अर्ध-संयुग्म और सशर्त संयुग्म पुजारी की परिभाषा क्या है?

Question

अर्ध-संयुग्मित पुजारी और सशर्त संयुग्म पुजारी की परिभाषा क्या है ? मैंने उन्हें गेलमैन के बायेसियन डेटा विश्लेषण में पाया , लेकिन मैं उनकी परिभाषा नहीं पा सका।

Answer 1

Bayesian Data Analysis (3rd ed) में परिभाषा का उपयोग करते हुए , अगर , नमूना वितरण का एक वर्ग है , और , लिए पूर्व वितरण का एक वर्ग है , तो | class अगर लिए संयुग्म है$\mathcal{F}$$p(y|\theta)$$\mathcal{P}$$\theta$$\mathcal{P}$$\mathcal{F}$

$$p(\theta|y)\in \mathcal{P} \mbox{ for all }p(\cdot|\theta)\in \mathcal{F} \mbox{ and }p(\cdot)\in \mathcal{P}.$$

यदि सैंपलिंग डिस्ट्रीब्यूशन का एक वर्ग है , और , पर सशर्त के लिए पूर्व वितरण का एक वर्ग है , तो क्लास सशर्त संयुग्म के लिए यदि है$\mathcal{F}$$p(y|\theta,\phi)$$\mathcal{P}$P $\theta$$\phi$$\mathcal{P}$$\mathcal{F}$

$$p(\theta|y,\phi)\in \mathcal{P} \mbox{ for all }p(\cdot|\theta,\phi)\in \mathcal{F} \mbox{ and }p(\cdot|\phi)\in \mathcal{P}.$$

सशर्त रूप से संयुग्मित पुजारी एक गिब्स नमूना बनाने में सुविधाजनक हैं क्योंकि पूर्ण सशर्त एक ज्ञात परिवार होगा।

मैंने बायेसियन डेटा एनालिसिस (तीसरा संस्करण) का एक इलेक्ट्रॉनिक संस्करण खोजा और इससे पहले अर्ध-संयुग्मन का संदर्भ नहीं मिल सका। मैं अनुमान लगा रहा हूं कि यह सशर्त रूप से संयुग्म का पर्याय है, लेकिन यदि आप पुस्तक में इसके उपयोग का संदर्भ देते हैं, तो मुझे एक परिभाषा प्रदान करने में सक्षम होना चाहिए।

Comments

+1। Bayesian Data Analysis के 3rd संस्करण के लिए URL क्या है?

— पैट्रिक कूलोम्बे

धन्यवाद! अर्ध-संयुग्म यहां दिखाई देता है (दूसरा संस्करण) books.google.com/… । वैसे, आपको 3rd एड के लिए ईबुक कैसे मिली?

— टिम

मुझे यकीन नहीं है कि यह क्यों कहता है कि अर्धचालकीय पहले से पूरी तरह से संयुग्मित है। यह कथन तीसरे संस्करण में हटा दिया गया है। ई-पुस्तक को यहाँ खरीदा जा सकता है: crcpress.com/product/isbn/9781439840955 ।

— जर्दनेमि २२'१४

@jaradniemi: मेरे द्वारा दिए गए लिंक में, p84 के शीर्ष पर, यह इंगित किया गया है कि अर्धचालकीय पूर्व एक संयुग्म पूर्व नहीं है।

— टिम

में प्रत्येक का क्या उल्लेख है और क्या प्रत्येक एक ही चीज़ को संदर्भित करता है? $$p(\theta|y,\phi)\in \mathcal{P} \mbox{ for all }p(\cdot|\theta,\phi)\in \mathcal{F} \mbox{ and }p(\cdot|\phi)\in \mathcal{P}.$$ $\cdot$

— मुनो

Answer 2

मैं एक उदाहरण के रूप में बहुभिन्नरूपी सामान्य का उपयोग करना चाहूंगा।

याद करें कि संभावना किसके द्वारा दी गई है

$$P(y_1,y_2,...,y_n|\mu,\Sigma) = (2\pi)^{-\frac{ND}{2}}\det(\Sigma)^{-\frac{N}{2}}\exp(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^T\Sigma^{-1}(x_i-\mu))$$

इस संभावना से पहले एक खोज करने के लिए, हम चुन सकते हैं

$$P(\mu,\Sigma)=\text{Normal}(\mu;\mu_0,\Lambda_0)\text{InverseWishart}(\Sigma;\nu_0,S_0)$$

