीडीएफ / सीडीएफ कैसे प्राप्त करें?

normal-distribution distance-functions

— छेद
स्रोत

आपको एक गैर-केंद्रीय ची-स्क्वेर वितरण का एक बहु प्राप्त करना चाहिए बशर्ते सभी चार निर्देश असंबंधित हों। अन्यथा, परिणाम बहुत अधिक जटिल दिखता है।

— whuber

@ किसी भी विवरण / संकेत के रूप में आप प्रदान कर सकते हैं कि कैसे गैर-केंद्रीय ची-चुकता वितरण के पैरामीटर वस्तुओं के उन लोगों से संबंधित हैं, बी शानदार होगा

— निक

@ विकिपीडिया लेख के पहले कुछ पैराग्राफ विवरण प्रदान करें। विशेषता कार्यों को देखकर आप यह स्थापित कर सकते हैं कि एक समान परिणाम उपलब्ध नहीं है जब सभी संस्करण समान नहीं हैं या कुछ सहसंबंध हैं।

— whuber

@ ठीक है, स्पष्ट करने के लिए, और , दोनों के साथ यादृच्छिक वैक्टर में मान हैं ?

a

$a$

b

$b$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— mpiktas

@ ठीक है, अगर और संयुक्त रूप से सामान्य हैं, तो अंतर है सामान्य भी है। फिर आपकी समस्या यादृच्छिक सामान्य वेक्टर के वितरण का पता लगाना है। Googling मुझे यह लिंक मिला । पेपर बहुत अधिक जटिल समस्या का वर्णन करता है जो बहुत विशेष रूप से आपके साथ मेल खाता है। यह कुछ आशा देता है कि आपके प्रश्न का एक निश्चित उत्तर है। संदर्भ आपको आगे के विचार दे सकते हैं जहां खोज करनी है।

a

$a$

b

$b$

a - b

$a-b$

— mpiktas

जवाबों:

इस सवाल का जवाब मथाई और प्रोवोस्ट (1992, मार्सेल डेकेर, इंक) द्वारा यादृच्छिक चर में पुस्तक द्विघात रूपों में पाया जा सकता है ।

जैसा कि टिप्पणियां स्पष्ट करती हैं, आपको का वितरण खोजने की आवश्यकता है, जहां मतलब और सहसंयोजक मैट्रिक्स साथ एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है । यह द्विभाजित यादृच्छिक चर में एक द्विघात रूप है । $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

संक्षेप में, -dimensional मामले के लिए एक अच्छा सामान्य परिणाम जहां और है, जो पल उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन जहां के eigenvalues हैं और का एक रैखिक कार्य है । ऊपर उल्लिखित पुस्तक में प्रमेय 3.2a.2 (पृष्ठ 42) देखें (हम यह मानते हैं कि गैर-विलक्षण है)। एक अन्य उपयोगी प्रतिनिधित्व 3.1a.1 (पृष्ठ 29) जहाँ $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

Q = \sum_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

E (e^{t Q}) = e^{t \sum_{j = 1}^{p} \frac{b_{j}^{2} λ_{j}}{1 - 2 t λ_{j}}} \prod_{j = 1}^{p} (1 - 2 t λ_{j})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

Q = \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} (u_{j} + b_{j})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$ iid ।

N (0, 1)

$N(0, 1)$

पुस्तक में पूरा अध्याय 4 घनत्व और वितरण कार्यों के प्रतिनिधित्व और गणना के लिए समर्पित है, जो बिल्कुल भी नहीं है। मैं केवल पुस्तक के बारे में सतही रूप से परिचित हूं, लेकिन मेरी धारणा यह है कि सभी सामान्य अभ्यावेदन अनंत श्रृंखला विस्तार के संदर्भ में हैं।

तो एक निश्चित तरीके से प्रश्न का उत्तर है, हाँ, दो द्विभाजित सामान्य वैक्टरों के बीच वर्गीय यूक्लिडियन दूरी का वितरण चार मापदंडों द्वारा वितरित वितरण के एक ज्ञात (और अच्छी तरह से अध्ययन) वर्ग के अंतर्गत आता है। और । हालाँकि, मुझे पूरा यकीन है कि आपको यह मानक अपनी पाठ्यपुस्तकों में नहीं मिलेगा। $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

ध्यान दें, इसके अलावा, और को स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है। संयुक्त सामान्यता पर्याप्त है (जो स्वचालित है यदि वे स्वतंत्र और प्रत्येक सामान्य हैं), तो अंतर एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है। $a$ $b$ $a-b$

