एक वितरण के अनंत अर्थ और भिन्नता कैसे हो सकते हैं?

Question

इसकी सराहना की जाएगी यदि निम्नलिखित उदाहरण दिए जा सकते हैं:

1. अनंत माध्य और अनंत विचरण वाला वितरण।
2. अनंत माध्य और परिमित विचरण वाला वितरण।
3. परिमित माध्य और अनंत विचरण वाला वितरण।
4. परिमित माध्य और परिमित विचरण के साथ वितरण।

यह मेरे द्वारा इन अपरिचित शब्दों (अनंत माध्य, अनंत विचरण) को एक लेख में उपयोग किया गया है, जिसे मैं पढ़ रहा हूँ, देख रहा हूँ, देख रहा हूँ और विल्मोट मंच / वेबसाइट पर एक धागा पढ़ रहा हूँ , और इसे पर्याप्त रूप से स्पष्ट विवरण नहीं मिल रहा है। मुझे अपनी किसी भी पाठ्यपुस्तक में कोई स्पष्टीकरण नहीं मिला है।

Comments

आपकी सूची में मामला 2 असंभव है।

— kjetil b halvorsen

प्रासंगिक: आंकड़े.stackexchange.com/questions/94402/…

— kjetil b halvorsen

परिमित और अनंत भिन्नता के बीच अंतर क्या है की

— kjetil b halvorsen

इन चार विशिष्ट उदाहरणों के लिए पूछकर, मुझे लगता है कि यह एक अलग प्रश्न है और इसे एक डुप्लिकेट के रूप में बंद नहीं किया जाना चाहिए - हालांकि दूसरा प्रश्न निश्चित रूप से प्रासंगिक और सहायक है।

— सिल्वरफिश

केवल 4 उदाहरणों में से 1, 3 और 4 वास्तव में संभव हैं और 1 और 4 के लिए आसान उदाहरण दिए जा सकते हैं। कौची 1 का उदाहरण है और गाऊसी 4 का उदाहरण है। विचरण के लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया जाना असंभव है अगर .mean मौजूद नहीं है। इसलिए 2 संभव नहीं है। 3 का एक उदाहरण निर्माण के लिए दिलचस्प होगा।

— माइकल आर। चेरिक

Answer 1

अभिन्न के संदर्भ में माध्य और विचरण को परिभाषित किया गया है। माध्य या विचरण के लिए अनंत होने का अर्थ उन अभिन्न लोगों के लिए सीमित व्यवहार के बारे में एक बयान है

उदाहरण के लिए, इसका मतलब है (इस पर विचार, एक Stieltjes अभिन्न रूप में कहते हैं); एक सतत घनत्व के लिए इस होगा लिम एक , ख → ∞ ∫ ख - एक एक्स च ( एक्स ) घ एक्स (अब एक Riemann अभिन्न रूप में, कहते हैं)।$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, यदि पूंछ "भारी पर्याप्त" है। परिमित / अनंत माध्य और विचरण के चार मामलों के लिए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

1. अनंत माध्य और अनंत विचरण वाला वितरण।

   उदाहरण: α = 1 के साथ पारेतो वितरण , एक ज़ेटा (2) वितरण।$\alpha= 1$

2. अनंत माध्य और परिमित विचरण वाला वितरण।

   संभव नहीं।

3. परिमित माध्य और अनंत विचरण वाला वितरण।

   उदाहरण: वितरण$t_2$ । Are = 3 के साथ ।$\alpha=\frac{3}{2}$

4. परिमित माध्य और परिमित विचरण के साथ वितरण।

   उदाहरण: कोई भी सामान्य। कोई भी वर्दी (वास्तव में, किसी भी बंधे हुए चर में सभी क्षण होते हैं)। ।$t_3$

आपके पास एक वितरण भी हो सकता है जहां अभिन्न अपरिभाषित है, लेकिन जरूरी नहीं कि सीमा में सभी परिमित सीमा से परे हो।

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चार्ल्स गेयर के ये नोट्स साधारण शब्दों में प्रासंगिक अभिन्नताओं की गणना करने के तरीके के बारे में बात करते हैं। ऐसा लगता है कि यह वहां रीमैन अभिन्न लोगों के साथ काम कर रहा है, जो केवल निरंतर मामले को कवर करता है लेकिन अभिन्न की सामान्य परिभाषाएं (उदाहरण के लिए स्टिल्ट्ज) उन सभी मामलों को कवर करेगा जिनकी आपको आवश्यकता होगी, [लेब्सगेग एकीकरण एकीकरण का रूप है जिसे माप सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। (जो संभावना को रेखांकित करता है) लेकिन यहाँ बिंदु अधिक बुनियादी तरीकों से ठीक काम करता है]। यह भी शामिल है (सेकंड 2.5, p13-14) क्यों "2." संभव नहीं है (माध्य मौजूद है, यदि विचरण मौजूद है)।