मैं आपको अभी के लिए के बारे में चिंता करने का आश्वासन नहीं देता ; वे केवल पूर्व वितरण के पैरामीटर हैं।$\mu_0,\Lambda_0,\nu_0,S_0$

हालांकि, जो महत्वपूर्ण है वह यह है कि यह संभावना के अनुरूप नहीं है। यह देखने के लिए कि, मैं ऑनलाइन मिले एक संदर्भ को उद्धृत करना चाहूंगा।

ध्यान दें कि और संभावना में एक गैर-कारक तरीके से एक साथ दिखाई देते हैं; इसलिए वे भी पीछे के हिस्से में एक साथ जोड़े जाएंगे$\mu$$\Sigma$

केविन पी। मर्फी द्वारा संदर्भ "मशीन लर्निंग: ए प्रोबेबिलिस्टिक पर्सपेक्टिव" है। यहाँ लिंक है । आप पृष्ठ 4.6 के शीर्ष पर धारा 4.6 (एमवीएन के मापदंडों का संदर्भ देते हुए) में उद्धरण पा सकते हैं।

उद्धरण जारी रखने के लिए,

उपरोक्त पूर्व को कभी - कभी अर्ध-संयुग्म या सशर्त रूप से संयुग्म कहा जाता है , क्योंकि दोनों सशर्त, और , व्यक्तिगत रूप से संयुग्म हैं। पहले एक पूर्ण संयुग्म बनाने के लिए , हमें एक पूर्व का उपयोग करने की आवश्यकता होती है जहां और एक दूसरे पर निर्भर होते हैं। हम फॉर्म के संयुक्त वितरण का उपयोग करेंगे$p(\mu|\Sigma)$$p(\Sigma|\mu)$$\mu$$\Sigma$

$$p(\mu, \Sigma) = p(\Sigma)p(\mu|\Sigma)$$

यहां विचार यह है कि पहला पूर्व वितरण

$$P(\mu,\Sigma)=\text{Normal}(\mu;\mu_0,\Lambda_0)\text{InverseWishart}(\Sigma;\nu_0,S_0)$$

मानता है कि और वियोज्य (या एक अर्थ में स्वतंत्र) हैं। फिर भी, हम मानते हैं कि संभावना समारोह में, और को अलग-अलग नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि वे पीछे के हिस्से में अलग नहीं होंगे (याद रखें, पिछला )। इससे पता चलता है कि शुरुआत में "अन-सेसनेबल" पोस्टीरियर और "सेपरेबल" पहले से संयुग्मित नहीं हैं। दूसरी ओर, पुनर्लेखन द्वारा$\mu$$\Sigma$$\mu$$\Sigma$$(\text{Posterior}) \sim (\text{Prior})(\text{Likelihood})$

$$p(\mu, \Sigma) = p(\Sigma)p(\mu|\Sigma)$$

ऐसा और एक दूसरे पर निर्भर करता है ( ), आप एक संयुग्म पूर्व प्राप्त करेंगे, जिसे पहले अर्ध-संयुग्मन नाम दिया गया है । यह आपके प्रश्न का उत्तर देता है।$\mu$$\Sigma$$p(\mu|\Sigma)$

पीएस : एक और वास्तव में उपयोगी संदर्भ जो मैंने इस्तेमाल किया है, वह पीटर डी हॉफ द्वारा "ए फर्स्ट कोर्स इन बायेसियन स्टैटिस्टिकल मेथड्स" है। यहाँ पुस्तक के लिए एक कड़ी है। आपको पृष्ठ find० से शुरू होने वाली धारा in में प्रासंगिक सामग्री मिल सकती है, और पृष्ठ ६, से शुरू होने वाली धारा ५ में एकल-सामान्य सामान्य वितरण के बारे में उसके पास बहुत अच्छी व्याख्या (और अंतर्ज्ञान) है, जो उसके साथ व्यवहार करने पर धारा when में फिर से प्रबलित होगी। MVN।

Answer 3

यदि वितरण के नमूने का एक वर्ग है , और के लिए पूर्व वितरण का एक वर्ग है , तो वर्ग है semiconjugate के लिए अगर सभी के लिए और , जहां और संबंध ।$F$$p(y|θ,ϕ)$$P$$θ$$P$$F$$p(θ|y,ϕ)∈P$$p(⋅|θ,ϕ)∈F$$p(θ,ϕ)=p(θ)\times p(ϕ)$$p(θ)∈P$$p(ϕ)$$P$