— NRH
स्रोत

संदर्भ के लिए धन्यवाद, मुझे पुस्तक मिली और मैं धीरे-धीरे इसके माध्यम से अपना रास्ता बनाने की कोशिश कर रहा हूं

— निक

@ एनआरएच मैंने एमजीएफ के माध्यम से खुद को सममित मामले ( ) में काम किया है, जहां और बजाए के योग में, मैं । सिमुलेशन पहले पल की पुष्टि करता है। यह संभव है कि यह "रैखिक कार्य" है जिसका आप उल्लेख करते हैं और यह सममित मामले के लिए अजीब है, लेकिन मैंने सोचा कि यदि कोई त्रुटि है तो मैं इसे इंगित करूंगा।

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— काइल

दरअसल, की उनकी परिभाषा के आधार पर , घातांक में अंश सममित (सामान्य विचरण के साथ स्वतंत्र आयाम) मामले में को कम करता है ।

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— काइल

सबसे पहले अंतर वेक्टर के वितरण को परिभाषित करें, , जो कि बस ; यह मल्टीवेरेट अनिश्चितता प्रसार , जिसमें एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स और । $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

दूसरे, अंतर वेक्टर लंबाई के वितरण के लिए देखो, या मूल से रेडियल दूरी, जो Hoyt वितरित की गई है :

द्विभाजित में वास्तविक माध्य के चारों ओर त्रिज्या असमान भिन्नताओं के साथ सामान्य यादृच्छिक चर है, जो ध्रुवीय निर्देशांक (त्रिज्या और कोण) में फिर से लिखा गया है, एक होयट वितरण का अनुसरण करता है। पीडीएफ और सीएफडी को बंद रूप में परिभाषित किया गया है, संख्यात्मक रूट खोज का उपयोग cdf ^ c1 को खोजने के लिए किया जाता है। यदि संबंध 0 है और संस्करण समान हैं, तो रेले वितरण को कम कर देता है।

यदि आप एक पक्षपातपूर्ण अंतर (स्थानांतरित मूल) के लिए अनुमति देते हैं, तो एक अधिक सामान्य वितरण उठता है : बैलिस्टीपी से :

— फेलिप जी। निवेन्स्की
स्रोत

+1, लेकिन मुझे लगता है कि यह इंगित करने के लायक है कि यह सवाल आपके "सामान्य मामले" को क्या कहता है।

— अमीबा ने

इसका परीक्षण क्यों नहीं किया गया?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

प्लॉट 1 प्लॉट २ प्लॉट 3 प्लॉट 4

— ब्रैंडन बर्टेल्सन
स्रोत

मूल प्रश्न के लिए टिप्पणी करने वाले ने पहले से ही कहा था कि यदि वेरिएंस समान थे और चर असंबद्ध थे तो यह कैसा दिखेगा। शायद इस बात का उदाहरण देते हुए कि यह मामला अधिक ज्ञानवर्धक नहीं होगा।

— एंडी डब्ल्यू

क्या आप ऐसा कोई उदाहरण दे सकते हैं?

— ब्रैंडन बर्टेल्सन

आपको केवल x और y मान उत्पन्न करने की आवश्यकता है जो या तो सहसंबंधित हैं या जिनके अलग-अलग संस्करण हैं। कोड में अलग-अलग वेरिएंट ठीक किए जा सकते हैं। आप MASS पैकेज से mvrnorm का उपयोग करके एक निर्दिष्ट सहसंयोजक मैट्रिक्स से मान उत्पन्न कर सकते हैं। इसके अलावा, मुझे यकीन नहीं है कि उपरोक्त कोड में "दंत चिकित्सक" फ़ंक्शन क्या है, क्या यह संभवतः "घनत्व" होना चाहिए।

— एंडी डब्ल्यू

यह कहा जा रहा है कि यह शायद गणित के माध्यम से काम करने के लिए ज्ञानवर्धक है, यह देखने के लिए कि यह मामला क्यों है (और कैसे विचरण / सहसंबंधों के वितरण में बदलाव होगा)। मेरे लिए यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि सिर्फ व्हिबर द्वारा बताए गए विशेषता फ़ंक्शन को देखकर ऐसा क्यों है। ऐसा लगता है कि यादृच्छिक चर जोड़ने, घटाने, और गुणा करने के नियमों की एक सरल समझ आपको यह समझने के तरीके के साथ मिलेगी कि यह क्यों है।

— एंडी डब्ल्यू