Comments

+1 कारण (2) असंभव है तुच्छ: माध्य के संदर्भ में विचरण को परिभाषित किया गया है। थोड़ा गहरा तथ्य यह है कि जब का दूसरा क्षण परिमित होता है, तो इसका मतलब परिमित होना चाहिए। यदि माध्य अनंत है, तो दूसरे क्षण में एक किलाजी अनंत होना चाहिए, क्योंकि दूसरा क्षण एक्स के मूल्यों को न केवल संभाव्यता से बल्कि एक्स स्वयं ( एक्स 2 = एक्स × एक्स ) द्वारा भी भारित कर रहा है । वे वेट बिना बाउंड के बढ़ते हैं, जिससे दूसरे पल को पहले पल के निरपेक्ष मान से अधिक हो जाता है। $X$$X$$X$$X^2 = X\times X$

— whuber

@ जब भी आप माध्य के संदर्भ के बिना विचरण को परिभाषित कर सकते हैं (जैसे कि मानों के जोड़े में चुकता अंतर की अपेक्षा के रूप में), इसलिए यह मुद्दा उतना तुच्छ नहीं है। आपके दूसरे तर्क की तरह कुछ और वास्तव में जरूरत है।

— Glen_b -Reinstate Monica

यह एक अच्छा बिंदु है, लेकिन अगर हम स्वीकार करते हैं कि विचरण की कोई वैकल्पिक परिभाषा सभी वितरणों के लिए सामान्य परिभाषा के बराबर है, तो अगर यह एक परिभाषा के अनुसार अपरिभाषित है जो तार्किक रूप से एक पर्याप्त प्रदर्शन प्रतीत होगा कि यह अपरिभाषित है। मॉल के लिए। जहां आपके सामने आया विकल्प जैसे विकल्प स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में है जहां विभिन्न परिभाषाएं समान नहीं हैं।

— whuber

हां मैं करता हूं। एक विचरण, एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर की उम्मीद होने के नाते, केवल सकारात्मक भाग के लेब्सगेग अभिन्न के बराबर है । इसलिए, यह या तो परिमित है या अनंत (विस्तारित संख्या रेखा में), कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या। गैर-नकारात्मक होने की यह संपत्ति अन्य क्षणों से भी कुछ क्षणों के विश्लेषण को अलग करती है, जिसे परिभाषित करने में विफल हो सकती है।

— whuber

विचरण की परिभाषा यह है कि यह बराबर है । $\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

Answer 2

स्थिर वितरण आपके लिए जो कुछ भी देख रहे हैं, उसके अच्छे, पैरामीट्रिक उदाहरण प्रदान करते हैं:

1. अनंत माध्य और विचरण: $0 < \text{stability parameter} < 1$

2. एन / ए

3. परिमित मतलब और अनंत विचरण: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$

4. परिमित माध्य और विचरण: (गाऊसी)$\text{stability parameter} = 2$

Answer 3

यहां किसी ने सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास का उल्लेख नहीं किया है; अन्यथा मैं इस पुराने सूत्र में पोस्ट नहीं करता कि पहले से ही एक "स्वीकृत" उत्तर सहित कई उत्तर हैं।

यदि एक सिक्का "सिर" पर उतरता है तो आप एक प्रतिशत जीतते हैं।

यदि "पूंछ", जीत दोगुनी हो जाती है और फिर अगर दूसरी टॉस पर "सिर" होता है, तो आप दो सेंट जीतते हैं।

यदि दूसरी बार "पूंछ" होती है, तो जीत फिर से दोगुनी हो जाती है और यदि तीसरे टॉस पर "सिर" होता है, तो आप चार सेंट जीतते हैं।

और इसी तरह:

$$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$ उत्पादों का योग है$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$ ताकि एक अनंत अपेक्षित मूल्य हो।

इसका मतलब है कि अगर आप भुगतान करते हैं $\$1$प्रत्येक सिक्का टॉस, या$\$1$ ट्रिलियन, आदि के $ 1 मिलियन काकरते हैं, तो आप अंततः आगे निकलते हैं। जब आप हर बार कुछ सेंट से अधिक जीतने की संभावना नहीं रखते हैं, तो यह कैसे हो सकता है?

इसका उत्तर यह है कि एक बहुत ही दुर्लभ अवसर, आपको पूंछों का एक लंबा अनुक्रम मिलेगा, ताकि जीत आपके द्वारा किए गए अपार व्यय की भरपाई कर सके। यह सच है कि प्रत्येक टॉस के लिए आप कितनी भी ऊंची कीमत चुकाएं।

Answer 4

दूसरे वितरण के बारे में आप देख रहे हैं, यादृच्छिक चर X 2 = पर विचार करें

$$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$$

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$\infty - \infty=0$